Матрица обмена - Exchange matrix

В математика, особенно линейная алгебра, то матрица обмена (также называемый матрица разворота, обратная идентичность, или же стандартная инволютивная перестановка) является частным случаем матрица перестановок, где 1 элемент находится на контрдиагонали, а все остальные элементы равны нулю. Другими словами, это версия метода с обратной строкой или столбцом. единичная матрица.^[1]

${displaystyle J_{2}={egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}};quad J_{3}={egin{pmatrix}0&0&1�&1&01&0&0end{pmatrix}};quad J_{n}={egin{pmatrix}0&0&cdots &0&0&1�&0&cdots &0&1&0�&0&cdots &1&0&0vdots &vdots &&vdots &vdots &vdots �&1&cdots &0&0&01&0&cdots &0&0&0end{pmatrix}}.}$

Определение

Если J является п × п матрица обмена, то элементы J определены так, что:

${displaystyle J_{i,j}={egin{cases}1,&j=n-i+1�,&jeq n-i+1end{cases}}}$

Характеристики

• J^Т = J.
• J^п = я даже для п; J^п = J для нечетных п, куда п любое целое число. Особенно, J является инволютивная матрица; то есть, J⁻¹ = J.
• В след из J является 1 если п является странный, и 0 если п является даже.
• В характеристический многочлен из J является ${displaystyle det(lambda I-J_{n})={ig (}(1-lambda )(1+lambda ){ig )}^{n/2}}$ за ${displaystyle n}$ даже, и ${displaystyle (1-lambda )^{(n+1)/2}(1+lambda )^{(n-1)/2}}$ за ${displaystyle n}$ странный.
• В сопряженная матрица из J является ${displaystyle operatorname {adj} (J_{n})=operatorname {sgn}(pi _{n})J_{n}}$.

Отношения

• Матрица обмена - самая простая антидиагональная матрица.
• Любая матрица А удовлетворяющий условию AJ = JA как говорят центросимметричный.
• Любая матрица А удовлетворяющий условию AJ = JA^Т как говорят персимметричный.

Смотрите также

• Матрицы Паули (первая матрица Паули представляет собой матрицу обмена 2 x 2)

Рекомендации

1. Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2012), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 33, ISBN  9781139788885.