Метод коллокации - Collocation method

В математике метод коллокации это метод для числовой решение обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Идея состоит в том, чтобы выбрать конечномерное пространство возможных решений (обычно многочлены до определенной степени) и количество точек в области (называемых точки коллокации), и выбрать то решение, которое удовлетворяет заданному уравнению в точках коллокации.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Предположим, что обыкновенное дифференциальное уравнение

${displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),quad y(t_{0})=y_{0},}$

решается на интервале ${displaystyle [t_{0},t_{0}+c_{k}h]}$. выбирать ${displaystyle c_{k}}$ от 0 ≤ c₁< c₂< … < c_п ≤ 1.

Соответствующий (полиномиальный) метод коллокации приближает решение у полиномом п степени п которое удовлетворяет начальному условию ${displaystyle p(t_{0})=y_{0}}$, а дифференциальное уравнение ${displaystyle p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))}$

вообще точки коллокации ${displaystyle t_{k}=t_{0}+c_{k}h}$ за ${displaystyle k=1,ldots ,n}$. Это дает п +1 условие, которое соответствует п + 1 параметр, необходимый для задания полинома степени п.

Все эти методы коллокации на самом деле неявны Методы Рунге – Кутты. Коэффициенты c_k в таблице Бутчера метода Рунге – Кутты - это точки коллокации. Однако не все неявные методы Рунге – Кутты являются методами коллокации.^[1]

Пример: правило трапеции

Выберите, например, две точки сочетания c₁ = 0 и c₂ = 1 (поэтому п = 2). Условия коллокации:

${displaystyle p(t_{0})=y_{0},,}$

${displaystyle p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),,}$

${displaystyle p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).,}$

Есть три условия, поэтому п должен быть многочленом степени 2. Напишите п в виде

${displaystyle p(t)=alpha (t-t_{0})^{2}+eta (t-t_{0})+gamma ,}$

для упрощения вычислений. Затем можно решить условия коллокации, чтобы получить коэффициенты

${displaystyle {egin{aligned}alpha &={frac {1}{2h}}{Big (}f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0})){Big )},eta &=f(t_{0},p(t_{0})),gamma &=y_{0}.end{aligned}}}$

Метод коллокации теперь задается (неявно)

${displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{frac {1}{2}}h{Big (}f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){Big )},,}$

куда у₁ = п(т₀ + час) - приближенное решение при т = т₀ + час.

Этот метод известен как "трапеция "для дифференциальных уравнений. Действительно, этот метод также можно получить, переписав дифференциальное уравнение в виде

${displaystyle y(t)=y(t_{0})+int _{t_{0}}^{t}f( au ,y( au )),{ extrm {d}} au ,,}$

и аппроксимируя интеграл в правой части трапеция для интегралов.

Другие примеры

В Методы Гаусса – Лежандра использовать точки Квадратура Гаусса – Лежандра как точки коллокации. Метод Гаусса – Лежандра, основанный на s очков имеет порядок 2s.^[2] Все методы Гаусса – Лежандра являются А-стабильный.^[3]

Фактически, можно показать, что порядок метода коллокации соответствует порядку квадратурного правила, которое можно получить, используя точки коллокации в качестве весов.

Примечания

1. Ашер и Петцольд 1998; Изерлес 1996, стр. 43–44
2. Изерлес 1996, стр.47
3. Изерлес 1996, стр.63

Рекомендации

• Ascher, Uri M .; Петцольд, Линда Р. (1998), Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, ISBN  978-0-89871-412-8.
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56670-0.
• Изерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55655-2.
• Ван, Инвэй; Чен, Суцинь; Ву, Сюнхуа (2009), «Рациональный спектральный метод коллокации для решения класса параметризованных задач с сингулярными возмущениями», Журнал вычислительной и прикладной математики, 233 (10): 2652–2660, Дои:10.1016 / j.cam.2009.11.011.