Маккормак метод - MacCormack method

В вычислительная гидродинамика, то Маккормак метод - широко используемая схема дискретизации для численного решения гиперболические уравнения в частных производных. Этот второй порядок метод конечных разностей был представлен Робертом У. Маккормаком в 1969 году.^[1] Метод MacCormack элегантен, прост для понимания и программирования.^[2]

Алгоритм

Метод МакКормака представляет собой разновидность двухступенчатая схема Лакса – Вендроффа но гораздо проще в применении. Чтобы проиллюстрировать алгоритм, рассмотрим следующее гиперболическое уравнение первого порядка

${\displaystyle \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

Применение метода МакКормака к приведенному выше уравнению происходит в два этапа; а шаг предиктора за которым следует корректор шаг.

Шаг предиктора: На этапе прогнозирования «предварительное» значение ${\displaystyle u}$ на временном уровне ${\displaystyle n+1}$ (обозначается ${\displaystyle u_{i}^{\overline {n+1}}}$) оценивается следующим образом

${\displaystyle u_{i}^{\overline {n+1}}=u_{i}^{n}-a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)}$

Приведенное выше уравнение получается заменой пространственных и временных производных в предыдущем гиперболическом уравнении первого порядка с использованием форвардные различия.

Шаг корректора: На шаге корректора прогнозируемое значение ${\displaystyle u_{i}^{\overline {n+1}}}$ корректируется согласно уравнению

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{\overline {n+1}}-u_{i-1}^{\overline {n+1}}\right)}$

Обратите внимание, что шаг корректора использует обратная конечная разность приближения для пространственной производной. Шаг по времени, используемый в шаге корректора, равен ${\displaystyle \Delta t/2}$ в отличие от ${\displaystyle \Delta t}$ используется на шаге предиктора.

Замена ${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}}$ срок по временному среднему

${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{\overline {n+1}}}{2}}}$

чтобы получить шаг корректора как

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{\overline {n+1}}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{\overline {n+1}}-u_{i-1}^{\overline {n+1}}\right)}$

Некоторые замечания

Метод Маккормака хорошо подходит для нелинейные уравнения (Невязкий Уравнение Бюргерса, Уравнения Эйлера и т. д.) Порядок дифференцирования может быть изменен на обратный для временного шага (то есть вперед / назад, а затем назад / вперед). Для нелинейных уравнений эта процедура дает наилучшие результаты. Для линейных уравнений схема Мак-Кормака эквивалентна схеме Метод Лакса – Вендроффа.^[3]

В отличие от первого порядка схема против ветра, MacCormack не вводит диффузные ошибки в растворе. Однако, как известно, вносятся дисперсионные ошибки (Феномен Гиббса ) в области высокого градиента.

Смотрите также

• Метод Лакса – Вендроффа
• Схема против ветра
• Гиперболические уравнения в частных производных

Рекомендации

1. Маккормак, Р. У., Влияние вязкости на кратер при сверхскоростном ударе, Бумага AIAA, 69-354 (1969).
2. Андерсон, Дж. Д., мл., Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw Hill (1994).
3. Таннехилл, Дж. К., Андерсон, Д.А., и Плетчер Р. Х., Вычислительная гидродинамика и теплопередача, 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис (1997).