Альтернативный метод Шварца - Schwarz alternating method

В математика, то Альтернативный метод Шварца или чередующийся процесс является итерационный метод введен в 1869-1870 гг. Герман Шварц в теории конформное отображение. Учитывая две перекрывающиеся области в комплексной плоскости, в каждой из которых Задача Дирихле может быть решена, Шварц описал итерационный метод для решения проблемы Дирихле в их союзе, при условии, что их пересечение прошло надлежащим образом. Это был один из нескольких конструктивных методов конформного отображения, разработанных Шварцем в качестве вклада в проблему униформа, поставленный Риман в 1850-х годах и впервые решено строго Koebe и Пуанкаре в 1907 г. Он представил схему унификации объединения двух областей, зная, как унифицировать каждую из них по отдельности, при условии, что их пересечение было топологически диском или кольцом. С 1870 г. Карл Нойманн также способствовал этой теории.

В 1950-х годах метод Шварца был обобщен в теории уравнения в частных производных к итерационному методу поиска решения эллиптическая краевая задача на домен который представляет собой объединение двух перекрывающихся подобластей. Он включает решение краевой задачи на каждой из двух подобластей по очереди, всегда принимая последние значения приближенного решения в качестве следующих граничные условия. Он используется в численный анализ, под именем мультипликативный метод Шварца (в отличие от аддитивный метод Шварца ) как метод декомпозиции домена.

История

Оригинальный логотип DDM: отражение проблемы, рассматриваемой Х. А. Шварц в 1870 году. Синий прямоугольник изначально был квадратом.

Впервые он был сформулирован Х. А. Шварц [1] и служил теоретическим инструментом: его сходимость для общего второго порядка эллиптические уравнения в частных производных был впервые доказан намного позже, в 1951 г., Соломон Михлин.[2]

Алгоритм

Первоначальная проблема, рассмотренная Шварцем, была Задача Дирихле (с Уравнение Лапласа ) на области, состоящей из круга и частично перекрывающегося квадрата. Чтобы решить задачу Дирихле в одной из двух подобластей (квадрата или круга), стоимость решения должна быть известна на границе: поскольку часть границы содержится в другой подобласти, проблема Дирихле должна решаться совместно на двух подобластях. Представлен итерационный алгоритм:

  1. Сделайте первое предположение о решении на граничной части круга, которая содержится в квадрате.
  2. Решите задачу Дирихле на окружности
  3. Используйте решение в (2), чтобы аппроксимировать решение на границе квадрата
  4. Решите задачу Дирихле на квадрате
  5. Используйте решение в (4), чтобы аппроксимировать решение на границе круга, затем перейдите к шагу (2).

При сходимости решение по перекрытию одинаково при вычислении по квадрату или по кругу.

Оптимизированные методы Шварца

Скорость сходимости зависит от размера перекрытия между подобластями и от условий передачи (граничные условия, используемые в интерфейсе между подобластями). Можно увеличить скорость сходимости методов Шварца, выбрав адаптированные условия передачи: эти методы в этом случае называются оптимизированными методами Шварца.[3]

Смотрите также

Заметки

  1. ^ См. Его статью (Schwarz 1870b )
  2. ^ См. Статью (Михлин 1951 г. ): исчерпывающее изложение было дано тем же автором в более поздних книгах
  3. ^ Гандер, Мартин Дж .; Халперн, Лоуренс; Натаф, Фредерик (2001), «Оптимизированные методы Шварца», 12-я международная конференция по методам декомпозиции доменов (PDF )

использованная литература

Оригинальные статьи

Конформное отображение и гармонические функции

  • Неванлинна, Рольф (1939), "Über das alternierende Verfahren von Schwarz", J. Reine Angew. Математика., 180: 121–128
  • Неванлинна, Рольф (1939), "Bemerkungen zum alternierenden Verfahren", Monatshefte für Mathematik und Physik, 48: 500–508, Дои:10.1007 / bf01696203
  • Неванлинна, Рольф (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften в Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64, Springer
  • Сарио, Лео (1953), "Альтернативный метод на произвольных римановых поверхностях", Pacific J. Math., 3 (3): 631–645, Дои:10.2140 / pjm.1953.3.631
  • Моргенштерн, Дитрих (1956), "Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion", З. Энгью. Математика. Мех., 36 (7–8): 255–256, Дои:10.1002 / zamm.19560360711, HDL:10338.dmlcz / 100409
  • Кон, Харви (1980), Конформное отображение на римановых поверхностях, Dover, pp. 242–262, ISBN  0-486-64025-6, Глава 12, Альтернативные процедуры
  • Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005), Гармоническая мера, Издательство Кембриджского университета, ISBN  1139443097
  • Фрайтаг, Эберхард (2011), Комплексный анализ. 2. Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции., Спрингер, ISBN  978-3-642-20553-8
  • де Сен-Жерве, Анри Поль (2016), Униформизация римановых поверхностей: возвращение к теореме столетней давности, перевод Роберта Г. Бернса, Европейское математическое общество, Дои:10.4171/145, ISBN  978-3-03719-145-3, перевод Французский текст
  • Чорле, Рено (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF), стр. 123–134 (цитируется по де Сен-Жерве)
  • Боттаццини, Умберто; Грей, Джереми (2013), Скрытая гармония - геометрические фантазии: подъем теории сложных функций, Источники и исследования по истории математики и физических наук, Springer, ISBN  978-1461457251

PDE и численный анализ

внешние ссылки