Методы декомпозиции домена - Domain decomposition methods

Методы декомпозиции домена

В математика, численный анализ, и числовые уравнения в частных производных, методы декомпозиции домена решить краевая задача путем разделения его на более мелкие краевые задачи на подобластях и повторения для координации решения между соседними подобластями. А грубая проблема с одним или несколькими неизвестными на подобласть используется для дальнейшей координации решения между подобластями в глобальном масштабе. Задачи на подобластях независимы, что делает методы декомпозиции областей подходящими для параллельные вычисления. Методы декомпозиции домена обычно используются как предварительные кондиционеры для Крыловское пространство итерационные методы, такой как метод сопряженных градиентов или GMRES.

В методах декомпозиции перекрывающихся доменов субдомены перекрываются не только по интерфейсу. Методы декомпозиции перекрывающихся областей включают Альтернативный метод Шварца и аддитивный метод Шварца. Многие методы декомпозиции области можно записать и проанализировать как частный случай абстрактный аддитивный метод Шварца.

В неперекрывающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В основных методах, таких как Балансировка декомпозиции домена и BDDC, непрерывность решения через интерфейс подобласти обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних подобластях одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI, непрерывность решения в интерфейсе субдомена обеспечивается Множители Лагранжа. В FETI-DP Метод является гибридом двойного и основного метода.

Методы декомпозиции неперекрывающихся областей также называются итерационные методы субструктурирования.

Минометные методы являются методами дискретизации для дифференциальных уравнений в частных производных, которые используют раздельную дискретизацию на неперекрывающихся подобластях. Сетки на подобластях не совпадают на интерфейсе, и равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике в методе конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется посредством многоточечные ограничения.

Конечно-элементное моделирование моделей среднего размера требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на временной шаг - это среднее время последовательного выполнения, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы декомпозиции областей обладают большим потенциалом для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.

Пример 1: 1D линейный BVP

${displaystyle u''(x)-u(x)=0}$
${displaystyle u(0)=0,u(1)=1}$
Точное решение:
${displaystyle u(x)={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}}$
Разделите домен на два поддомена, один из ${displaystyle left[0,{frac {1}{2}}ight]}$ и еще один из ${displaystyle left[{frac {1}{2}},1ight]}$. В левой подобласти определите интерполирующую функцию ${displaystyle v_{1}(x)}$ и в правильном определении ${displaystyle v_{2}(x)}$. На интерфейсе между этими двумя подобластями должны быть наложены следующие условия интерфейса:
${displaystyle v_{1}left({frac {1}{2}}ight)=v_{2}left({frac {1}{2}}ight)}$
${displaystyle v_{1}'left({frac {1}{2}}ight)=v_{2}'left({frac {1}{2}}ight)}$
Пусть интерполирующие функции определены как:
${displaystyle v_{1}(x)=sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))}$
${displaystyle v_{2}(x)=sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))}$
${displaystyle y_{1}(x)=4x-1}$
${displaystyle y_{2}(x)=4x-3}$
куда ${displaystyle T_{n}(y)}$ - n-я кардинальная функция многочленов Чебышева первого рода с входным аргументом y.
Если N = 4, то по этой схеме получается следующее приближение:
${displaystyle u_{1}=0.06236}$
${displaystyle u_{2}=0.21495}$
${displaystyle u_{3}=0.37428}$
${displaystyle u_{4}=0.44341}$
${displaystyle u_{5}=0.51492}$
${displaystyle u_{6}=0.69972}$
${displaystyle u_{7}=0.90645}$
Это было получено с помощью следующего кода MATLAB.

Чисто всеN = 4;а1 = 0; b1 = 1/2; [Т D1 D2 E1 E2 Икс xsub] = Cheb(N,а1,b1); % матрицы различий на [0,1 / 2] совпадают%, как на [1/2 1].я = глаз(N+1);ЧАС = D2-я;H1 = [[1 нули(1,N)]; ЧАС(2:конец-1,:); [нули(1,N) 1]];H1 = [H1 [нули(N,N+1); -[1 нули(1,N)]]];H2 = [D1(1,:); ЧАС(2:конец-1,:); [нули(1,N) 1]];H2 = [[-D1(N+1,:); нули(N,N+1)] H2];K = [H1; H2];F = [нули(2*N+1,1); 1];ты = KF;хх = -потому что(Пи*(0:N)'/N);x1 = 1/4*(хх+1); x2 = 1/4*(хх+3);Икс = [x1; x2];uex = (exp(Икс)-exp(-Икс))./(exp(1)-exp(-1));

Смотрите также

• Многосеточный метод

внешние ссылки

• Официальная страница методов декомпозиции домена
• Декомпозиция доменов - страница численного моделирования