Дифференциальное уравнение задержки - Delay differential equation

В математика, дифференциальные уравнения с запаздыванием (DDE) являются разновидностью дифференциальное уравнение в котором производная неизвестной функции в определенный момент времени задается в терминах значений функции в предыдущие моменты времени. системы задержки времени, системы с последействием или мертвым временем, наследственные системы, уравнения с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностные уравнения. Они относятся к классу систем с функциональное состояние, т.е. уравнения в частных производных (PDE), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), имеющие конечномерный вектор состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE:^[1]

1. Последействие - это прикладная проблема: хорошо известно, что, наряду с растущими ожиданиями динамических характеристик, инженерам необходимо, чтобы их модели вели себя как реальный процесс. Многие процессы включают в свою внутреннюю динамику явления последействия. Кроме того, приводы, датчики, и сети связи которые теперь участвуют в контурах управления с обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные запаздывания. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех областях науки и особенно в области техники управления.
2. Системы задержки по-прежнему устойчивы ко многим классический контроллеры: можно было подумать, что простейший подход состоит в их замене какими-то конечномерными приближениями. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к такой же степени сложности в конструкции управления. В худших случаях (например, с изменяющимися во времени задержками) это может иметь катастрофические последствия с точки зрения стабильности и колебаний.
3. Добровольное введение отсрочек может принести пользу система контроля.^[2]
4. Несмотря на свою сложность, DDE часто появляются как простые бесконечномерные модели в очень сложной области уравнения в частных производных (PDE).

Общий вид дифференциального уравнения с запаздыванием для ${displaystyle x(t)in mathbb {R} ^{n}}$ является

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$

куда ${displaystyle x_{t}={x( au ): au leq t}}$ представляет траекторию решения в прошлом. В этом уравнении ${displaystyle f}$ является функциональным оператором из${displaystyle mathbb {R} imes mathbb {R} ^{n} imes C^{1}(mathbb {R} ,mathbb {R} ^{n})}$ к ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.,}$

Примеры

• Непрерывная задержка

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=fleft(t,x(t),int _{-infty }^{0}x(t+ au ),{m {d}}mu ( au )ight)}$

• Дискретная задержка

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x(t- au _{1}),dotsc ,x(t- au _{m}))}$ за ${displaystyle au _{1}>dotsb > au _{m}geq 0}$.

• Линейный с дискретными задержками

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t- au _{1})+dotsb +A_{m}x(t- au _{m})}$

куда ${displaystyle A_{0},dotsc ,A_{m}in mathbb {R} ^{n imes n}}$.

• Уравнение пантографа

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=ax(t)+bx(lambda t),}$

куда а, б и λ - константы и 0 <λ <1. Это уравнение и некоторые более общие формы названы в честь пантографы в поездах.^[3][4]

Решение DDE

DDE в основном решаются поэтапно с помощью принципа, называемого методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=f(x(t),x(t- au ))}$

с заданным начальным условием ${displaystyle phi colon [- au ,0]ightarrow mathbb {R} ^{n}}$. Тогда решение на интервале ${displaystyle [0, au ]}$ дан кем-то ${displaystyle psi (t)}$ которое является решением неоднородной проблема начального значения

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}psi (t)=f(psi (t),phi (t- au ))}$,

с ${displaystyle psi (0)=phi (0)}$. Это может быть продолжено для последовательных интервалов, используя решение для предыдущего интервала как неоднородный член. На практике проблема начального значения часто решается численно.

Пример

Предполагать ${displaystyle f(x(t),x(t- au ))=ax(t- au )}$ и ${displaystyle phi (t)=1}$. Тогда проблема начального значения может быть решена интегрированием,

${displaystyle x(t)=x(0)+int _{s=0}^{t}{frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(s),{m {d}}s=1+aint _{s=0}^{t}phi (s- au ),{m {d}}s,}$

т.е. ${displaystyle x(t)=at+1}$, где начальное условие определяется выражением ${displaystyle x(0)=phi (0)=1}$. Аналогично для интервала${displaystyle tin [ au ,2 au ]}$ интегрируем и подбираем начальное условие,

${displaystyle {egin{aligned}x(t)=x( au )&{}+int _{s= au }^{t}{frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(s),{m {d}}s=(a au +1)&{}+aint _{s= au }^{t}a(s- au )+1,{m {d}}s=(a au +1)+aint _{s=0}^{t- au }as+1,{m {d}}s,end{aligned}}}$

т.е. ${displaystyle x(t)=(a au +1)+a(t- au )left({frac {a(t- au )}{2}}+1ight).}$

Приведение к ODE

В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, напоминающем задержку. дифференциальные уравнения.

• Пример 1 Рассмотрим уравнение

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=fleft(t,x(t),int _{-infty }^{0}x(t+ au )e^{lambda au },{m {d}} au ight).}$

Вводить ${displaystyle y(t)=int _{-infty }^{0}x(t+ au )e^{lambda au },{m {d}} au }$ получить систему ODE

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=f(t,x,y),quad {frac {m {d}}{{m {d}}t}}y(t)=x-lambda y.}$

• Пример 2 Уравнение

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=fleft(t,x(t),int _{-infty }^{0}x(t+ au )cos(alpha au +eta ),{m {d}} au ight)}$

эквивалентно

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=f(t,x,y),quad {frac {m {d}}{{m {d}}t}}y(t)=cos(eta )x+alpha z,quad {frac {m {d}}{{m {d}}t}}z(t)=sin(eta )x-alpha y,}$

куда

${displaystyle y=int _{-infty }^{0}x(t+ au )cos(alpha au +eta ),{m {d}} au ,quad z=int _{-infty }^{0}x(t+ au )sin(alpha au +eta ),{m {d}} au .}$

Характеристическое уравнение

Похожий на ODE многие свойства линейных ДДУ можно охарактеризовать и проанализировать с помощью характеристическое уравнение.^[5]Характеристическое уравнение, связанное с линейным ДДУ с дискретными задержками

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t- au _{1})+dotsb +A_{m}x(t- au _{m})}$

является

${displaystyle {m {det}}(-lambda I+A_{0}+A_{1}e^{- au _{1}lambda }+dotsb +A_{m}e^{- au _{m}lambda })=0}$.

Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а множество решений часто называют спектр. Из-за экспоненты в характеристическом уравнении DDE имеет, в отличие от случая ODE, бесконечное количество собственных значений, что делает спектральный анализ более вовлечен. Однако у спектра есть некоторые свойства, которые можно использовать при анализе. Например, даже несмотря на то, что существует бесконечное количество собственных значений, существует только конечное количество собственных значений справа от любой вертикальной линии в комплексной плоскости.^{[нужна цитата ]}

Это характеристическое уравнение представляет собой нелинейная задача собственных значений и есть много методов для численного вычисления спектра.^[6] В некоторых особых случаях можно явно решить характеристическое уравнение. Рассмотрим, например, следующий DDE:

${displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}t}}x(t)=-x(t-1).}$

Характеристическое уравнение:

${displaystyle -lambda -e^{-lambda }=0.,}$

Для комплексного λ существует бесконечное число решений этого уравнения. Они даны

${displaystyle lambda =W_{k}(-1)}$,

куда W_k это kое отделение W функция Ламберта.

Приложения

• Динамика сахарный диабет^[7]
• Эпидемиология^[8][9]
• Динамика населения^[10]

Смотрите также

• Функционально-дифференциальное уравнение

Рекомендации

1. Ричард, Жан-Пьер (2003). «Системы с временной задержкой: обзор некоторых недавних достижений и открытых проблем». Automatica. 39 (10): 1667–1694. Дои:10.1016 / S0005-1098 (03) 00167-5.
2. Лаваи, Джавад; Содзуди, Сомайе; Мюррей, Ричард М. (2010). «Простая реализация контроллеров непрерывного времени на основе задержки». Труды Американской конференции по контролю 2010 г.: 5781–5788. Дои:10.1109 / ACC.2010.5530439.
3. Грибель, Томас (2017-01-01). «Уравнение пантографа в квантовом исчислении». Магистерские диссертации.
4. Окендон, Джон Ричард; Тайлер, А. Б .; Темпл, Джордж Фредерик Джеймс (1971-05-04). «Динамика токосъемной системы электровоза». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. 322 (1551): 447–468. Дои:10.1098 / rspa.1971.0078.
5. Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием.. Достижения в области дизайна и управления. Общество промышленной и прикладной математики. С. 3–32. Дои:10.1137/1.9780898718645. ISBN  978-0-89871-632-0.
6. Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием.. Достижения в области дизайна и управления. Общество промышленной и прикладной математики. С. 33–56. Дои:10.1137/1.9780898718645. ISBN  978-0-89871-632-0.
7. Макроглу, Афина; Ли, Цзясю; Куанг, Ян (2006-03-01). «Математические модели и программные средства для системы регуляции глюкозы-инсулина и диабета: обзор». Прикладная вычислительная математика. Избранные статьи, Третья международная конференция по численным решениям уравнений Вольтерра и с запаздыванием. 56 (3): 559–573. Дои:10.1016 / j.apnum.2005.04.023. ISSN  0168-9274.
8. Солпитер, Эдвин Э .; Солпитер, Шелли Р. (1998-02-15). «Математическая модель эпидемиологии туберкулеза с оценками репродуктивного числа и функции задержки заражения». Американский журнал эпидемиологии. 147 (4): 398–406. Дои:10.1093 / oxfordjournals.aje.a009463. ISSN  0002-9262.
9. Кадзивара, Цуёси; Сасаки, Тору; Такеучи, Ясухиро (01.08.2012). «Построение функционалов Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием в вирусологии и эпидемиологии». Нелинейный анализ: приложения в реальном мире. 13 (4): 1802–1826. Дои:10.1016 / j.nonrwa.2011.12.011. ISSN  1468-1218.
10. Гопальзами К. (1992). Устойчивость и колебания в дифференциальных уравнениях динамики населения с запаздыванием.. Математика и ее приложения. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-0792315940.

дальнейшее чтение

• Беллен, Альфредо; Дзеннаро, Марино (2003). Численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.. Вычислительная математика и научные вычисления. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198506546.
• Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения (PDF). Математика в науке и технике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0120848508.
• Бриат, Корентин (2015). Линейные системы с изменяющимися параметрами и с временной задержкой: анализ, наблюдение, фильтрация и контроль. Успехи в задержках и динамике. Гейдельберг, Германия: Springer-Verlag. ISBN  978-3662440490.
• Драйвер, Родни Д. (1977). Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием.. Прикладные математические науки. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0387902319.
• Эрнё, Томас (2009). Прикладные дифференциальные уравнения с задержкой. Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN  978-0387743714.

внешняя ссылка

• Скип Томпсон (ред.). «Дифференциальные уравнения с запаздыванием». Scholarpedia.