Метод Галеркина - Galerkin method

В математика, в районе числовой анализ, Методы Галеркина представляют собой класс методов для преобразования задачи непрерывного оператора (например, дифференциальное уравнение ) к дискретной задаче. В принципе, это эквивалент применения метода вариация параметров в функциональное пространство, преобразовав уравнение в слабая формулировка. Обычно затем применяют некоторые ограничения к функциональному пространству, чтобы охарактеризовать пространство с помощью конечного набора базисных функций.

Такой подход обычно приписывают Борис Галёркин.^[1][2] Метод был объяснен западному читателю Хенки.^[3] и Дункан^[4][5] среди прочего. Его сходимость исследовал Михлин.^[6] и Лейпхольц^{[7][8][9][10]} Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Елисаков и другие.^[11][12][13] Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером.^[14] Гандер и Ваннер^[15] показал, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. О столетии развития метода рассказал Репин.^[16] Часто, говоря о методе Галеркина, наряду с типичными используемыми методами аппроксимации также указывается его название, например, метод Бубнова – Галеркина (после Иван Бубнов ), Метод Петрова – Галеркина (по Георгию Ивановичу Петрову^[17]) или методом Ритца – Галеркина^[18] (после Вальтер Ритц ).

Примеры методов Галеркина:

• то Галеркин метод взвешенных остатков, наиболее распространенный метод расчета глобальной матрица жесткости в метод конечных элементов,^[19][20]
• то метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
• Методы подпространства Крылова.^[21]

Введение в абстрактную проблему

Проблема в слабой постановке

Представим метод Галеркина с абстрактной задачей, сформулированной как слабая формулировка на Гильбертово пространство ${\displaystyle V}$, а именно

найти ${\displaystyle u\in V}$ такой, что для всех ${\displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$.

Здесь, ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ это билинейная форма (точные требования к ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ будет указано позже) и ${\displaystyle f}$ - линейный ограниченный функционал на ${\displaystyle V}$.

Понижение размерности Галеркина

Выберите подпространство ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ измерения п и решим предполагаемую проблему:

Находить ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ такой, что для всех ${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$.

Мы называем это Уравнение Галеркина. Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным и изменились только пространства. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет нам численно вычислить ${\displaystyle u_{n}}$ как конечная линейная комбинация базисных векторов в ${\displaystyle V_{n}}$.

Галеркин ортогональность

Ключевым свойством подхода Галеркина является то, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. С ${\displaystyle V_{n}\subset V}$, мы можем использовать ${\displaystyle v_{n}}$ как тестовый вектор в исходном уравнении. Вычитая два, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки: ${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$ что является ошибкой между решением исходной проблемы, ${\displaystyle u}$, и решение уравнения Галеркина: ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

Матричная форма

Поскольку целью метода Галеркина является получение линейная система уравнений, мы строим его матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Позволять ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ быть основа за ${\displaystyle V_{n}}$. Затем достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, т. Е. Найти ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ такой, что

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Мы расширяем ${\displaystyle u_{n}}$ относительно этой основы, ${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$ и вставьте его в уравнение выше, чтобы получить

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Это предыдущее уравнение на самом деле представляет собой линейную систему уравнений ${\displaystyle Au=f}$, куда

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

Симметрия матрицы

В силу определения элементов матрицы матрица уравнения Галеркина имеет вид симметричный тогда и только тогда, когда билинейная форма ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ симметрично.

Анализ методов Галеркина

Здесь мы ограничимся симметричными билинейные формы, то есть

${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$

Хотя на самом деле это не ограничение методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, Метод Петрова – Галеркина может потребоваться в несимметричном случае.

Анализ этих методов проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что уравнение Галеркина является хорошо поставленная проблема в смысле Адамар и поэтому допускает единственное решение. На втором этапе исследуем качество аппроксимации решения Галеркина. ${\displaystyle u_{n}}$.

Анализ будет в основном опираться на два свойства билинейная форма, а именно

• Ограниченность: для всех ${\displaystyle u,v\in V}$ держит

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle C>0}$

• Эллиптичность: для всех ${\displaystyle u\in V}$ держит

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle c>0.}$

По теореме Лакса-Мильграма (см. слабая формулировка ) эти два условия означают корректность исходной задачи в слабой постановке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются указанные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).

Корректность уравнения Галеркина

С ${\displaystyle V_{n}\subset V}$, ограниченность и эллиптичность билинейной формы применяются к ${\displaystyle V_{n}}$. Следовательно, корректность проблемы Галеркина фактически унаследована от корректности исходной проблемы.

Квази-наилучшее приближение (лемма Сеа)

Основная статья: Лемма Сеа

Ошибка ${\displaystyle u-u_{n}}$ между исходным и решением Галеркина допускает оценку

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

Это означает, что с точностью до постоянного ${\displaystyle C/c}$, решение Галеркина ${\displaystyle u_{n}}$максимально приближен к оригинальному решению ${\displaystyle u}$ как и любой другой вектор в ${\displaystyle V_{n}}$. В частности, достаточно будет изучить приближение пространствами ${\displaystyle V_{n}}$, совершенно забывая о решаемом уравнении.

Доказательство

Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом, лежащим в основе всех методов Галеркина, мы включаем его сюда: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и ортогональности Галеркина (знак равенства посередине) мы имеем для произвольных ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$:

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

Деление на ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$ и брать инфимум по всем возможным ${\displaystyle v_{n}}$ влечет лемму.

Смотрите также

• Метод Ритца

Рекомендации

1. Галёркин Б.Г. Стержни и пластины - серии, встречающиеся в различных вопросах упругого равновесия стержней и пластин // Вестник Инженеров и Техников. 19, 897-908 (на русском языке), (английский перевод: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info 1963).
2. "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN  978-2-9700636-5-0
3. Хенки Х., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 7, 80-81 (на немецком языке).
4. Дункан У.Дж., 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальные уравнения, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.
5. Дункан, У.Дж., 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы об авиационных исследованиях, № 1894.
6. Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. Издательство Pergamon Press, 1964.
7. Leipholz H.H.E., 1976, Использование метода Галеркина для решения проблем с вибрацией, Shock and Vibration Digest, Vol. 8, 3-18
8. Leipholz H.H.E., 1967, Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchfuchrung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (на немецком языке).
9. Leipholz H.H.E., 1967, Über die Befreiung der Anzatzfunktionen des Ritzschen und Galerkinschen Verfahrens von den Randbedingungen, Ing. Arch., Vol. 36, 251-261 (на немецком языке).
10. Лейпхольц, H.H.E., 1976, Использование метода Галеркина для решения проблем вибрации, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
11. Элишаков И., Ли Л.Х.Н., 1986, Об эквивалентности методов рядов Галеркина и Фурье для одного класса задач, Journal of Sound and Vibration, Vol. 109, 174–177.
12. Елишаков И., Зингалес М. Совпадение решения Бубнова-Галеркина и точного решения в задаче прикладной механики // Журнал прикладной механики. 70, 777-779.
13. Елишаков И., Зингалес М., 2004, На примере сходимости метода Бубнова-Галеркина, AIAA Journal, Vol. 42 (9), 1931-1933.
14. Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, Vol. 66, No. 621, p.592.
15. Гандер М.Дж., Ваннер Г., 2012 г., От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений, Обзор SIAM, Vol. 54 (4), 627-666.
16. ] Репин С., 2017, Сто лет метода Галеркина, вычислительные методы и прикладная математика, Том 17 (3), 351-357.
17. «Георгий Иванович Петров (к 100-летию со дня рождения)», Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015
18. А. Эрн, Дж. Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов, Springer, 2004 г., ISBN  0-387-20574-8
19. С. Бреннер, Р. Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов, 2-е издание, Springer, 2005 г., ISBN  0-387-95451-1
20. П. Г. Чиарле, Метод конечных элементов для эллиптических задач., Северная Голландия, 1978 г., ISBN  0-444-85028-7
21. Ю. Саад, Итерационные методы для разреженных линейных систем., 2-е издание, СИАМ, 2003 г., ISBN  0-89871-534-2

внешняя ссылка

• «Метод Галеркина», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Метод Галеркина из MathWorld