Блочная матрица - Block matrix

В математика, а блочная матрица или разделенная матрица это матрица то есть интерпретированный как разбитые на разделы, называемые блоки или же подматрицы.^[1] Интуитивно матрица, интерпретируемая как блочная матрица, может быть визуализирована как исходная матрица с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее, или раздел его в набор более мелких матриц.^[2] Любая матрица может интерпретироваться как блочная матрица одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как ее строки и столбцы разделены.

Это понятие можно уточнить для ${\displaystyle n}$ к ${\displaystyle m}$ матрица ${\displaystyle M}$ путем разделения ${\displaystyle n}$ в коллекцию ${\displaystyle rowgroups}$, а затем разбиение ${\displaystyle m}$ в коллекцию ${\displaystyle colgroups}$. Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп в том смысле, что ${\displaystyle (i,j)}$ запись исходной матрицы соответствует в 1 к 1 путь с некоторыми ${\displaystyle (s,t)}$ компенсировать вступление некоторых ${\displaystyle (x,y)}$, куда ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ и ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$.

Алгебра блочных матриц, в общем, возникает из побочные продукты в категории матриц.^[3]

Пример

Блочная матрица размером 168 × 168 элементов с субматрицами 12 × 12, 12 × 24, 24 × 12 и 24 × 24. Ненулевые элементы выделены синим цветом, нулевые элементы - серым.

Матрица

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

можно разбить на четыре блока 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

Тогда разбитую матрицу можно записать как

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$

Блочное умножение матриц

Можно использовать блочно-разбитое матричное произведение, которое включает только алгебру на подматрицах факторов. Однако разделение факторов не является произвольным и требует «согласованных разделов».^[4] между двумя матрицами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ таким образом, чтобы были определены все продукты подматрицы, которые будут использоваться.^[5] Учитывая ${\displaystyle (m\times p)}$ матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ с ${\displaystyle q}$ рядные перегородки и ${\displaystyle s}$ перегородки колонн

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}$

и ${\displaystyle (p\times n)}$ матрица ${\displaystyle \mathbf {B} }$ с ${\displaystyle s}$ рядные перегородки и ${\displaystyle r}$ перегородки колонн

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},}$

которые совместимы с разделами ${\displaystyle A}$, матричное произведение

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} }$

может формироваться блочно, давая ${\displaystyle \mathbf {C} }$ как ${\displaystyle (m\times n)}$ матрица с ${\displaystyle q}$ рядные перегородки и ${\displaystyle r}$ колонные перегородки. Матрицы в итоговой матрице ${\displaystyle \mathbf {C} }$ рассчитываются путем умножения:

${\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\sum _{i=1}^{s}\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}$

Или, используя Обозначения Эйнштейна который неявно суммирует повторяющиеся индексы:

${\displaystyle \mathbf {C} _{qr}=\mathbf {A} _{qi}\mathbf {B} _{ir}.}$

Обращение блочной матрицы

Смотрите также: Блокировка Гельмерта – Вольфа

Если матрица разбита на четыре блока, ее можно перевернутый поблочно следующее:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

куда А, B, C и D иметь произвольный размер. (А и D должны быть квадратными, чтобы их можно было перевернуть. Более того, А и D − CA⁻¹B должен быть обратимым.^[6])

Эквивалентно, переставляя блоки:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Здесь, D и А − BD⁻¹C должен быть обратимым.

Для получения дополнительных сведений и вывода с использованием блочной декомпозиции LDU см. Дополнение Шура.

Блочно-диагональные матрицы

А блочно-диагональная матрица блочная матрица, которая является квадратная матрица такие, что блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все недиагональные блоки являются нулевыми матрицами. То есть блочно-диагональная матрица А имеет форму

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}$

куда А_k квадратная матрица для всех k = 1, ..., п. Другими словами, матрица А это прямая сумма из А₁, ..., А_п. Его также можно обозначить как А₁ ⊕ А₂ ⊕ ... ⊕ А_п или диаг (А₁, А₂, ..., А_п) (последний - тот же формализм, что и диагональная матрица ). Любую квадратную матрицу можно тривиально рассматривать как блочно-диагональную матрицу только с одним блоком.

Для детерминант и след, выполняются следующие свойства

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {A} &=\det \mathbf {A} _{1}\times \cdots \times \det \mathbf {A} _{n},\\\operatorname {tr} \mathbf {A} &=\operatorname {tr} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {tr} \mathbf {A} _{n}.\end{aligned}}}$

Блочно-диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее главных-диагональных блоков обратим, и в этом случае ее обратная матрица является другой блочно-диагональной матрицей, заданной формулой

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Собственные значения и собственные векторы ${\displaystyle A}$ просто те из ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ и и ${\displaystyle A_{n}}$ комбинированный.

Блочные трехдиагональные матрицы

А блочная трехдиагональная матрица - еще одна специальная блочная матрица, которая похожа на блочно-диагональную матрицу a квадратная матрица, имеющий квадратные матрицы (блоки) в нижней диагонали, главная диагональ и верхняя диагональ, при этом все остальные блоки представляют собой нулевые матрицы. По сути, это трехдиагональная матрица но имеет подматрицы вместо скаляров. Блочная трехдиагональная матрица А имеет форму

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}$

куда А_k, B_k и C_k являются квадратными субматрицами нижней, главной и верхней диагонали соответственно.

Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численном решении инженерных задач (например, вычислительная гидродинамика ). Оптимизированные численные методы для LU факторизация доступны и, следовательно, эффективные алгоритмы решения для систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. В Алгоритм Томаса, используемый для эффективного решения систем уравнений, содержащих трехдиагональная матрица также может применяться с использованием матричных операций для блокировки трехдиагональных матриц (см. также Блочная декомпозиция LU ).

Блочные матрицы Теплица

А блочная матрица Теплица - еще одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, которые повторяются по диагоналям матрицы, как Матрица Теплица элементы повторяются по диагонали. Отдельные элементы блочной матрицы Aij также должны быть тёплицевой матрицей.

Блочная матрица Теплица А имеет форму

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.}$

Блокировать транспонирование

Особая форма матрицы транспонировать также можно определить для блочных матриц, где отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Позволять ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ быть ${\displaystyle k\times l}$ блочная матрица с ${\displaystyle m\times n}$ блоки ${\displaystyle B_{ij}}$, блок транспонировать ${\displaystyle A}$ это ${\displaystyle l\times k}$ блочная матрица ${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$ с ${\displaystyle m\times n}$ блоки ${\displaystyle (A^{\mathcal {B}})_{ij}=B_{ji}}$.^[7]

Как и в случае с обычным оператором трассировки, транспонирование блока представляет собой линейное отображение такой, что ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$. Однако в целом собственность ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$ не выполняется, если только блоки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ ездить.

Прямая сумма

Для любых произвольных матриц А (размера м × п) и B (размера п × q) имеем прямая сумма из А и B, обозначаемый А ${\displaystyle \oplus }$ B и определяется как

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольных размеров (при условии, что А и B имеют такое же количество размеров).

Обратите внимание, что любой элемент в прямая сумма из двух векторные пространства матриц можно представить как прямую сумму двух матриц.

Прямой продукт

Основная статья: Кронекер продукт

Заявление

В линейная алгебра термины, использование блочной матрицы соответствует наличию линейное отображение мыслится в терминах соответствующих "пучков" базисные векторы. Это снова совпадает с идеей выделения разложения прямой суммы домен и классифицировать. Это всегда особенно важно, если блок является нулевая матрица; который несет информацию, которую слагаемое отображает в подсумму.

Учитывая интерпретацию через линейных отображений и прямых сумм существует специальный тип блочной матрицы, который встречается для квадратных матриц (случай м = п). Для них мы можем принять интерпретацию как эндоморфизм из п-мерное пространство V; блочная структура, в которой группировка строк и столбцов одинакова, важна, потому что она соответствует разложению одной прямой суммы на V (а не два). В этом случае, например, диагональ блоки в очевидном смысле все квадратные. Этот тип структуры необходим для описания Нормальная форма Джордана.

Этот метод используется для сокращения вычислений матриц, разложения столбцов и многих других Информатика приложения, в том числе СБИС чип дизайн. Примером может служить Алгоритм Штрассена для быстрого матричное умножение, так же хорошо как Хэмминга (7,4) кодирование для обнаружения ошибок и восстановления при передаче данных.

Примечания

1. Евс, Ховард (1980). Элементарная матричная теория (переиздание ред.). Нью-Йорк: Дувр. п.37. ISBN  0-486-63946-0. Получено 24 апреля 2013. Мы обнаружим, что иногда удобно разбивать матрицу на прямоугольные блоки элементов. Это заставляет нас рассматривать так называемые разделенный, или же блокировать, матрицы.
2. Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили. п. 30. ISBN  0-471-58742-7. Матрица может быть подразделена или разделенный в меньшие матрицы, вставив горизонтальные и вертикальные правила между выбранными строками и столбцами.
3. Macedo, H.D .; Оливейра, Дж. (2013). "Набор линейной алгебры: двупродукт-ориентированный подход". Наука компьютерного программирования. 78 (11): 2160–2191. arXiv:1312.4818. Дои:10.1016 / j.scico.2012.07.012.
4. Евс, Ховард (1980). Элементарная матричная теория (переиздание ред.). Нью-Йорк: Дувр. п.37. ISBN  0-486-63946-0. Получено 24 апреля 2013. Разбиение из теоремы 1.9.4 называется соответствующая перегородка из А и B.
5. Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили. п. 36. ISBN  0-471-58742-7. ... при условии, что размеры подматриц A и B таковы, что указанные операции могут быть выполнены.
6. Бернштейн, Деннис (2005). Матричная математика. Издательство Принстонского университета. п. 44. ISBN  0-691-11802-7.
7. Макки, Д. Стивен (2006). Структурированные линеаризации для матричных полиномов (PDF) (Тезис). Манчестерский университет. ISSN  1749-9097. OCLC  930686781.

Рекомендации

• Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы». Посуда открытого курса MIT. 18: 30–21: 10.