Метод фундаментальных решений - Method of fundamental solutions

В научные вычисления и симуляция, то метод фундаментальных решений (MFS) - это метод решения уравнения в частных производных на основе использования фундаментальное решение в качестве базовой функции. MFS был разработан для устранения основных недостатков метод граничных элементов (BEM), который также использует фундаментальное решение для удовлетворения основного уравнения. Следовательно, как MFS, так и BEM представляют собой численный метод граничной дискретизации и уменьшают вычислительную сложность на одну размерность и имеют особое преимущество перед численными методами доменного типа, такими как заключительный элемент методы конечных объемов для решения бесконечной области, тонкостенных конструкций и обратные задачи.

В отличие от BEM, MFS избегает численного интегрирования сингулярного фундаментального решения и является неотъемлемой частью метод без сетки. Однако этот метод скомпрометирован тем, что требует наличия сомнительной фиктивной границы за пределами физической области, чтобы обойти сингулярность фундаментального решения, что серьезно ограничивает его применимость к проблемам реального мира. Но, тем не менее, было обнаружено, что MFS очень конкурентоспособна в некоторых областях приложений, таких как проблемы с бесконечной областью.

MFS также известен под разными названиями в литературе, включая метод моделирования заряда, метод суперпозиции, метод десингуляризации, метод косвенных граничных элементов и метод виртуальных граничных элементов.

Состав MFS

Рассмотрим уравнение в частных производных, описывающее определенный тип задач.

${\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega ,}$

${\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D},}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N},}$

куда ${\displaystyle L}$ - дифференциальный частный оператор, ${\displaystyle \Omega }$ представляет вычислительную область, ${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$ и ${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$ обозначим границу Дирихле и Неймана соответственно, ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$ и ${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }$.

MFS использует фундаментальное решение оператора в качестве своей базовой функции для представления приближения неизвестной функции u следующим образом

${\displaystyle {{u}^{*}}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$

куда ${\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\|}$ обозначает евклидово расстояние между точками коллокации ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ и исходные точки ${\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)}$, ${\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}$ фундаментальное решение, удовлетворяющее

${\displaystyle L\phi =\delta \,}$

куда ${\displaystyle \delta }$ обозначает дельта-функцию Дирака, а ${\displaystyle {{\alpha }_{i}}}$ - неизвестные коэффициенты.

Поскольку точки источника расположены вне физической области, MFS избегает фундаментальной сингулярности решения. Подстановка аппроксимации в граничное условие дает следующее матричное уравнение

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),}$

куда ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)}$ и ${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)}$ обозначим точки коллокации соответственно на границах Дирихле и Неймана. Неизвестные коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{i}}$ может быть однозначно определена указанным выше алгебраическим уравнением. И тогда мы можем оценить численное решение в любом месте физической области.

История и недавние события

Идеи, лежащие в основе MFS, были развиты в основном В. Д. Купрадзе и М. А. Алексидзе в конце 1950-х - начале 1960-х годов.^[1] Однако этот метод был впервые предложен в качестве вычислительной техники намного позже Р. Матоном и Р. Л. Джонстоном в конце 1970-х гг.^[2] за ним последовал ряд статей Матона, Джонстона и Грэма Фэйрвезера с приложениями. Затем MFS постепенно превратился в полезный инструмент для решения большого количества физических и инженерных проблем.^[3][4][5][6]

В 1990-х годах М. А. Гольберг и К. С. Чен расширили MFS, чтобы иметь дело с неоднородными уравнениями и задачами, зависящими от времени, что значительно расширило его применимость.^[7][8] Более поздние разработки показали, что MFS можно использовать для решения уравнений в частных производных с переменными коэффициентами.^[9] MFS оказалась особенно эффективной для некоторых классов задач, таких как обратные,^[10] неограниченная область и задачи со свободной границей.^[11]

Некоторые методы были разработаны для решения фиктивной граничной проблемы в MFS, например метод граничного узла, особый граничный метод, и регуляризованный бессеточный метод.

Смотрите также

• Радиальная базисная функция
• Метод граничных элементов
• Метод граничного узла
• Метод граничных частиц
• Метод сингулярной границы
• Регуляризованный бессеточный метод

Рекомендации

1. К. В. Д., А. М., Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых краевых задач. СССР Вычислительная математика Math Phys. 4 (1964) 82–126.
2. Р. Матон, Р.Л. Джонстон, Приближенное решение эллиптических краевых задач с помощью фундаментальных решений. Журнал SIAM по численному анализу. (1977) 638–650.
3. З. Фу, В. Чен, В. Ян, Задачи изгиба пластины Винклера с помощью действительно граничного метода граничных частиц^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Вычислительная механика. 44 (2009) 757–763.
4. В. Чен, Дж. Линь, Ф. Ван, Регуляризованный бессеточный метод решения неоднородных задач В архиве 2015-06-06 на Wayback Machine, Инженерный анализ с граничными элементами. 35 (2011) 253–257.
5. W. Chen, F.Z. Ван, Метод фундаментальных решений без фиктивной границы В архиве 2015-06-06 на Wayback Machine, Инженерный анализ с граничными элементами. 34 (2010) 530–532.
6. JIANG Xin-rong, CHEN Wen, Метод фундаментального решения и метод граничных узлов для уравнений Гельмгольца: сравнительное исследование, Китайский журнал вычислительной механики, 28: 3 (2011) 338–344 (на китайском языке)
7. М.А.Гольберг, К.С.Чен, Теория радиальных базисных функций в применении к МГЭ для неоднородных уравнений в частных производных, Связь с граничными элементами. 5 (1994) 57–61.
8. М. а. Гольберг, К.С. Чен, Х. Боуман, Х. Пауэр, Некоторые комментарии к использованию радиальных базисных функций в методе двойной взаимности, Вычислительная механика. 21 (1998) 141–148.
9. СМ. Fan, C.S. Chen, J. Monroe, Метод фундаментальных решений для решения уравнений конвекции-диффузии с переменными коэффициентами. Успехи прикладной математики и механики. 1 (2009) 215–230
10. Y.C. Хон, Т. Вэй, Метод фундаментального решения для решения многомерных обратных задач теплопроводности. CMES Comput. Модель. Англ. Наука. 7 (2005) 119–132
11. А.К. Фэйрвезер Г. Метод фундаментальных решений эллиптических краевых задач. Достижения в вычислительной математике. 9 (1998) 69–95.

внешняя ссылка

• Международный центр программного обеспечения численного моделирования в инженерии и науке