Тройной продукт - Triple product

Эта статья посвящена тернарным операциям с векторами. О тождестве в теории чисел см. Тройное произведение Якоби. Для правила цепочки исчисления для трех взаимозависимых переменных см. Правило тройного продукта. Для продукта в ядерном синтезе см. Критерий Лоусона.

В векторная алгебра, филиал математика, то тройное произведение продукт трех 3-размерный векторы, обычно Евклидовы векторы. Название «тройной продукт» используется для двух разных продуктов, скалярное значение скалярное тройное произведение реже векторнозначные вектор тройное произведение.

Скалярное тройное произведение

Три вектора, определяющие параллелепипед

В скалярное тройное произведение (также называемый смешанный продукт, коробочный продукт, или же тройное скалярное произведение) определяется как скалярное произведение одного из векторов с перекрестное произведение из двух других.

Геометрическая интерпретация

Геометрически скалярное тройное произведение

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

это (подписано) объем из параллелепипед определяется тремя данными векторами. Здесь круглые скобки могут быть опущены, не вызывая двусмысленности, поскольку скалярное произведение не может быть сначала оценено. Если бы это было так, это оставило бы перекрестное произведение скаляра и вектора, которое не определено.

Характеристики

• Скалярное тройное произведение не меняется при круговой сдвиг из трех его операндов (а, б, c):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• При смене позиций операторов без изменения порядка операндов тройное произведение остается неизменным. Это следует из предыдущего свойства и коммутативности скалярного произведения.

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Замена любых двух из трех операндов отрицает тройное произведение. Это следует из свойства кругового сдвига и антикоммутативность перекрестного произведения.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\\=-&\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\=-&\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\=-&\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• Скалярное тройное произведение также можно понимать как детерминант из 3×3 матрица, имеющая три вектора в виде строк или столбцов (матрица имеет тот же определитель, что и ее транспонировать ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}={\rm {det}}\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \right).}$

• Если скалярное тройное произведение равно нулю, то три вектора а, б, и c находятся копланарный, поскольку определяемый ими параллелепипед был бы плоским и не имел бы объема.
• Если любые два вектора в тройном скалярном произведении равны, то его значение равно нулю:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• Более того,

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• В простой продукт двух тройных произведений (или квадрата тройного произведения) можно разложить на скалярные произведения:^[1]

  ${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det \left[{\begin{pmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {d} &\mathbf {e} &\mathbf {f} \end{pmatrix}}\right]=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$

  Это повторяет в векторной записи, что произведение определителей двух матриц 3 × 3 равно определителю их матричного произведения. Как частный случай, квадрат тройного произведения - это Определитель грамма.

Скалярный или псевдоскалярный

Хотя скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, это объем со знаком, знак которого зависит от ориентация кадра или четность перестановки векторов. Это означает, что продукт отменяется, если ориентация меняется на противоположную, например, из-за преобразование четности, и поэтому более точно описывается как псевдоскалярный если ориентация может измениться.

Это также относится к ручность перекрестного произведения; перекрестное произведение преобразуется как псевдовектор при преобразованиях четности и поэтому правильно описывается как псевдовектор. Скалярное произведение двух векторов - это скаляр, но скалярное произведение псевдоскаляра и вектора - это псевдоскаляр, поэтому скалярное тройное произведение должно быть псевдоскалярным.

Если Т это оператор вращения, тогда

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

но если Т является неправильное вращение, тогда

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Как внешний продукт

Три вектора, образующие параллелепипед, имеют тройное произведение, равное его объему.

В внешняя алгебра и геометрическая алгебра внешнее произведение двух векторов есть бивектор, а внешнее произведение трех векторов есть тривектор. Бивектор - это ориентированный плоский элемент, а тривектор - это ориентированный элемент объема, точно так же, как вектор - это ориентированный линейный элемент. Данные векторы а, б и c, продукт

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

представляет собой тривектор с величиной, равной скалярному тройному произведению, и является Ходж Дуал скалярного тройного произведения. Поскольку продукт является внешним, ассоциативные скобки не нужны, так как не имеет значения, какой из а ∧ б или же б ∧ c вычисляется первым, хотя порядок векторов в произведении имеет значение. Геометрически тривектор а ∧ б ∧ c соответствует параллелепипеду, натянутому на а, б, и c, с бивекторами а ∧ б, б ∧ c и а ∧ c соответствие параллелограмм грани параллелепипеда.

Как трилинейный функционал

Тройное произведение идентично объемная форма трехмерного евклидова пространства, примененного к векторам через интерьерный продукт. Его также можно выразить как сокращение векторов с тензором ранга 3, эквивалентным форме (или псевдотензор эквивалент псевдоформы объема); видеть ниже.

Векторное тройное произведение

В вектор тройное произведение определяется как перекрестное произведение одного вектора на произведение двух других. Имеет место следующая связь:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

Это известно как тройное расширение продукта, или же Формула Лагранжа,^[2][3] хотя последнее название также используется для несколько других формул. Его правую часть можно запомнить, используя мнемонический «ACB - ABC», если помнить, какие векторы соединены точками. Предоставляется доказательство ниже. Некоторые учебники пишут идентичность как ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$ такой, что более знакомый мнемонический получается «ВАС - КАБИНА», как «задняя часть кабины».

Поскольку перекрестное произведение антикоммутативно, эту формулу также можно записать (с точностью до перестановки букв) как:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

Из формулы Лагранжа следует, что векторное тройное произведение удовлетворяет:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0}$

какой Личность Якоби для перекрестного произведения. Следующая полезная формула:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Эти формулы очень полезны для упрощения векторных вычислений в физика. Связанная личность в отношении градиенты и полезно в векторное исчисление формула Лагранжа тождества векторных кросс-произведений:^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {f} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {f} }$

Это также можно рассматривать как частный случай более общего Оператор Лапласа – де Рама ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$.

Доказательство

В ${\displaystyle x}$ компонент ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ дан кем-то:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

Точно так же ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ компоненты ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ даны:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Комбинируя эти три компонента, мы получаем:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

Использование геометрической алгебры

Если используется геометрическая алгебра, перекрестное произведение б × c векторов выражается как их внешний продукт б∧c, а бивектор. Второе перекрестное произведение не может быть выражено как внешнее произведение, иначе получится тройное скалярное произведение. Вместо этого левое сокращение^[6] можно использовать, поэтому формула становится^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

Доказательство следует из свойств сжатия.^[6] Результат - тот же вектор, что и вычисленный с использованием а × (б × c).

Интерпретации

Тензорное исчисление

В тензорная запись тройное произведение выражается с помощью Символ Леви-Чивита:^[8]

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$

и

${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon _{k\ell m}b^{\ell }c^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}a^{j}b^{\ell }c^{m}}$,

ссылаясь на ${\displaystyle i}$-й компонент результирующего вектора. Это можно упростить, выполнив сокращение на Леви-Чивита символы, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}=-\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{m\ell k}=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j}}$куда ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ если ${\displaystyle i\neq j}$ и ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ если ${\displaystyle i=j}$. Мы можем определить эту идентичность, признав, что индекс ${\displaystyle k}$ будет суммироваться, оставив только ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$. В первом слагаемом фиксируем ${\displaystyle i=l}$ и поэтому ${\displaystyle j=m}$. Аналогичным образом во втором члене мы фиксируем ${\displaystyle i=m}$ и поэтому ${\displaystyle l=j}$.

Возвращаясь к тройному поперечному произведению,

${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j})a^{j}b^{\ell }c^{m}=a^{j}b^{i}c^{j}-a^{j}b^{j}c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} _{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

Векторное исчисление

Рассмотрим интеграл потока векторного поля ${\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}}$ по параметрически заданной поверхности ${\displaystyle S={\vec {\mathbf {r} }}(u,v)}$: ${\displaystyle \iint _{S}{\vec {\mathbf {F} }}\mathbf {\cdot } {\vec {\mathbf {N} }}\,dS}$. Единичный вектор нормали ${\displaystyle {\vec {\mathbf {N} }}}$ на поверхность дается ${\displaystyle {\frac {{\vec {\mathbf {r} }}_{u}\times {\vec {\mathbf {r} }}_{v}}{|{\vec {\mathbf {r} }}_{u}\times {\vec {\mathbf {r} }}_{v}|}}}$, поэтому подынтегральное выражение ${\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}\mathbf {\cdot } {\frac {{\vec {\mathbf {r} }}_{u}\times {\vec {\mathbf {r} }}_{v}}{|{\vec {\mathbf {r} }}_{u}\times {\vec {\mathbf {r} }}_{v}|}}}$ является скалярным тройным произведением.

Примечания

1. Вонг, Чун Ва (2013). Введение в математическую физику: методы и концепции. Издательство Оксфордского университета. п. 215. ISBN  9780199641390.
2. Жозеф Луи Лагранж не разрабатывал перекрестное произведение как алгебраическое произведение векторов, но действительно использовал его эквивалентную форму в компонентах: см. Лагранж, Ж. Л. (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres. том 3. Возможно, он написал формулу, аналогичную расширению тройного произведения в компонентной форме. Смотрите также Личность Лагранжа и Киёси Ито (1987). Энциклопедический математический словарь. MIT Press. п. 1679. ISBN  0-262-59020-4.
3. Киёси Ито (1993). «§C: Векторное произведение». Энциклопедический математический словарь (2-е изд.). MIT Press. п. 1679. ISBN  0-262-59020-4.
4. Пэнчжи Линь (2008). Численное моделирование водных волн: знакомство с инженерами и учеными. Рутледж. п. 13. ISBN  978-0-415-41578-1.
5. Дж. Хэдинг (1970). Математические методы в науке и технике. Американская издательская компания Elsevier, Inc., стр. 262–263.
6. Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 46. ISBN  0-521-00551-5.
7. Янне Песонен. «Геометрическая алгебра одной и многих многовекторных переменных» (PDF). п. 37.
8. «Тензор перестановок». Вольфрам. Получено 21 мая 2014.

Рекомендации

• Девушка, Гарри (1950). Векторный и тензорный анализ. Книжная компания МакГроу-Хилл, Inc., стр. 23–25.

внешняя ссылка

• Видео Khan Academy о доказательстве расширения тройного продукта