Матрица сдвига - Shift matrix - Wikipedia

В математика, а матрица сдвига это двоичная матрица с одними только на супердиагональ или же субдиагональный, и нули в другом месте. Матрица сдвига U с единицами на супердиагонали матрица верхнего сдвига. Альтернативная субдиагональная матрица L неудивительно известен как матрица нижнего сдвига. (я,j): й компонент U и L находятся

куда это Дельта Кронекера символ.

Например, 5×5 матрицы сдвига

Ясно, что транспонировать нижней матрицы сдвига - это верхняя матрица сдвига, и наоборот.

В качестве линейного преобразования нижняя матрица сдвига сдвигает компоненты вектора-столбца на одну позицию вниз, при этом ноль появляется в первой позиции. Верхняя матрица сдвига сдвигает компоненты вектора-столбца на одну позицию вверх, при этом ноль появляется в последней позиции.[1]

Предварительное умножение матрицы А по более низкой матрице сдвига приводит к элементам А сдвигается вниз на одну позицию, при этом нули появляются в верхнем ряду. Постумножение на нижнюю матрицу сдвига приводит к сдвигу влево. Аналогичные операции с использованием верхней матрицы сдвига приводят к противоположному сдвигу.

Ясно, что все конечномерные матрицы сдвига нильпотентный; ан п к п матрица сдвига S становится нулевая матрица когда возведен в степень своего измерения п.

Матрицы сдвига действуют на сменные места. Бесконечномерные матрицы сдвига особенно важны для изучения эргодические системы. Важными примерами бесконечномерных сдвигов являются Сдвиг Бернулли, который действует как сдвиг на Канторовское пространство, а Карта Гаусса, который действует как сдвиг в пространстве непрерывные дроби (то есть на Пространство Бэра.)

Характеристики

Позволять L и U быть п к п нижняя и верхняя матрицы сдвига соответственно. Следующие свойства верны как для U и L. Поэтому давайте перечислим свойства только для U:

Следующие свойства показывают, как U и L относятся к:

  • LТ = U; UТ = L
  • В пустые пробелы из U и L находятся
  • В спектр из U и L является . В алгебраическая кратность из 0 является п, и это геометрическая кратность является 1. Из выражений для нулевых пространств следует, что (с точностью до масштабирования) единственный собственный вектор для U является , и единственный собственный вектор для L является .
  • За LU и UL у нас есть
    Эти матрицы являются идемпотентными, симметричными и имеют тот же ранг, что и U и L
  • Lн-аUн-а + LаUа = Uн-аLн-а + UаLа = яединичная матрица ) для любого целого а от 0 до п включительно.

Если N есть ли нильпотентная матрица, тогда N является похожий к блочно-диагональная матрица формы

где каждый из блоков S1S2, ..., Sр - матрица сдвига (возможно, разного размера).[2][3]

Примеры

Потом,

Ясно, что есть много возможных перестановки. Например, равна матрице А смещены вверх и влево по главной диагонали.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

  • Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
  • Герштейн, И. Н. (1964), Темы по алгебре, Уолтем: Издательство Blaisdell, ISBN  978-1114541016

внешняя ссылка