Матрица гамильтониана - Hamiltonian matrix

В математика, а Матрица гамильтониана это 2п-от-2п матрица А такой, что JA является симметричный, куда J это кососимметричная матрица

${displaystyle J={egin{bmatrix}0&I_{n}-I_{n}&0end{bmatrix}}}$

и я_п это п-от-п единичная матрица. Другими словами, А гамильтонова тогда и только тогда, когда (JA)^Т = JA куда ()^Т обозначает транспонировать.^[1]

Характеристики

Предположим, что 2п-от-2п матрица А записывается как блочная матрица

${displaystyle A={egin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}}}$

куда а, б, c, и d находятся п-от-п матрицы. Тогда условие, что А гамильтоновость эквивалентна требованию, чтобы матрицы б и c симметричны, и что а + d^Т = 0.^[1][2] Другое эквивалентное условие состоит в том, что А имеет форму А = JS с S симметричный.^[2]:34

Из определения легко следует, что транспонированная матрица гамильтониана гамильтонова. Кроме того, сумма (и любые линейная комбинация ) двух гамильтоновых матриц снова гамильтоновы, как и их коммутатор. Отсюда следует, что пространство всех гамильтоновых матриц является Алгебра Ли, обозначенный sp (2п). Размер sp (2п) является 2п² + п. Соответствующие Группа Ли это симплектическая группа Sp (2п). Эта группа состоит из симплектические матрицы эти матрицы А которые удовлетворяют А^ТJA = J. Таким образом матричная экспонента гамильтоновой матрицы симплектическая. Однако логарифм симплектической матрицы не обязательно является гамильтоновым, поскольку экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу не сюръективно.^{[2]:34–36[3]}

В характеристический многочлен реальной гамильтоновой матрицы есть даже. Таким образом, если матрица гамильтониана имеет λ как собственное значение, тогда −λ, λ^* и −λ^* также являются собственными значениями.^[2]:45 Отсюда следует, что след гамильтоновой матрицы равна нулю.

Квадрат гамильтоновой матрицы равен косогамильтониан (матрица А косогамильтонов, если (JA)^Т = −JA). И наоборот, любая косогамильтонова матрица возникает как квадрат гамильтоновой матрицы.^[4]

Расширение на комплексные матрицы

Определение гамильтоновых матриц можно распространить на комплексные матрицы двумя способами. Одна из возможностей - сказать, что матрица А гамильтонов, если (JA)^Т = JA, как указано выше.^[1][4] Другая возможность - использовать условие (JA)^* = JA куда ()^* обозначает сопряженный транспонировать.^[5]

Гамильтоновы операторы

Позволять V - векторное пространство, снабженное симплектической формой Ω. Линейная карта ${displaystyle A:;Vmapsto V}$ называется гамильтонов оператор относительно Ω если форма ${displaystyle x,ymapsto Omega (A(x),y)}$ симметрично. В равной степени он должен удовлетворять

${displaystyle Omega (A(x),y)=-Omega (x,A(y))}$

Выберите основу е₁, …, е_2п в V, так что Ω записывается как ${displaystyle sum _{i}e_{i}wedge e_{n+i}}$. Линейный оператор является гамильтоновым относительно Ω тогда и только тогда, когда его матрица в этом базисе гамильтонова.^[4]

Рекомендации

1. Икрамов, Хаким Д. (2001), "Возвращение к квадратным гамильтоновым корням косогамильтоновых матриц", Линейная алгебра и ее приложения, 325: 101–107, Дои:10.1016 / S0024-3795 (00) 00304-9.
2. Meyer, K. R .; Холл, Г. Р. (1991), Введение в гамильтоновы динамические системы и Nпроблема тела, Springer, ISBN  0-387-97637-X.
3. Драгт, Алекс Дж. (2005), "Симплектическая группа и классическая механика", Летопись Нью-Йоркской академии наук, 1045 (1): 291–307, Дои:10.1196 / летопись.1350.025, PMID  15980319.
4. Уотерхаус, Уильям С. (2005), "Структура знакопеременных гамильтоновых матриц", Линейная алгебра и ее приложения, 396: 385–390, Дои:10.1016 / j.laa.2004.10.003.
5. Пейдж, Крис; Ван Лоан, Чарльз (1981), "Разложение Шура для гамильтоновых матриц", Линейная алгебра и ее приложения, 41: 11–32, Дои:10.1016/0024-3795(81)90086-0.