Тройное произведение Якоби - Jacobi triple product

В математика, то Тройное произведение Якоби математическое тождество:

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}$

для комплексных чисел Икс и у, с |Икс| <1 и у ≠ 0.

Он был представлен Якоби  (1829 ) в своей работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.

Тождество тройного произведения Якоби - это Личность Макдональда для аффинной корневой системы типа А₁, и является Формула знаменателя Вейля для соответствующего аффинного Алгебра Каца – Муди.

Характеристики

В основе доказательства Якоби лежит теория Эйлера. теорема о пятиугольных числах, который сам по себе является частным случаем идентичности тройного продукта Якоби.

Позволять ${\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}$ и ${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$. Тогда у нас есть

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Тройное произведение Якоби также позволяет тета-функция быть записано как бесконечное произведение следующим образом:

Позволять ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$ и ${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

Тогда тета-функция Якоби

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}$

можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

Используя идентичность тройного продукта Якоби, мы можем записать тета-функцию как произведение

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

Есть много разных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Он принимает краткую форму, когда выражается в терминах q-Почхаммер символы:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

куда ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ это бесконечный q-Почхаммер символ.

Он имеет особенно элегантную форму, когда выражается в терминах Рамануджан тета-функция. За ${\displaystyle |ab|<1}$ это можно записать как

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Доказательство

Позволять ${\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1}y^{2})(1+x^{2m-1}y^{-2})}$ тогда ${\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}$. С ж_Икс мероморфен для | y | > 0 у него есть серия Лорана ${\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}$ что удовлетворяет ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}$ так что ${\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}$ и поэтому

${\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}$

Оценка ${\displaystyle c_{0}(x)}$ более технический, один из способов - установить у = 1 и покажите числитель и знаменатель ${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}$ вес 1/2 модульный под ${\displaystyle z\mapsto {\frac {-1}{4z}}}$, поскольку они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, фактор должен быть постоянным, чтобы ${\displaystyle c_{0}(x)=c_{0}(0)=1}$.

Простое доказательство дает Г. Эндрюс на основе двух тождеств Эйлера.^[1] Для аналитического случая см. Апостол, первое издание которого было опубликовано в 1976 году. Также см. Ссылки ниже, где приведено доказательство, мотивированное физикой, благодаря Борчердсу.^{[нужна цитата ]}.

Рекомендации

• См. Главу 14, теорему 14.6. Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы, (1994) Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-45761-0
• Якоби, К. Г. Дж. (1829 г.), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN  978-1-108-05200-9, Перепечатано Издательство Кембриджского университета 2012
• Карлитц, L (1962), Заметка о тета-формуле Якоби, Американское математическое общество
• Райт, Э. М. (1965), "Перечислительное доказательство тождества Якоби", Журнал Лондонского математического общества, Лондонское математическое общество: 55–57, Дои:10.1112 / jlms / s1-40.1.55

1. Эндрюс, Джордж Э. (1965-02-01). «Простое доказательство тождества тройного произведения Якоби». Труды Американского математического общества. 16 (2): 333. Дои:10.1090 / S0002-9939-1965-0171725-X. ISSN  0002-9939.

внешняя ссылка