Метод голштинской селедки - Holstein–Herring method

В Голштинскаясельдь метод,^[1][2][3][4] также называется поверхностный интегральный метод,^[5][6] или же Метод Смирнова^[7] является эффективным средством получения обменять энергию расщепления асимптотически вырожденных энергетических состояний в молекулярных системах. Хотя обменная энергия становится неуловимой в больших межъядерных системах, она имеет важное значение в теориях молекулярного связывания и магнетизма. Это расщепление является результатом симметрии при обмене идентичными ядрами (Принцип исключения Паули ).

Теория

Основная идея, заложенная в подходе Холстейна и Херринга, может быть проиллюстрирована на примере молекулярный ион водорода или, в более общем смысле, атом-ион системы или одноактивный электрон системы следующим образом. Мы рассматриваем состояния, которые представлены четными или нечетными функциями по отношению к поведению при пространственной инверсии. Обозначается суффиксами г и ты из немецкого Gerade и отменить и являются стандартной практикой для обозначения электронных состояний двухатомных молекул, тогда как для атомных состояний термины четное и странный используются.

Электронный не зависящий от времени Уравнение Шредингера можно записать как:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi =E\psi ~,}$

куда E - (электронная) энергия данного квантово-механического состояния (собственного состояния) с функцией электронного состояния ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$ в зависимости от пространственных координат электрона и где ${\displaystyle V}$ - электронно-ядерная функция потенциальной кулоновской энергии. Для молекулярный ион водорода, это:

${\displaystyle V=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}\right)}$

Для любого состояния Герада (или даже) электронное волновое уравнение Шредингера может быть записано в виде атомные единицы (${\displaystyle \hbar =m=e=4\pi \varepsilon _{0}=1}$) в качестве:

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+V({\textbf {x}})\right)\psi _{+}=E_{+}\psi _{+}}$

Для любого нестандартного (или нечетного) состояния соответствующее волновое уравнение можно записать в виде:

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}+V({\textbf {x}})\right)\psi _{-}=E_{-}\psi _{-}}$

Для простоты мы предполагаем реальные функции (хотя результат можно обобщить на сложный случай). Затем мы умножаем волновое уравнение Герада на ${\displaystyle \psi _{-}}$слева и волновое уравнение Ungerade слева на ${\displaystyle \psi _{+}}$и вычтите, чтобы получить:

${\displaystyle \psi _{+}\nabla ^{2}\psi _{-}-\psi _{-}\nabla ^{2}\psi _{+}={}-2\,\Delta E\,\psi _{-}\psi _{+}\;.}$

куда ${\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}}$ это обменное расщепление энергии. Далее, без ограничения общности, определим ортогональные одночастичные функции: ${\displaystyle \phi _{A}^{}}$ и ${\displaystyle \phi _{B}^{}}$, расположенные в ядрах, и напишите:

${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {\,2}}}~(\phi _{A}^{}+\phi _{B}^{})\;,\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {\,2}}}~(\phi _{A}^{}-\phi _{B}^{})\;.}$

Это похоже на LCAO (линейная комбинация атомных орбиталей ) метод, используемый в квантовой химии, но подчеркнем, что функции ${\displaystyle \phi _{A}^{}}$ и ${\displaystyle \phi _{B}^{}}$ в целом поляризованный т.е. они не являются чистыми собственными функциями углового момента относительно их ядерного центра, см. также ниже). Обратите внимание, однако, что в пределе как ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$эти локализованные функции ${\displaystyle \phi _{A,B}^{}}$ коллапс в хорошо известные атомные (гидрогенные) пси-функции ${\displaystyle \phi _{A,B}^{0}}$. Обозначим ${\displaystyle M}$ как средняя плоскость, расположенная точно между двумя ядрами (см. диаграмму для молекулярный ион водорода для более подробной информации), с ${\displaystyle {\mathbf {z} }}$ представляющий единичный нормальный вектор этой плоскости (которая параллельна декартовой ${\displaystyle z}$-направление), так что полный ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ пространство делится на левое (${\displaystyle L}$) и вправо (${\displaystyle R}$) половинки. По соображениям симметрии:

${\displaystyle \left.\psi _{-}\right|_{M}=\mathbf {z} \cdot \left.\mathbf {\nabla } \psi _{+}\right|_{M}=0\;.}$

Это означает, что:

${\displaystyle \left.\phi _{A}^{}\right|_{M}=\left.\phi _{B}^{}\right|_{M}\;,\qquad {\mathbf {z} }\cdot \left.\mathbf {\nabla } \phi _{A}^{}\right|_{M}={}-\mathbf {z} \cdot \left.\mathbf {\nabla } \phi _{B}^{}\right|_{M}\;.}$

Кроме того, эти локализованные функции нормализованы, что приводит к:

${\displaystyle \int _{L}\phi _{A}^{2}~dV=\int _{R}\phi _{B}^{2}~dV}$

и наоборот. Интеграция вышеперечисленного во все пространство, оставшееся до средней плоскости, дает:

${\displaystyle 2\int _{L}\psi _{+}\psi _{-}~dV=\int _{L}(\phi _{A}^{2}-\phi _{B}^{2})~dV=1-2\int _{R}\phi _{A}^{2}~dV}$

и

${\displaystyle \int _{L}(\psi _{+}\nabla ^{2}\psi _{-}-\psi _{-}\nabla ^{2}\psi _{+})~dV=\int _{L}(\phi _{B}^{}\nabla ^{2}\phi _{A}^{}-\phi _{A}^{}\nabla ^{2}\phi _{B}^{})~dV}$

Энергии (E) двух нижних дискретных состояний молекулярного иона водорода ${\displaystyle {\text{H}}_{2}^{+}}$, как функция межъядерного расстояния (R) в атомных единицах.

Из вариации теорема расходимости из вышесказанного окончательно получаем:

${\displaystyle \Delta E={}-2\,{\frac {\int _{M}\phi _{A}^{}\mathbf {\nabla } \phi _{A}^{}\cdot d{\mathbf {S} }}{1-2\int _{R}\phi _{A}^{2}~dV}}}$

куда ${\displaystyle d{\mathbf {S} }}$ является дифференциальным элементом поверхности средней плоскости. Это формула Голштейна – Херринга. От последнего, Коньерс Херринг был первым, кто показал^[3] что главный член асимптотического разложения разности энергий между двумя низшими состояниями молекулярного иона водорода, а именно первым возбужденным состоянием ${\displaystyle 2p\sigma _{\mu }}$ и основное состояние ${\displaystyle 1s\sigma _{g}}$ (как выражено в молекулярная запись - кривые энергии см. На графике), оказалось:

${\displaystyle \Delta E=E_{-}-E_{+}={\frac {4}{e}}\,R\,e^{-R}}$

Предыдущие расчеты, основанные на ЛКАО атомных орбиталей, ошибочно давали коэффициент опережения, равный ${\displaystyle 4/3}$ вместо ${\displaystyle 4/e}$. Хотя верно то, что для молекулярного иона водорода собственные энергии могут быть математически выражены в терминах обобщения W функция Ламберта эти асимптотические формулы более полезны в больших диапазонах, а метод Холстейна – Херринга имеет гораздо более широкий круг приложений, чем эта конкретная молекула.

Приложения

Формула Гольштейна – Херринга имела ограниченное применение примерно до 1990 г., когда Тан, Toennies, и Ю^[8] продемонстрировал, что ${\displaystyle \phi _{A}^{}}$ может быть поляризованный волновая функция, то есть волновая функция атома, локализованная в конкретном ядре, но возмущенная другим ядерным центром, и, следовательно, без явной симметрии Герада или Унгерада, и, тем не менее, формула Холстейна – Херринга, приведенная выше, может быть использована для создания правильных разложений асимптотического ряда для обмениваются энергиями. Таким образом, можно успешно преобразовать состав с двумя центрами в эффективный состав с одним центром. Впоследствии он был успешно применен к одноактивным электронным системам. Позже Скотт и другие. объяснил и прояснил свои результаты, разбирая тонкие, но важные вопросы, касающиеся истинной сходимости поляризованной волновой функции.^[9][10][11]

Результат означал, что можно было решить асимптотическое расщепление обменной энергии на любой порядок. Метод Голштейна – Херринга был распространен на двухактивный электрон случай, то есть молекула водорода для двух нижних дискретных состояний ${\displaystyle {\text{H}}_{2}}$^[12] а также для общих атом-атомных систем.^[13]

Физическая интерпретация

Формулу Гольштейна – Херринга можно физически интерпретировать как электрон, испытывающий "квантовое туннелирование "между обоими ядрами, таким образом создавая ток, поток которого через среднюю плоскость позволяет нам изолировать обменную энергию. Таким образом, энергия распределяется, т.е. обменялся, между двумя ядерными центрами. Связанная с туннельным эффектом, дополнительная интерпретация из Сидни Коулман с Аспекты симметрии (1985) имеет "Немедленное включение "путешествовать по классическим путям в формулировка интеграла по путям. Обратите внимание, что интеграл объема в знаменателе формулы Холстейна – Херринга является субдоминирующим в ${\displaystyle R}$. Следовательно, этот знаменатель почти равен единице для достаточно больших межъядерных расстояний. ${\displaystyle R}$ и необходимо учитывать только поверхностный интеграл числителя.

Смотрите также

• Модель дельта-функции Дирака (1-D версия H₂⁺)
• Обменное взаимодействие
• Обменная симметрия
• Коньерс Херринг
• Молекулярный ион водорода
• W функция Ламберта
• Квантовое туннелирование
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Рекомендации

1. Гольштейн, Т. (1952). «Подвижности положительных ионов в исходных газах». J. Phys. Chem. 56 (7): 832–836. Дои:10.1021 / j150499a004.
2. Гольштейн, Т. (1955). «Отчет об исследованиях Westinghouse 60-94698-3-R9». (не опубликовано).
3. сельдь, С. (1962). «Критика метода Гайтлера-Лондона для расчета спиновых связей на больших расстояниях». Ред. Мод. Phys. 34 (4): 631–645. Bibcode:1962РвМП ... 34..631Н. Дои:10.1103 / RevModPhys.34.631.
4. Bardsley, J. N .; Holstein, T .; Юнкер, Б. Р .; Синха, С. (1975). «Расчеты ион-атомных взаимодействий, связанных с резонансными столкновениями с переносом заряда». Phys. Ред. А. 11 (6): 1911–1920. Bibcode:1975ПхРвА..11.1911Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.11.1911.
5. Scott, T. C .; Обер-Фрекон, М .; Андрэ, Д. (2002). «Асимптотика квантово-механических атомно-ионных систем». AAECC (Применимая алгебра в инженерии, коммуникации и вычислениях). 13 (3): 233–255. Дои:10.1007 / с002000200100. S2CID  34547768.
6. Обер-Фрекон, М .; Scott, T. C .; Hadinger, G .; Andrae, D .; Grotendorst, J .; Морган III, Дж. Д. (2004). «Асимптотически точный расчет обменных энергий двухатомных ионов с одним активным электроном методом поверхностного интеграла». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys. 37 (22): 4451–4469. Bibcode:2004JPhB ... 37.4451S. Дои:10.1088/0953-4075/37/22/005.
7. Смирнов, Б. М .; Чибисов М.И. (1965). «Электронный обмен и изменение сверхтонкого состояния сталкивающихся атомов щелочных металлов». Сов. Phys. ЖЭТФ. 21: 624–628. Bibcode:1965JETP ... 21..624S.
8. Tang, K. T .; Тоеннис, Дж. П.; Ю, К. Л. (1991). «Обменная энергия H₂⁺ рассчитывается по теории поляризационных возмущений ». J. Chem. Phys. 94 (11): 7266–7277. Bibcode:1991ЖЧФ..94.7266Т. Дои:10.1063/1.460211.
9. Scott, T. C .; Дальгарно, А.; Морган III, Дж. Д. (1991). «Обменная энергия H₂⁺ рассчитывается по теории поляризационных возмущений и по методу Гольштейна-Херринга ». Phys. Rev. Lett. 67 (11): 1419–1422. Bibcode:1991ПхРвЛ..67.1419С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.67.1419. PMID  10044142.
10. Scott, T. C .; Babb, J. F .; Дальгарно, А.; Морган III, Дж. Д. (1993). «Разрешение парадокса в вычислении обменных сил для H₂⁺". Chem. Phys. Lett. 203 (2–3): 175–183. Bibcode:1993CPL ... 203..175S. Дои:10.1016 / 0009-2614 (93) 85383-У.
11. Scott, T. C .; Babb, J. F .; Дальгарно, А.; Морган III, Дж. Д. (1993). «Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели». J. Chem. Phys. 99 (4): 2841–2854. Bibcode:1993ЖЧФ..99.2841С. Дои:10.1063/1.465193.
12. Селедка, C .; Фликер, М. (1964). «Асимптотическое обменное взаимодействие двух атомов водорода». Phys. Ред. А. 134 (2A): 362–366. Bibcode:1964ПхРв..134..362Х. Дои:10.1103 / PhysRev.134.A362.
13. Scott, T. C .; Обер-Фрекон, М .; Andrae, D .; Grotendorst, J .; Morgan III, J.D .; Глассер, М. Л. (2004). «Обменная энергия для двухатомных систем с двумя активными электронами в рамках метода поверхностного интеграла». AAECC. 15 (2): 101–128. Дои:10.1007 / s00200-004-0156-6. S2CID  21563646.