Матрица моментов - Moment matrix

В математика, а матрица моментов специальный симметричный квадрат матрица чьи строки и столбцы индексируются мономы. Элементы матрицы зависят только от произведения индексирующих одночленов (см. Матрицы Ганкеля.)

Матрицы моментов играют важную роль в полиномиальная подгонка, полиномиальная оптимизация (поскольку положительно полуопределенный матрицы моментов соответствуют полиномам, которые суммы квадратов )^[1] и эконометрика.^[2]

Применение в регрессии

Несколько линейная регрессия модель можно записать как

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\dots \beta _{k}x_{k}+u}$

куда ${\displaystyle y}$ объясненная переменная, ${\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{k}}$ объясняющие переменные, ${\displaystyle u}$ это ошибка, и ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}\dots ,\beta _{k}}$ - неизвестные коэффициенты для оценки. Данные наблюдения ${\displaystyle \left\{y_{i},x_{1i},x_{2i},\dots ,x_{ki}\right\}_{i=1}^{n}}$, у нас есть система ${\displaystyle n}$ линейные уравнения, которые могут быть выражены в матричной записи.^[3]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\dots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\dots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\dots &x_{nk}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}}$

или же

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {u} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {y} }$ и ${\displaystyle \mathbf {u} }$ каждый вектор размерности ${\displaystyle n\times 1}$, ${\displaystyle \mathbf {X} }$ это матрица дизайна порядка ${\displaystyle N\times (k+1)}$, и ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ вектор размерности ${\displaystyle (k+1)\times 1}$. Под Предположения Гаусса – Маркова., лучшая линейная несмещенная оценка ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ линейный наименьших квадратов оценщик ${\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$, включающий две матрицы моментов ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ определяется как

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}n&\sum x_{i1}&\sum x_{i2}&\dots &\sum x_{ik}\\\sum x_{i1}&\sum x_{i1}^{2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\dots &\sum x_{i1}x_{ik}\\\sum x_{i2}&\sum x_{i1}x_{i2}&\sum x_{i2}^{2}&\dots &\sum x_{i2}x_{ik}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{ik}&\sum x_{i1}x_{ik}&\sum x_{i2}x_{ik}&\dots &\sum x_{ik}^{2}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}\sum y_{i}\\\sum x_{i1}y_{i}\\\vdots \\\sum x_{ik}y_{i}\end{bmatrix}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ это квадрат нормальная матрица измерения ${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$, и ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ вектор размерности ${\displaystyle (k+1)\times 1}$.

Смотрите также

• Матрица дизайна
• Матрица грамиана
• Матрица проекции

Рекомендации

1. Лассер, Жан-Бернар, 1953- (2010). Моменты, положительные многочлены и их приложения. World Scientific (Фирма). Лондон: Imperial College Press. ISBN  978-1-84816-446-8. OCLC  624365972.
2. Гольдбергер, Артур С. (1964). «Классическая линейная регрессия». Эконометрическая теория. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. стр.156–212. ISBN  0-471-31101-4.
3. Хуанг, Дэвид С. (1970). Регрессионные и эконометрические методы. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 52–65. ISBN  0-471-41754-8.

внешняя ссылка

• «Матрица моментов», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]