Метод Петрова – Галеркина - Petrov–Galerkin method

В Метод Петрова – Галеркина математический метод, используемый для получения приближенных решений уравнения в частных производных которые содержат термины с странный порядок. В таких проблемах слабая формулировка с аналогичным функциональным пространством для тестовой функции и функции решения невозможно. Следовательно, метод используется в случае, если тестовая функция и функция решения принадлежат разным функциональным пространствам.^[1]

Обзор

Пример дифференциального уравнения, содержащего член нечетного порядка, выглядит следующим образом:

${\displaystyle a(x){\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+b(x){\dfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=f(x),\quad x\in (0,L)\quad \&\quad u(0)=u_{o},\left.{\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=L}=u_{L}'}$

Если тестовая функция ${\displaystyle v(x)}$ используется для получения слабой формы, после интегрирования по частям окончательная формулировка Галеркина будет иметь следующий вид:

${\displaystyle \int _{0}^{L}a(x)v(x){\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{L}b(x){\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x+\left[b(x)v{\dfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right]_{0}^{L}=\int _{0}^{L}v(x)f(x)\,\mathrm {d} x}$

Член с четным порядком (2-й член в LHS) теперь симметричен, так как тестовая функция и функция решения имеют одинаковый порядок дифференцирования, и они оба принадлежат ${\displaystyle H_{0}^{1}}$. Однако первый член LHS никак не может быть получен таким образом. В этом случае пространство решений ${\displaystyle H_{0}^{1}}$ и тестовое функциональное пространство ${\displaystyle L^{2}}$ разные и, следовательно, обычно используемые Бубнов Галеркин метод не может быть использован.

Смотрите также

• Метод Бубнова-Галеркина

Примечания

1. Дж. Н. Редди: Введение в метод конечных элементов, 2006, Макгроу – Хилл