Адъюгированная матрица - Adjugate matrix

В линейная алгебра, то сопоставлять или классический смежный из квадратная матрица это транспонировать своего матрица кофакторов.^[1] Он также иногда известен как вспомогательная матрица,^[2][3] хотя эта номенклатура, похоже, уменьшилась в использовании.

Адъюгат^[4] иногда называют "сопряженным",^[5] но сегодня «сопряженный» матрицы обычно относится к соответствующему сопряженный оператор, что является его сопряженный транспонировать.

Определение

В сопоставлять из А это транспонировать из матрица кофакторов C из А,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Более подробно, предположим р это коммутативное кольцо и А является п × п матрица с записями из р. В (я,j)-незначительный из А, обозначенный M_ij, это детерминант из (п − 1) × (п − 1) матрица, полученная в результате удаления строки я и столбец j из А. В матрица кофакторов из А это п × п матрица C чей (я, j) запись - это (я, j) кофактор из А, какой (я, j)-миночный знаковый фактор:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Адъюгат А это транспонирование C, это п×п матрица, чья (я,j) запись - это (j,я) кофактор А,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Адъюгат определяется как то, что продукт А с его адъюгатом дает диагональная матрица чьи диагональные элементы являются определителем det (А). Это,

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,}$

куда я это п×п единичная матрица. Это следствие Разложение лапласа определителя.

Из приведенной выше формулы следует один из фундаментальных результатов матричной алгебры: А является обратимый если и только если det (А) является обратимым элементом р. Когда это верно, приведенное выше уравнение дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}}$

Примеры

Общая матрица 1 × 1

Сопряжение любой ненулевой матрицы 1 × 1 (комплексный скаляр) есть ${\displaystyle \mathbf {I} =(1)}$. По соглашению adj (0) = 0.

Общая матрица 2 × 2

Адъюгат матрицы 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}$

является

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}.}$

Прямым вычислением

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}$

В этом случае также верно, что det (adj (А)) = det (А) и, следовательно, прил (прил (А)) = А.

Общая матрица 3 × 3

Рассмотрим матрицу 3 × 3

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

Его матрица кофакторов равна

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}},}$

куда

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{pmatrix}}}$.

Его адъюгатом является транспонированная матрица кофакторов,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}$.

Числовая матрица 3 × 3

В качестве конкретного примера у нас есть

${\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{pmatrix}}.}$

Легко проверить, что адъюгат является обратным умножением на определитель, −6.

В −1 во второй строке третий столбец адъюгата вычислялся следующим образом. Запись (2,3) адъюгата является (3,2) кофактором А. Этот кофактор вычисляется с использованием подматрицы, полученной удалением третьей строки и второго столбца исходной матрицы. А,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{pmatrix}}.}$

Кофактор (3,2) - это знак, умноженный на определитель этой подматрицы:

${\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{pmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,}$

и это запись (2,3) сопряженного.

Характеристики

Для любого п × п матрица А, элементарные вычисления показывают, что адъюгаты обладают следующими свойствами.

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0} }$ и ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }$, куда ${\displaystyle \mathbf {0} }$ и ${\displaystyle \mathbf {I} }$ - нулевая и единичная матрицы соответственно.
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$ для любого скаляра c.
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}}$.
• ${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}}$.
• Если А обратима, то ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}}$. Это следует из того:
  • прил (А) обратима с обратным (дет А)⁻¹ А.
  • прил (А⁻¹) = прил (А)⁻¹.
• прил (А) является поэлементным полиномом от А. В частности, по действительным или комплексным числам, сопряженное является гладкой функцией элементов А.

Над комплексными числами

• ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\bar {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}}$, где чертой обозначено комплексное сопряжение.
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}}$, где звездочка означает сопряженное транспонирование.

Предположим, что B Другой п × п матрица. потом

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Это можно доказать тремя способами. Один из способов, применимый для любого коммутативного кольца, - это прямое вычисление с использованием Формула Коши – Бине. Второй способ, действительный для действительных или комплексных чисел, состоит в том, чтобы сначала заметить, что для обратимых матриц А и B,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).}$

Поскольку каждая необратимая матрица является пределом обратимые матрицы, непрерывность адъюгата означает, что формула остается верной, когда одна из А или B не обратима.

Следствие предыдущей формулы состоит в том, что для любого неотрицательного целого числа k,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.}$

Если А обратима, то указанная выше формула верна и для отрицательных k.

От личности

${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),}$

мы делаем вывод

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .}$

Предположим, что А ездит с B. Умножение идентичности AB = BA слева и справа прил (А) доказывает, что

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Если А обратима, отсюда следует, что прил (А) также ездит с B. В отношении действительных или комплексных чисел непрерывность подразумевает, что прил (А) ездит с B даже когда А не обратима.

Наконец, существует более общее доказательство, чем второе доказательство, которое требует только, чтобы матрица размером nxn имела элементы над полем с как минимум 2n + 1 элементами (например, матрица 5x5 над целыми числами по модулю 11). det (A + tI) - многочлен от t со степенью не выше n, поэтому у него не более n корней. Обратите внимание, что ij-я запись в adj ((A + tI) (B)) является многочленом не более чем порядка n, а также для adj (A + tI) adj (B). Эти два полинома в ij-м элементе совпадают по крайней мере по n + 1 точкам, так как у нас есть по крайней мере n + 1 элемент поля, в котором A + tI является обратимым, и мы доказали тождество для обратимых матриц. Многочлены степени n, совпадающие по n + 1 точкам, должны быть идентичны (вычтите их друг из друга, и у вас будет n + 1 корней для многочлена степени не выше n - противоречие, если их разность не равна тождественно нулю). Поскольку два полинома идентичны, они принимают одно и то же значение для каждого значения t. Таким образом, они принимают одинаковое значение при t = 0.

Используя указанные выше свойства и другие элементарные вычисления, несложно показать, что если А обладает одним из следующих свойств, то прил А также:

• Верхний треугольный,
• Нижняя треугольная,
• Диагональ,
• Ортогональный,
• Унитарный,
• Симметричный,
• Эрмитский,
• Кососимметричный,
• Косоэрмитский,
• Нормальный.

Если А обратима, то, как отмечалось выше, существует формула для прил (А) в терминах определителя и обратного А. Когда А необратим, адъюгат удовлетворяет различным, но тесно связанным формулам.

• Если rk (А) ≤ п − 2, тогда прил (А) = 0.
• Если rk (А) = п − 1, тогда rk (прил.А)) = 1. (Некоторые второстепенные не равны нулю, поэтому прил (А) отличен от нуля и, следовательно, имеет ранг не менее единицы; личность прил (А) А = 0 означает, что размерность нулевого пространства прил (А) по крайней мере п − 1, поэтому его ранг не превосходит единицы.) Отсюда следует, что прил (А) = αху^Т, куда α скаляр и Икс и у - векторы такие, что Топор = 0 и А^Т у = 0.

Подстановка столбцов и правило Крамера

Смотрите также: Правило Крамера

Раздел А в векторы-столбцы:

${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {a} _{1}\ \cdots \ \mathbf {a} _{n}).}$

Позволять б быть вектор-столбцом размера п. Исправить 1 ≤ я ≤ п и рассмотрим матрицу, образованную заменой столбца я из А к б:

${\displaystyle (\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{pmatrix}}.}$

Лаплас разложит определитель этой матрицы по столбцу я. Результат - вход я продукта прил (А)б. Сбор этих детерминант для различных возможных я дает равенство векторов-столбцов

${\displaystyle \left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .}$

Эта формула имеет следующее конкретное следствие. Рассмотрим линейную систему уравнений

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .}$

Предположить, что А неособен. Умножая эту систему слева на прил (А) и разделив на определитель урожайности

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.}$

Применение предыдущей формулы к этой ситуации дает Правило Крамера,

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},}$

куда Икс_я это я-я запись Икс.

Характеристический полином

Пусть характеристический многочлен из А быть

${\displaystyle p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].}$

Первый разделенная разница из п это симметричный многочлен степени п − 1,

${\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].}$

Умножить sя − А своим дополнением. С п(А) = 0 посредством Теорема Кэли – Гамильтона, некоторые элементарные манипуляции обнаруживают

${\displaystyle \operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).}$

В частности, противовоспалительное средство из А определяется как

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},}$

и по приведенной выше формуле это равно

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.}$

Формула Якоби

Основная статья: Формула Якоби

Адъюгат также появляется в Формула Якоби для производная из детерминант. Если А(т) непрерывно дифференцируемо, то

${\displaystyle {\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).}$

Отсюда следует, что полная производная определителя - это транспонирование адъюгата:

${\displaystyle d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.}$

Формула Кэли – Гамильтона

Основная статья: Теорема Кэли – Гамильтона

Позволять п_А(т) - характеристический многочлен А. В Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$

Разделив постоянный член и умножив уравнение на прил (А) дает выражение для адъюгата, которое зависит только от А и коэффициенты при п_А(т). Эти коэффициенты могут быть явно представлены в терминах следов степеней А с использованием полной экспоненты Полиномы Белла. Полученная формула

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},}$

куда п это размер А, и сумма берется за s и все последовательности k_л ≥ 0 удовлетворяющий линейному Диофантово уравнение

${\displaystyle s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.}$

Для случая 2 × 2 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} .}$

Для случая 3 × 3 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} \left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)+\mathbf {A} ^{2}.}$

Для случая 4 × 4 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} ^{3}.}$

Эта же формула следует непосредственно из завершающего шага Алгоритм Фаддеева – Леверье, что эффективно определяет характеристический многочлен из А.

Отношение к внешним алгебрам

Адъюгат можно рассматривать в абстрактных терминах, используя внешние алгебры. Позволять V быть п-мерное векторное пространство. В внешний продукт определяет билинейную пару

${\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.}$

Абстрактно, ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$ изоморфен р, и при любом таком изоморфизме внешнее произведение является идеальное сочетание. Следовательно, это дает изоморфизм

${\displaystyle \phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).}$

Явно это соединение отправляет v ∈ V к ${\displaystyle \phi _{\mathbf {v} }}$, куда

${\displaystyle \phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .}$

Предположим, что Т : V → V является линейным преобразованием. Обратный ход (п − 1)st внешняя сила Т индуцирует морфизм Hom пробелы. В сопоставлять из Т составной

${\displaystyle V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.}$

Если V = р^п наделен своим координатным базисом е₁, ..., е_п, а если матрица Т в этой основе А, то адъюгат Т является дополнением к А. Чтобы понять почему, дайте ${\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}}$ основа

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.}$

Зафиксируем базисный вектор е_я из р^п. Образ е_я под ${\displaystyle \phi }$ определяется тем, куда он отправляет базисные векторы:

${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

На базисных векторах (п − 1)st внешняя сила Т является

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.}$

Каждый из этих членов отображается в ноль при ${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}}$ кроме k = я срок. Следовательно, откат ${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}}$ - линейное преобразование, для которого

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},}$

то есть это равно

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.}$

Применяя инверсию ${\displaystyle \phi }$ показывает, что адъюгат Т - линейное преобразование, для которого

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.}$

Следовательно, его матричное представление является дополнением к А.

Если V наделен внутренним продуктом и формой тома, то карта φ можно разложить дальше. В этом случае, φ можно понимать как совокупность Звездный оператор Ходжа и дуализация. В частности, если ω - форма объема, то она вместе со скалярным произведением определяет изоморфизм

${\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .}$

Это индуцирует изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.}$

Вектор v в р^п соответствует линейному функционалу

${\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.}$

По определению звездного оператора Ходжа этот линейный функционал двойственен *v. Это, ω^∨ ∘ φ равно v ↦ *v^∨.

Высшие адъюгаты

Позволять А быть п × п матрица и исправить р ≥ 0. В рй высший адъюгат из А является ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}\times {\binom {n}{r}}}$ матрица, обозначенная прил_р А, записи которого индексируются по размеру р подмножества я и J из {1, ..., м}. Позволять я^c и J^c обозначают дополнения к я и J, соответственно. Также позвольте ${\displaystyle \mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}}$ обозначим подматрицу матрицы А содержащие те строки и столбцы, индексы которых находятся в я^c и J^c, соответственно. Тогда (я, J) вход прил_р А является

${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},}$

куда σ (я) и σ (J) являются суммой элементов я и J, соответственно.

Основные свойства высших адъюгатов включают:

• прил₀(А) = det А.
• прил₁(А) = прил А.
• прил_п(А) = 1.
• прил_р(BA) = прил_р(А) прил_р(B).
• ${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}}$, куда C_р(А) обозначает рth составная матрица.

Высшие адъюгаты могут быть определены в абстрактных алгебраических терминах аналогично обычному адъюгату, заменив ${\displaystyle \wedge ^{r}V}$ и ${\displaystyle \wedge ^{n-r}V}$ за ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle \wedge ^{n-1}V}$, соответственно.

Итерированные адъюгаты

Итеративно взяв адъюгат обратимой матрицы А k раз дает

${\displaystyle \overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,}$

${\displaystyle \det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.}$

Например,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .}$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.}$

Смотрите также

• Теорема Кэли – Гамильтона
• Правило Крамера
• Диаграмма трассировки
• Формула Якоби
• Алгоритм Фаддеева – Леверье

Рекомендации

1. Гантмахер, Ф. (1960). Теория матриц. 1. Нью-Йорк: Челси. С. 76–89. ISBN  0-8218-1376-5.
2. Claeyssen, J.C.R. (1990). «О прогнозировании отклика неконсервативных линейных колебательных систем с использованием динамических матричных решений». Журнал звука и вибрации. 140 (1): 73–84.
3. Chen, W .; Chen, W .; Чен, Ю.Дж. (2004). «Характеристический матричный подход для анализа резонансных устройств на кольцевой решетке». Письма IEEE Photonics Technology. 16 (2): 458–460.
4. Стрэнг, Гилберт (1988). «Раздел 4.4: Применение определителей». Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Харкорт Брейс Йованович. стр.231–232. ISBN  0-15-551005-3.
5. Домохозяин, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе. Дуврские книги по математике. С. 166–168. ISBN  0-486-44972-6.

Библиография

• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (2013), Матричный анализ, Второе издание. Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54823-6
• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-46713-1

внешняя ссылка

• Справочное руководство по матрице
• Онлайн-калькулятор матриц (определитель, дорожка, обратная, сопряженная, транспонированная) Вычислить матрицу адъюгата до 8-го порядка
• "Сопряжение {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}". вольфрам Альфа.