W функция Ламберта - Lambert W function

График у = W(Икс) серьезно Икс < 6 и у > −4. Верхняя ветвь (синяя) с у ≥ −1 график функции W₀ (основная ветвь), нижняя ветвь (пурпурный) с у ≤ −1 график функции W₋₁. Минимальное значение Икс находится на {−1 /е,−1}

В математика, то Ламберт W функция, также называемый омега-функция или логарифм продукта, это многозначная функция, а именно ветви из обратное отношение функции ж(ш) = мы^ш, где ш есть ли комплексное число и е^ш это экспоненциальная функция.

Для каждого целого числа k есть одна ветвь, обозначенная W_k(z), которая является комплексной функцией одного сложного аргумента. W₀ известен как главный филиал. Эти функции обладают следующим свойством: если z и ш - любые комплексные числа, то

${\displaystyle we^{w}=z}$

выполняется тогда и только тогда, когда

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

При работе только с действительными числами две ветви W₀ и W₋₁ достаточно: для действительных чисел Икс и у уравнение

${\displaystyle ye^{y}=x}$

можно решить для у только если Икс ≥ −1/е; мы получаем у = W₀(Икс) если Икс ≥ 0 и два значения у = W₀(Икс) и у = W₋₁(Икс) если −1/е ≤ Икс < 0.

Ламберт W отношение не может быть выражено в терминах элементарные функции.^[1] Это полезно в комбинаторика, например, при перечислении деревья. Его можно использовать для решения различных уравнений, включающих экспоненты (например, максимумы Планк, Бозе-Эйнштейн, и Ферми – Дирак распределений), а также встречается в решении дифференциальные уравнения с запаздыванием, такие как у′(т) = а у(т − 1). В биохимия, и в частности кинетика ферментов, открытое решение для анализа кинетики динамики Кинетика Михаэлиса – Ментен описывается в терминах Ламберта W функция.

Главный филиал Ламберта W функция в комплексной плоскости. Обратите внимание срезанная ветка вдоль отрицательной действительной оси, заканчиваясь в −1/е. На этой картинке оттенок точки z определяется аргумент из W(z), а яркость абсолютная величина из W(z).

Модуль главной ветви формулы Ламберта W функция, окрашенная в соответствии с аргумент W(z)

Терминология

Ламберт W функция названа в честь Иоганн Генрих Ламберт. Главный филиал W₀ обозначается Wp в Электронная библиотека математических функций, и филиал W₋₁ обозначается Wm Там.

Выбранное здесь обозначение (с W₀ и W₋₁) следует канонической ссылке на Ламберт W функция Корлесса, Гонне, Хэра, Джеффри и Knuth.^[2]

Название «логарифм продукта» можно понимать так: Поскольку обратная функция из ж(ш) = е^ш называется логарифм, имеет смысл вызвать обратную функцию товар мы^ш как «логарифм продукта». Это связано с Постоянная омега, что равно W₀(1).

История

Ламберт первым рассмотрел родственные Трансцендентное уравнение Ламберта в 1758 г.,^[3] что привело к статье Леонард Эйлер в 1783 г.^[4] который обсуждал особый случай мы^ш.

Рассматриваемая функция Ламберта была

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Эйлер преобразовал это уравнение к виду

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Оба автора получили решение ряда своих уравнений.

Решив это уравнение, Эйлер рассмотрел случай а = б. Взяв пределы, он вывел уравнение

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Затем он положил а = 1 и получили решение сходящегося ряда для полученного уравнения, выражающее Икс с точки зрения c.

После взятия производных по Икс После некоторых манипуляций получен стандартный вид функции Ламберта.

В 1993 году, когда стало известно, что Ламберт W функция обеспечивает точное решение квантово-механической двухъямная модель дельта-функции Дирака для равных зарядов - фундаментальная проблема физики - Корлесс и разработчики Клен Система компьютерной алгебры произвела поиск в библиотеке и обнаружила, что эта функция является повсеместной по своей природе.^[2][5]

Другой пример, где встречается эта функция, находится в Кинетика Михаэлиса – Ментен.

Хотя это было фольклорное знание, что Ламберт W Функция не может быть выражена через элементарные (лиувиллевы) функции, первое опубликованное доказательство появилось только в 2008 году.^[6]

Элементарные свойства, ветви и ассортимент

Ассортимент W функция, показывающая все ветви. Черные кривые (включая действительную ось) образуют изображение действительной оси, оранжевые кривые - изображение мнимой оси. Пурпурная кривая - это изображение небольшого круга вокруг точки z = 0; красные кривые - это изображение небольшого круга вокруг точки z = −1/е.

График мнимой части W [n, x + i y] для ветвей n = -2, -1,0,1,2. Сюжет похож на сюжет многозначного комплексный логарифм функция, за исключением того, что расстояние между листами не является постоянным, а соединение основного листа отличается

Существует счетное множество ветвей W функция, обозначаемая W_k(z), для целого числа k; W₀(z) являясь основным (или главным) филиалом. W₀(z) определено для всех комплексных чисел z в то время как W_k(z) с участием k ≠ 0 определено для всех ненулевых z. У нас есть W₀(0) = 0 и Limz→0 W_k(z) = −∞ для всех k ≠ 0.

Точка ветвления для основной ветви находится в z = −1/е, с разрезом ветви, доходящим до −∞ вдоль отрицательной действительной оси. Этот разрез отделяет основную ветвь от двух ветвей. W₋₁ и W₁. Во всех отраслях W_k с участием k ≠ 0, есть точка ветвления в z = 0 и ветвь, разрезанная по всей отрицательной действительной оси.

Функции W_k(z), k ∈ Z все инъективный и их диапазоны не пересекаются. Диапазон всей многозначной функции W - комплексная плоскость. Изображение действительной оси представляет собой объединение действительной оси и квадратик Гиппия, параметрическая кривая ш = −т детская кроватка т + Это.

Обратный

Области комплексной плоскости, для которых ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$. Более темные границы определенной области включаются в более светлую область того же цвета. Точка {-1,0} включена как в ${\displaystyle n=-1}$ (синий) регион и ${\displaystyle n=0}$ (серая) область. Горизонтальные линии сетки кратны π.

График диапазона выше также очерчивает области на комплексной плоскости, где простая обратная связь '${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ правда. ж=зе^z означает, что существует п такой, что ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$, где п будет зависеть от стоимости z. Значение целого числа п резко изменится, когда зе^z находится на срезе ветки ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ что будет означать, что зе^z ≤ 0, кроме ${\displaystyle n=0}$ где это будет зе^z ≤ -1/е.

Определить ${\displaystyle z=x+iy}$ где Икс и у настоящие. Выражая е^z в полярных координатах видно, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))\\&=e^{x}(x\cos(y)-y\sin(y))+ie^{x}(x\sin(y)+y\cos(y))\\\end{aligned}}}$

Для ${\displaystyle n\neq 0}$, срезанная ветка для ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ будет неположительной действительной осью, так что:

${\displaystyle x\sin(y)+y\cos(y)=0\Rightarrow x=-y/\tan(y)}$

и

${\displaystyle (x\cos(y)-y\sin(y))e^{x}\leq 0}$

Для ${\displaystyle n=0}$, срезанная ветка для ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ будет реальная ось с ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$ так что неравенство становится:

${\displaystyle (x\cos(y)-y\sin(y))e^{x}\leq -1/e}$

Внутри областей, ограниченных указанным выше, скачкообразных изменений ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ и в этих регионах будет указано, где W функция просто обратима: т.е. ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$.

Исчисление

Производная

От неявное дифференцирование, можно показать, что все ветви W удовлетворить дифференциальное уравнение

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

(W не является дифференцируемый для z = −1/е.) Как следствие, получаем следующую формулу для производной от W:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Используя личность е^W(z) = z/W(z), получаем следующую эквивалентную формулу:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

В начале мы имеем

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Первообразный

Функция W(Икс), и многие выражения, включающие W(Икс), может быть интегрированный с использованием замена ш = W(Икс), т.е. Икс = мы^ш:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(Последнее уравнение чаще встречается в литературе, но не выполняется при Икс = 0). Одно из следствий этого (используя тот факт, что W₀(е) = 1) - это тождество

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Асимптотические разложения

В Серия Тейлор из W₀ около 0 можно найти с помощью Теорема обращения Лагранжа и дается

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

В радиус схождения является 1/е, как видно из тест соотношения. Функция, определяемая этой серией, может быть расширена до голоморфная функция определен на всех комплексных числах с срезанная ветка вдоль интервал (−∞, −1/е]; эта голоморфная функция определяет главный филиал Ламберта W функция.

Для больших значений Икс, W₀ асимптотичен

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

где L₁ = ln Икс, L₂ = ln ln Икс, и [^{л + м}
_{л + 1}] неотрицательный Число Стирлинга первого рода.^[2] Сохраняя только первые два условия расширения,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).}$

Другая настоящая ветка, W₋₁, определенный в интервале [−1/е, 0), имеет приближение того же вида, что и Икс стремится к нулю, в этом случае L₁ = ln (-Икс) и L₂ = ln (−ln (-Икс)).^[2]

Показано^[7] справедлива следующая оценка (оценка сверху только для Икс ≥ е):

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

В 2013 году было доказано^[8] что филиал W₋₁ можно ограничить следующим образом:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Целочисленные и комплексные степени

Целочисленные степени W₀ также признать простой Тейлор (или Лоран ) разложения в нуле:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

В более общем плане для р ∈ ℤ, то Формула обращения Лагранжа дает

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

что в общем случае является рядом Лорана порядка р. Эквивалентно последнее может быть записано в форме разложения Тейлора степеней W₀(Икс) / Икс:

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

что справедливо для любого р ∈ ℂ и |Икс| < 1/е.

Идентичности

Сюжет W_j(x e^Икс) где синий - для j = 0, а красный - для j = -1. Диагональная линия представляет интервалы, где W_j(x e^Икс) = х

Из определения следует несколько идентичностей:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, поскольку ж(Икс) = xe^Икс не является инъективный, не всегда W(ж(Икс)) = Икс, как и в случае с обратные тригонометрические функции. Для фиксированных Икс < 0 и Икс ≠ −1, уравнение xe^Икс = вы^у имеет два решения в у, один из которых, конечно, у = Икс. Тогда для я = 0 и Икс < −1, а также для я = −1 и Икс ∈ (−1, 0), у = W_я(xe^Икс) другое решение.

Некоторые другие личности:^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)\cdot e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[10]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(который может быть расширен на другие п и Икс если выбрана правильная ветка).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Подстановка −ln Икс в определении:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

С повторной экспонентой Эйлера час(Икс):

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Особые ценности

Для любого ненулевого алгебраическое число Икс, W(Икс) это трансцендентное число. Действительно, если W(Икс) равно нулю, то Икс также должен быть равен нулю, и если W(Икс) отличен от нуля и алгебраичен, то по Теорема Линдемана – Вейерштрасса, е^W(Икс) должно быть трансцендентным, подразумевая, что Икс = W(Икс)е^W(Икс) также должно быть трансцендентным.

Ниже приведены особые значения основной ветви:

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}.}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1.}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right).}$

${\displaystyle W\left(2\ln 2\right)=\ln 2.}$

${\displaystyle W(0)=0.}$

${\displaystyle W(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}-1\approx 0.56714329\ldots }$ (в омега-константа ).

${\displaystyle W(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1).}$

${\displaystyle W(e)=1.}$

${\displaystyle W\left(e^{1+e}\right)=e.}$

${\displaystyle W(-1)\approx -0.31813+1.33723i.}$

Представления

Основная ветвь функции Ламберта может быть представлена ​​собственным интегралом благодаря Пуассону:^[11]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

В более широком смысле −1/е ≤ Икс ≤ е, значительно более простое представление найдено Мезо:^[12]

${\displaystyle W(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt.}$

Следующее непрерывная дробь представление справедливо и для главной ветви:^[13]

${\displaystyle W(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Кроме того, если |W(z)| < 1:^[14]

${\displaystyle W(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

В свою очередь, если |W(z)| > е, тогда

${\displaystyle W(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Другие формулы

Определенные интегралы

Существует несколько полезных определенных интегральных формул, включающих главную ветвь W функции, в том числе следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Первую личность можно найти, написав Гауссов интеграл в полярные координаты.

Вторую идентичность можно получить, сделав замену ты = W(Икс), который дает

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Третья идентичность может быть получена из второй путем замены ты = Икс⁻² и первое также может быть получено из третьего путем замены z = 1/√2 загар Икс.

Кроме z вдоль среза ветки (−∞, −1/е] (где интеграл не сходится) главная ветвь ламбертовского W функция может быть вычислена с помощью следующего интеграла:^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

где два интегральных выражения эквивалентны из-за симметрии подынтегрального выражения.

Неопределенные интегралы

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {W(x)}{x}}dx={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+W(x){\bigr )}^{2}+C.\\[5pt]&\int W\left(Ae^{Bx}\right)dx={\frac {1}{2B}}{\bigl (}1+W\left(Ae^{Bx}\right){\bigr )}^{2}+C.\end{aligned}}}$

Приложения

Решение уравнений

Ламберт W Функция используется для решения уравнений, в которых неизвестная величина встречается как в основании, так и в показателе степени, или как внутри, так и вне логарифма. Стратегия состоит в том, чтобы преобразовать такое уравнение в одну из форм зе^z = ш а затем решить для z. с использованием W функция.

Например, уравнение

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(где Икс неизвестное действительное число) можно решить, переписав его как

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}\end{aligned}}}$

Это последнее уравнение имеет желаемую форму, а решения для действительного x:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

и поэтому:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011...\ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456...}$

Как правило, решение

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

является:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

где а, б, и c комплексные константы, с б и c не равно нулю, и W функция имеет любой целочисленный порядок.

Вязкие потоки

Фронты и отложения зернистых и селевых потоков, а также фронты вязких флюидов в природных явлениях и в лабораторных экспериментах можно описать с помощью омега-функции Ламберта-Эйлера следующим образом:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

где ЧАС(Икс) высота селевого потока, Икс положение канала ниже по потоку, L - параметр единой модели, состоящий из нескольких физических и геометрических параметров потока, высоты потока и градиента гидравлического давления.

В поток трубы, функция Ламберта W является частью явной формулировки Уравнение Колбрука для поиска Коэффициент трения Дарси. Этот коэффициент используется для определения падения давления на прямом участке трубы, когда расход бурный.^[16]

Нейровизуализация

Ламберт W Функция была использована в области нейровизуализации для связи изменений мозгового кровотока и потребления кислорода в вокселе мозга с соответствующим сигналом, зависимым от уровня оксигенации крови (ЖИРНЫЙ).^[17]

Химическая инженерия

Ламберт W Функция была использована в области химической инженерии для моделирования толщины пористой электродной пленки в стеклоуглерод на основании суперконденсатор для электрохимического накопления энергии. Ламберт W Функция оказалась точным решением для процесса термической активации в газовой фазе, где рост углеродной пленки и горение одной и той же пленки конкурируют друг с другом.^[18][19]

Материаловедение

Ламберт W функция использовалась в области эпитаксиальный рост пленки для определения критического вывих начальная толщина пленки. Это расчетная толщина эпитаксиальной пленки, при которой в соответствии с термодинамическими принципами в пленке будут развиваться кристаллографические дислокации, чтобы минимизировать запасенную в пленках упругую энергию. До применения Ламберта W для этой задачи критическая толщина должна быть определена путем решения неявного уравнения. Ламберт W с легкостью превращает его в явное уравнение для аналитической обработки.^[20]

Пористая среда

Ламберт W Функция была использована в области течения жидкости в пористой среде для моделирования наклона границы раздела двух гравитационно разделенных жидкостей в однородном наклонном пористом слое постоянного падения и толщины, где более тяжелая жидкость, нагнетаемая в нижний конец, вытесняет более легкую. жидкость, которая добывается с той же скоростью из верхнего конца. Основная ветвь решения соответствует стабильным смещениям, а ветвь -1 применяется, если смещение нестабильно, когда более тяжелая жидкость течет под более легкой.^[21]

Числа Бернулли и род Тодда

Уравнение (связанное с производящими функциями Числа Бернулли и Род Тоддов ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

может быть решена с помощью двух реальных ветвей W₀ и W₋₁:

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Это приложение показывает, что разница ветвей W функция может использоваться для решения других трансцендентных уравнений.^[22]

Статистика

Центроид набора гистограмм, определенных относительно симметризованной дивергенции Кульбака – Лейблера (также называемой дивергенцией Джеффриса ^[23]) имеет замкнутый вид с использованием формулы Ламберта W функция.^[24]

Точные решения уравнения Шредингера

Ламберт W функция появляется в квантово-механическом потенциале, который дает пятый - рядом с гармоническим осциллятором плюс центробежный, кулоновским плюс обратным квадратом, Морзе и потенциал обратного квадратного корня - точное решение стационарного одномерного уравнения Шредингера в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Потенциал задается как

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Особенность решения состоит в том, что каждое из двух фундаментальных решений, составляющих общее решение уравнения Шредингера, задается комбинацией двух конфлюэнтных гипергеометрических функций аргумента, пропорционального^[25]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

Ламберт W функция также входит в точное решение для энергии связанного состояния одномерного уравнения Шредингера с Двойной дельта-потенциал.

Точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна

в Метрика Шварцшильда решение вакуумных уравнений Эйнштейна, W функция необходима для перехода от Координаты Эддингтона – Финкельштейна в координаты Шварцшильда. По этой причине он также появляется в конструкции Координаты Крускала – Секереса.

Резонансы потенциала дельта-оболочки

S-волновые резонансы потенциала дельта-оболочки могут быть точно записаны в терминах Ламберта W функция.^[26]

Термодинамическое равновесие

Если в реакции участвуют реагенты и продукты, имеющие тепловые мощности постоянные с температурой, то константа равновесия K подчиняется

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

для некоторых констант а, б, и c. Когда c (равно ΔC_п/р) не равно нулю, мы можем найти значение или значения Т где K равно заданному значению следующим образом, где мы используем L для пер Т.

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Если а и c имеют один и тот же знак, то будет либо два решения, либо ни одного (или одно, если аргумент W точно −1/е). (Верхнее решение может не иметь отношения.) Если они имеют противоположные знаки, будет одно решение.

AdS / CFT корреспонденция

Классические конечномерные поправки к дисперсионным соотношениям гигантские магноны, одиночные шипы и Струны GKP можно выразить через формулу Ламберта W функция.^[27][28]

Эпидемиология

в т → ∞ предел Модель SIR, соотношение восприимчивых и выздоровевших людей имеет решение в терминах Ламберта W функция.^[29]

Определение времени полета снаряда

Общее время полета снаряда, который испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости. можно определить в точном виде с помощью метода Ламберта W функция.

Обобщения

Стандартный Ламберт W функция выражает точные решения трансцендентно-алгебраический уравнения (в Икс) формы:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}$

(1)

где а₀, c и р реальные константы. Решение

${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$

Обобщения Ламберта W функция^[30][31][32] включают:

• Приложение к общая теория относительности и квантовая механика (квантовая гравитация ) в более низких измерениях, фактически ссылка (неизвестно до 2007 г.^[33]) между этими двумя областями, где правая часть (1) заменяется квадратичным многочленом от Икс:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),}$

(2)

где р₁ и р₂ - действительные различные константы, корни квадратичного многочлена. Здесь решение - это функция с единственным аргументом Икс но такие термины, как р_я и а₀ параметры этой функции. В этом отношении обобщение напоминает гипергеометрический функция и Мейер г функция но он принадлежит другому класс функций. Когда р₁ = р₂, обе стороны (2) можно разложить на множители и свести к (1) и, таким образом, решение сводится к решению стандартного W функция. Уравнение (2) выражает уравнение, определяющее дилатон поле, из которого выводится метрика р = Т или линейный задача двух тел гравитации в 1 + 1 измерениях (одно пространственное измерение и одно временное измерение) для случая неравных масс покоя, а также собственные энергии квантово-механических двухъямная модель дельта-функции Дирака для неравный заряды в одном измерении.

• Аналитические решения собственных энергий частного случая квантовой механики. проблема трех тел, а именно (трехмерный) молекула водорода-ион.^[34] Здесь правая часть (1) заменяется отношением полиномов бесконечного порядка от Икс:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}$

(3)

где р_я и s_я различные действительные константы и Икс является функцией собственной энергии и межъядерного расстояния р. Уравнение (3) с его частными падежами, выраженными в (1) и (2) относится к большому классу дифференциальные уравнения с запаздыванием. Г. Х. Харди понятие "ложной производной" дает точные множественные корни частным случаям (3).^[35]

Приложения Ламберта W функции в фундаментальных физических задачах не исчерпываются даже для стандартного случая, выраженного в (1), как это было недавно замечено в районе атомная, молекулярная и оптическая физика.^[36]

Сюжеты

• Сюжеты Ламберта W функция на комплексной плоскости
• 

  z = Re (W₀(Икс + иу))

• 

  z = Im (W₀(Икс + иу))

• 

  z = |W₀(Икс + иу)|

• 

  Наложение трех предыдущих сюжетов

Числовая оценка

В W функция может быть аппроксимирована с помощью Метод Ньютона, с последовательными приближениями к ш = W(z) (так z = мы^ш) будучи

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

В W функция также может быть аппроксимирована с помощью Метод Галлея,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

приведено в Corless et al.^[2] вычислить W.

Программного обеспечения

Ламберт W функция реализована какLambertW в клене, Lambertw в GP (и glambertW в PARI ), Lambertw в Matlab,^[37] также Lambertw в Октава с specfun пакет, как lambert_w в Максима,^[38] так как ProductLog (с тихим псевдонимом LambertW) в Mathematica,^[39] так как Lambertw в Python странный специальный пакет функций,^[40] так как LambertW в Perl теория модуль^[41] и в качестве gsl_sf_lambert_W0, gsl_sf_lambert_Wm1 функции в специальные функции раздел Научная библиотека GNU (GSL). в Библиотеки Boost C ++, звонки lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_prime, и lambert_wm1_prime. В р, Ламберт W функция реализована как lambertW0 и lambertWm1 функции в lamW пакет.^[42]

Код на C ++ для всех ветвей комплекса Ламберта W Функция доступна на домашней странице Иштвана Мезо.^[43]

Смотрите также

• Омега-функция Райта
• Ламберта трехчленное уравнение
• Теорема обращения Лагранжа
• Экспериментальная математика
• Метод голштинской селедки
• р = Т модель
• Росс π лемма

Заметки

1. Чоу, Тимоти Ю. (1999), «Что такое число в закрытой форме?», Американский математический ежемесячный журнал, 106 (5): 440–448, arXiv:математика / 9805045, Дои:10.2307/2589148, JSTOR  2589148, Г-Н  1699262.
2. Corless, R.M .; Gonnet, G.H .; Hare, D. E. G .; Джеффри, Д. Дж .; Кнут, Д. Э. (1996). "На Ламберте W функция " (PostScript). Достижения в вычислительной математике. 5: 329–359. arXiv:1809.07369. Дои:10.1007 / BF02124750. S2CID  29028411.
3. Ламберт Дж. Х., "Observationes variae в матесин пурам", Acta Helveticae физико-математико-анатомо-ботанико-медика, Band III, 128–168, 1758.
4. Эйлер, Л. "Из серии Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Acta Acad. Научный. Петрополь. 2, 29–51, 1783. Перепечатано в Euler, L. Опера Омния, Серия Прима, Том. 6. Алгебраические комментарии. Лейпциг, Германия: Teubner, стр. 350–369, 1921.
5. Corless, R.M .; Gonnet, G.H .; Hare, D. E. G .; Джеффри, Д. Дж. (1993). "Ламберта W функция в Maple ". Технический бюллетень Maple. 9: 12–22. CiteSeerX  10.1.1.33.2556.
6. Бронштейн, Мануэль; Корлесс, Роберт М .; Давенпорт, Джеймс Х .; Джеффри, Д.Дж. (2008). «Алгебраические свойства Ламберта W функция из результата Розенлихта и Лиувилля ". Интегральные преобразования и специальные функции. 19 (10): 709–712. Дои:10.1080/10652460802332342.
7. А. Хоорфар, М. Хассани, Неравенства по Ламберту W Функция и функция сверхмощности, JIPAM, том 9, выпуск 2, статья 51. 2008 г.
8. Чатзигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение для анализа сбоев взаимодействия пользователей». Письма по коммуникациям IEEE. 17 (8): 1505–1508. arXiv:1601.04895. Дои:10.1109 / LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.
9. «Функция Ламберта: Тождества (формула 01.31.17.0001)».
10. «W-функция Ламберта».
11. Финч, С. Р. (2003). Математические константы. Издательство Кембриджского университета. п. 450.
12. Иштван, Мезо. "Интегральное представление основной ветви Ламберта W функция ". Получено 7 ноября 2017.
13. Дубинов, А.Е .; Дубинова, И. Д .; Сайков, С. К. (2006). Ламберт W Функция и ее приложения к математическим задачам физики.. РФЯЦ-ВНИИЭФ. п. 53.
14. Роберт М., Корлесс; Дэвид Дж., Джеффри; Дональд Э., Кнут (1997). Последовательность серий для Ламберта W функция. Труды Международного симпозиума 1997 г. по символическим и алгебраическим вычислениям. С. 197–204. Дои:10.1145/258726.258783. ISBN  978-0897918756. S2CID  6274712.
15. "Ламберт W Функция ". Исследовательский центр компьютерной алгебры Онтарио.
16. Подробнее, А. А. (2006). «Аналитические решения для уравнения Коулбрука и Уайта и падения давления в потоке идеального газа в трубах». Химическая инженерия. 61 (16): 5515–5519. Дои:10.1016 / j.ces.2006.04.003.
17. Сотеро, Роберто Ч .; Итуррия-Медина, Яссер (2011). «От сигналов, зависящих от уровня оксигенации крови (жирный шрифт), до карт температуры мозга». Бык математика биол (Представлена ​​рукопись). 73 (11): 2731–47. Дои:10.1007 / s11538-011-9645-5. PMID  21409512. S2CID  12080132.
18. Браун, Артур; Вокаун, Александр; Херманс, Хайнц-Гюнтер (2003). «Аналитическое решение проблемы роста с двумя подвижными границами». Математическая модель приложения. 27 (1): 47–52. Дои:10.1016 / S0307-904X (02) 00085-9.
19. Браун, Артур; Бэрч, Мартин; Шнайдер, Бернхард; Кетц, Рюдигер (2000). «Модель роста пленки в образцах с двумя движущимися границами - применение и расширение модели непрореагировавшего ядра». Chem Eng Sci. 55 (22): 5273–5282. Дои:10.1016 / S0009-2509 (00) 00143-3.
20. Браун, Артур; Бриггс, Кейт М .; Боени, Питер (2003). "Аналитическое решение критической толщины образования дислокаций Мэтьюза и Блэксли эпитаксиально выращенных тонких пленок". Рост J Cryst. 241 (1–2): 231–234. Bibcode:2002JCrGr.241..231B. Дои:10.1016 / S0022-0248 (02) 00941-7.
21. Колла, Пьетро (2014). «Новый аналитический метод движения двухфазной границы раздела в наклонной пористой среде». ТРУДЫ, Тридцать восьмой семинар по разработке геотермальных резервуаров, Стэнфордский университет. SGP-TR-202.([1] )
22. Д. Дж. Джеффри и Дж. Э. Янковски, "Различия ветвей и Ламберт". W"
23. Флавия-Корина Митрой-Симеонидис, Ион Ангел, Сигеру Фуруичи (2019). «Кодировки для расчета перестановочной гипоэнтропии и их приложения к натурным данным о пожаре в отсеке». Acta Technica Napocensis. 62, IV: 607-616.
24. Ф. Нильсен, "Центроиды Джеффриса: выражение в закрытой форме для положительных гистограмм и гарантированное точное приближение для частотных гистограмм"
25. A.M. Ишханян, "Ламберт" W барьер - точно решаемый конфлюэнтный гипергеометрический потенциал ».
26. де ла Мадрид, Р. (2017). «Численный расчет ширин распада, констант распада и энергетических спектров распада резонансов потенциала дельта-оболочки». Nucl. Phys. А. 962: 24–45. arXiv:1704.00047. Bibcode:2017НуФА.962 ... 24Д. Дои:10.1016 / j.nuclphysa.2017.03.006. S2CID  119218907.
27. Флоратос, Эммануэль; Георгиу, Джордж; Линардопулос, Георгиос (2014). "Расширение струн GKP при большом вращении". JHEP. 2014 (3): 0180. arXiv:1311.5800. Bibcode:2014JHEP ... 03..018F. Дои:10.1007 / JHEP03 (2014) 018. S2CID  53355961.
28. Флоратос, Эммануэль; Линардопулос, Георгиос (2015). "Расширения гигантских магнонов и одиночных шипов с большим спином и большой обмоткой". Nucl. Phys. B. 897: 229–275. arXiv:1406.0796. Bibcode:2015НуФБ.897..229Ф. Дои:10.1016 / j.nuclphysb.2015.05.021. S2CID  118526569.
29. Wolfram Research, Inc. "Mathematica, Версия 12.1". Шампанское Иллинойс, 2020.
30. Scott, T. C .; Mann, R. B .; Мартинес II, Роберто Э. (2006). «Общая теория относительности и квантовая механика: к обобщению теории Ламберта. W Функция ». AAECC (Применимая алгебра в инженерии, коммуникации и вычислениях). 17 (1): 41–47. arXiv:math-ph / 0607011. Bibcode:2006math.ph ... 7011S. Дои:10.1007 / s00200-006-0196-1. S2CID  14664985.
31. Scott, T. C .; Комиссия, G .; Гротендорст, Дж. (2013). «Асимптотический ряд обобщенного Ламберта. W Функция ". SIGSAM (Специальная группа ACM по символьным и алгебраическим манипуляциям). 47 (185): 75–83. Дои:10.1145/2576802.2576804. S2CID  15370297.
32. Scott, T. C .; Комиссия, G .; Grotendorst, J .; Чжан, W.Z. (2014). "Числа обобщенного Ламберта W Функция ". SIGSAM. 48 (1/2): 42–56. Дои:10.1145/2644288.2644298. S2CID  15776321.
33. Farrugia, P. S .; Mann, R. B .; Скотт, Т. С. (2007). "N-тесная гравитация и уравнение Шредингера ». Класс. Квантовая гравитация. 24 (18): 4647–4659. arXiv:gr-qc / 0611144. Bibcode:2007CQGra..24.4647F. Дои:10.1088/0264-9381/24/18/006. S2CID  119365501.
34. Scott, T. C .; Обер-Фрекон, М .; Гротендорст, Дж. (2006). «Новый подход к электронным энергиям молекулярного иона водорода». Chem. Phys. 324 (2–3): 323–338. arXiv:физика / 0607081. Bibcode:2006CP .... 324..323S. CiteSeerX  10.1.1.261.9067. Дои:10.1016 / j.chemphys.2005.10.031. S2CID  623114.
35. Maignan, Aude; Скотт, Т. К. (2016)."Конкретизируя обобщенный Ламберт W Функция ». SIGSAM. 50 (2): 45–60. Дои:10.1145/2992274.2992275.
36. Scott, T. C .; Lüchow, A .; Брессанини, Д .; Морган, Дж. Д. III (2007). «Узловые поверхности собственных функций атома гелия» (PDF). Phys. Ред. А. 75 (6): 060101. Bibcode:2007PhRvA..75f0101S. Дои:10.1103 / PhysRevA.75.060101. HDL:11383/1679348.
37. lambertw - MATLAB
38. Maxima, система компьютерной алгебры
39. ProductLog на WolframAlpha
40. "Scipy.special.lambertw - Справочное руководство SciPy v0.16.1".
41. ntheory в MetaCPAN
42. Адлер, Авраам (24.04.2017), lamW: Ламберт W Функция, получено 2017-12-19
43. Веб-страница Иштвана Мезо

использованная литература

• Corless, R .; Gonnet, G .; Заяц, Д .; Джеффри, Д .; Кнут, Дональд (1996). "На Ламберте W функция " (PDF). Достижения в вычислительной математике. 5: 329–359. Дои:10.1007 / BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. Архивировано из оригинал (PDF) на 2010-12-14. Получено 2007-03-10.
• Chapeau-Blondeau, F .; Монир, А. (2002). "Оценка Ламберта W Функция и применение для генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2 " (PDF). IEEE Trans. Сигнальный процесс. 50 (9). Дои:10.1109 / TSP.2002.801912. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-03-28. Получено 2004-03-10.
• Фрэнсис; и другие. (2000). «Количественная общая теория периодического дыхания». Тираж. 102 (18): 2214–21. CiteSeerX  10.1.1.505.7194. Дои:10.1161 / 01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926. (Функция Ламберта используется для решения дифференциальной динамики задержки при заболеваниях человека.)
• Хейс, Б. (2005). "Зачем W?" (PDF). Американский ученый. 93 (2): 104–108. Дои:10.1511/2005.2.104.
• Рой, Р .; Олвер, Ф. В. Дж. (2010), "Ламберт W функция ", в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Стюарт, Шон М. (2005). "Новая элементарная функция для нашей учебной программы?" (PDF). Австралийский старший математический журнал. 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564. ЭРИК EJ720055. Сложить резюме.
• Веберик, Д., "Развлекается с Ламбертом" W(Икс) Функция "arXiv: 1003.1628 (2010); Веберич, Д. (2012). "Ламберт W функция для приложений в физике ». Компьютерная физика Коммуникации. 183 (12): 2622–2628. arXiv:1209.0735. Bibcode:2012CoPhC.183.2622V. Дои:10.1016 / j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Чатзигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение для анализа сбоев взаимодействия пользователей». Письма по коммуникациям IEEE. 17 (8): 1505–1508. arXiv:1601.04895. Дои:10.1109 / LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

внешние ссылки

• Цифровая библиотека Национального института науки и технологий - Ламберт W
• MathWorld - Ламберт W-Функция
• Вычисление Ламберта W функция
• Корлесс и др. Заметки о Ламберте W исследование
• GPL Реализация на C ++ с итерацией Галлея и Фрича.
• Специальные функции из Научная библиотека GNU - GSL