Поверхностный интеграл - Surface integral

В математика, особенно многомерное исчисление, а поверхностный интеграл является обобщением кратные интегралы к интеграция над поверхности. Его можно рассматривать как двойной интеграл аналог линейный интеграл. По поверхности можно интегрировать скалярное поле (это функция позиции, которая возвращает скаляр как значение) по поверхности, или векторное поле (то есть функция, которая возвращает вектор как значение). Если область R не является плоской, то она называется поверхность как показано на рисунке.

Поверхностные интегралы находят применение в физика, особенно с теориями классический электромагнетизм.

Определение поверхностного интеграла основывается на разбиении поверхности на мелкие элементы поверхности.

Иллюстрация одного элемента поверхности. Эти элементы делаются бесконечно маленькими за счет процесса ограничения, чтобы приблизиться к поверхности.

Поверхностные интегралы скалярных полей

Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла по поверхности S, мы должны параметризовать S путем определения системы криволинейные координаты на S, словно широта и долгота на сфера. Пусть такая параметризация будет Икс(s, т), куда (s, т) варьируется в зависимости от региона Т в самолет. Тогда поверхностный интеграл определяется выражением

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где выражение между полосами в правой части - это величина из перекрестное произведение из частные производные из Икс(s, т), и называется поверхностью элемент. Поверхностный интеграл также можно выразить в эквивалентной форме

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

куда грамм является определителем первая фундаментальная форма карты поверхности Икс(s, т).^[1][2]

Например, если мы хотим найти площадь поверхности графика некоторой скалярной функции, скажем z = ж(Икс, у), у нас есть

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

куда р = (Икс, у, z) = (Икс, у, ж(Икс, у)). Так что ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$, и ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$. Так,

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

которая является стандартной формулой для площади поверхности, описанной таким образом. Можно распознать вектор во второй последней строке выше как нормальный вектор на поверхность.

Обратите внимание, что из-за наличия перекрестного произведения приведенные выше формулы работают только для поверхностей, встроенных в трехмерное пространство.

Это можно рассматривать как интеграцию Риманова форма объема на параметризованной поверхности, где метрический тензор дается первая фундаментальная форма поверхности.

Поверхностные интегралы векторных полей

Изогнутая поверхность ${\displaystyle S}$ с векторным полем ${\displaystyle \mathbf {F} }$ проходя через это. Красные стрелки (векторы) показывают величину и направление поля в различных точках на поверхности.

Поверхность разделена на небольшие участки ${\displaystyle dS=dudv}$ параметризацией поверхности

Поток через каждый участок равен нормальной (перпендикулярной) составляющей поля. ${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$ на месте патча ${\displaystyle \mathbf {x} }$ умноженный на площадь ${\displaystyle dS}$. Нормальный компонент равен скалярное произведение из ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ с единичным вектором нормали ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$ (синие стрелки)

Полный поток через поверхность находится путем сложения ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$ для каждого патча. В пределе, когда пятна становятся бесконечно малыми, это поверхностный интеграл
${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {F\cdot n}}\;dS}$

Рассмотрим векторное поле v на поверхности S, то есть для каждого Икс в S, v(Икс) - вектор.

Поверхностный интеграл может быть определен покомпонентно согласно определению поверхностного интеграла скалярного поля; результат - вектор. Это применимо, например, к выражению электрического поля в некоторой фиксированной точке из-за электрически заряженной поверхности или силы тяжести в некоторой фиксированной точке из-за листа материала.

В качестве альтернативы, если мы интегрируем нормальный компонент векторного поля над поверхностью, результатом является скаляр, обычно называемый поток проходя через поверхность. Представьте, что через нас течет жидкость S, так что v(Икс) определяет скорость жидкости при Икс. В поток определяется как количество жидкости, протекающей через S в единицу времени.

Эта иллюстрация подразумевает, что если векторное поле касательная к S в каждой точке поток равен нулю, потому что жидкость просто течет в параллельно к S, причем ни внутрь, ни наружу. Это также означает, что если v не просто течет S, то есть если v имеет как тангенциальную, так и нормальную составляющую, тогда только нормальная составляющая вносит вклад в поток. Исходя из этого рассуждения, чтобы найти поток, нам нужно взять скалярное произведение из v с блоком нормальная поверхность п к S в каждой точке, что даст нам скалярное поле, и проинтегрируем полученное поле, как указано выше. Находим формулу

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {S} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} S\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot {\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right) \over \left\|\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\right\|}\right)\left\|\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Перекрестное произведение в правой части этого выражения представляет собой (не обязательно единичную) нормаль к поверхности, определяемую параметризацией.

Эта формула определяет интеграл слева (обратите внимание на точку и векторные обозначения для элемента поверхности).

Мы также можем интерпретировать это как частный случай интегрирования 2-форм, когда мы отождествляем векторное поле с 1-формой, а затем интегрируем его Ходж Дуал по поверхности, что эквивалентно интегрированию ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \rangle \;\mathrm {d} S}$ по погружаемой поверхности, где ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ - форма индуцированного объема на поверхности, полученная внутреннее умножение римановой метрики объемлющего пространства с внешней нормалью к поверхности.

Поверхностные интегралы дифференциальных 2-форм

Позволять

${\displaystyle f=f_{z}\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+f_{x}\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}$

быть дифференциальная 2-форма определяется на поверхности S, и разреши

${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}$

быть сохранение ориентации параметризация S с ${\displaystyle (s,t)}$ в D. Изменение координат с ${\displaystyle (x,y)}$к ${\displaystyle (s,t)}$, дифференциальные формы преобразуются как

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Так ${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$ превращается в ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} t}$, куда ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$ обозначает детерминант из Якобиан функции перехода от ${\displaystyle (s,t)}$ к ${\displaystyle (x,y)}$. Трансформации других форм аналогичны.

Тогда поверхностный интеграл от ж на S дан кем-то

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

куда

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

является элементом поверхности, нормальным к S.

Заметим, что поверхностный интеграл этой 2-формы совпадает с поверхностным интегралом векторного поля, имеющего в качестве компонентов ${\displaystyle f_{x}}$, ${\displaystyle f_{y}}$ и ${\displaystyle f_{z}}$.

Теоремы о поверхностных интегралах

Различные полезные результаты для поверхностных интегралов могут быть получены с использованием дифференциальная геометрия и векторное исчисление, такой как теорема расходимости, и его обобщение, Теорема Стокса.

Зависимость от параметризации

Заметим, что мы определили поверхностный интеграл, используя параметризацию поверхности S. Мы знаем, что данная поверхность может иметь несколько параметризаций. Например, если мы переместим положения Северного полюса и Южного полюса на сфере, широта и долгота изменятся для всех точек на сфере. Тогда возникает естественный вопрос, зависит ли определение поверхностного интеграла от выбранной параметризации. Для интегралов от скалярных полей ответ на этот вопрос прост; значение поверхностного интеграла будет одинаковым независимо от того, какую параметризацию использовать.

Для интегралов векторных полей дело обстоит сложнее, потому что задействована нормаль к поверхности. Можно доказать, что при двух параметризациях одной и той же поверхности, нормали к которой направлены в одном направлении, можно получить одно и то же значение интеграла поверхности с обеими параметризациями. Если, однако, нормали для этих параметризаций направлены в противоположные стороны, значение поверхностного интеграла, полученного с использованием одной параметризации, является отрицательным по сравнению с значением, полученным с помощью другой параметризации. Отсюда следует, что для данной поверхности нам не нужно придерживаться какой-либо уникальной параметризации, но при интегрировании векторных полей нам нужно заранее решить, в каком направлении будет указывать нормаль, а затем выбрать любую параметризацию, совместимую с этим направлением.

Другая проблема заключается в том, что иногда поверхности не имеют параметризации, охватывающей всю поверхность. Тогда очевидное решение состоит в том, чтобы разделить эту поверхность на несколько частей, вычислить поверхностный интеграл для каждой части, а затем сложить их все. Это действительно так, но при интегрировании векторных полей нужно снова быть осторожным при выборе вектора, указывающего нормали для каждого фрагмента поверхности, чтобы при объединении частей результаты были согласованными. Для цилиндра это означает, что если мы решим, что для боковой области нормаль будет указывать из тела, то для верхней и нижней круглых частей нормаль также должна указывать за пределы тела.

Наконец, есть поверхности, которые не допускают нормалей к поверхности в каждой точке с согласованными результатами (например, Лента Мебиуса ). Если такая поверхность разделена на части, для каждой части выбрана параметризация и соответствующая нормаль к поверхности, а части снова собраны вместе, мы обнаружим, что векторы нормалей, исходящие от разных частей, невозможно согласовать. Это означает, что на некотором стыке между двумя частями у нас будут векторы нормалей, указывающие в противоположных направлениях. Такая поверхность называется неориентируемый, и на такой поверхности нельзя говорить об интегрировании векторных полей.

Смотрите также

• Теорема расходимости
• Теорема Стокса
• Линейный интеграл
• Элемент объема
• Объемный интеграл
• Декартова система координат
• Элементы объема и площади поверхности в сферических системах координат
• Элементы объема и площади поверхности в цилиндрических системах координат
• Метод голштинской селедки

Рекомендации

1. Эдвардс, К. Х. (1994). Расширенное исчисление нескольких переменных. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. п. 335. ISBN  0-486-68336-2.
2. Hazewinkel, Michiel (2001). Энциклопедия математики. Springer. С. Поверхностный интеграл. ISBN  978-1-55608-010-4.

внешняя ссылка

• Поверхностный интеграл - от MathWorld
• Поверхностный интеграл - теория и упражнения