Метод Лакса – Фридрихса - Lax–Friedrichs method

В Метод Лакса – Фридрихса, названный в честь Питер Лакс и Курт О. Фридрихс, это числовой метод решения гиперболические уравнения в частных производных на основе конечные разности. Метод можно описать как Схема FTCS (вперед во времени, с центром в пространстве) с числовым членом диссипации 1/2. Можно рассматривать метод Лакса – Фридрихса как альтернативу Схема Годунова, где избегают решения Проблема Римана на каждой границе раздела ячеек за счет добавления искусственной вязкости.

Иллюстрация к линейной задаче

Рассмотрим одномерное линейное гиперболическое уравнение в частных производных для ${displaystyle u(x,t)}$ формы:

${displaystyle u_{t}+au_{x}=0,}$

на домене

${displaystyle bleq xleq c,;0leq tleq d}$

с начальным условием

${displaystyle u(x,0)=u_{0}(x),}$

и граничные условия

${displaystyle u(b,t)=u_{b}(t),}$

${displaystyle u(c,t)=u_{c}(t).,}$

Если дискретизировать домен ${displaystyle (b,c) imes (0,d)}$ к сетке с равноотстоящими точками с шагом ${displaystyle Delta x}$ в ${displaystyle x}$-направление и ${displaystyle Delta t}$ в ${displaystyle t}$-направление, определяем

${displaystyle u_{i}^{n}=u(x_{i},t^{n}){ ext{ with }}x_{i}=b+i,Delta x,,t^{n}=n,Delta t{ ext{ for }}i=0,ldots ,N,,n=0,ldots ,M,}$

куда

${displaystyle N={frac {c-b}{Delta x}},,M={frac {d}{Delta t}}}$

- целые числа, представляющие количество интервалов сетки. Тогда метод Лакса – Фридрихса для решения вышеуказанного уравнения в частных производных определяется следующим образом:

${displaystyle {frac {u_{i}^{n+1}-{frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{Delta t}}+a{frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2,Delta x}}=0}$

Или переписав это, чтобы решить неизвестное ${displaystyle u_{i}^{n+1},}$

${displaystyle u_{i}^{n+1}={frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-a{frac {Delta t}{2,Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}),}$

Где начальные значения и граничные узлы берутся из

${displaystyle u_{i}^{0}=u_{0}(x_{i})}$

${displaystyle u_{0}^{n}=u_{b}(t^{n})}$

${displaystyle u_{N}^{n}=u_{c}(t^{n}).}$

Расширения к нелинейным задачам

Нелинейный гиперболический закон сохранения определяется через функцию потока ${displaystyle f}$:

${displaystyle u_{t}+(f(u))_{x}=0.}$

В случае ${displaystyle f(u)=au}$, получаем скалярную линейную задачу. Обратите внимание, что в целом ${displaystyle u}$ вектор с ${displaystyle m}$ Обобщение метода Лакса-Фридрихса на нелинейные системы принимает вид^[1]

${displaystyle u_{i}^{n+1}={frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-{frac {Delta t}{2,Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

Этот метод консервативен и точен до первого порядка, а значит, довольно диссипативен. Однако его можно использовать в качестве строительного блока для построения числовых схем высокого порядка для решения гиперболических уравнений в частных производных, подобно тому как временные шаги Эйлера можно использовать в качестве строительного блока для создания числовых интеграторов высокого порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отметим, что этот метод можно записать в форме сохранения:

${displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{frac {Delta t}{Delta x}}left({hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{hat {f}}_{i-1/2}^{n}ight),}$

куда

${displaystyle {hat {f}}_{i-1/2}^{n}={frac {1}{2}}left(f_{i-1}+f_{i}ight)-{frac {Delta x}{2Delta t}}left(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}ight).}$

Без лишних условий ${displaystyle u_{i}^{n}}$ и ${displaystyle u_{i-1}^{n}}$ в дискретном потоке, ${displaystyle {hat {f}}_{i-1/2}^{n}}$, в итоге получается Схема FTCS, который, как известно, безусловно неустойчив для гиперболических задач.

Стабильность и точность

Пример начального состояния задачи

Решение Лакса-Фридрихса

Этот метод явный и с точностью до первого порядка и точность первого порядка в космосе (${displaystyle O(Delta t)+O({frac {Delta x^{2}}{Delta t}}))}$ при условии ${displaystyle u_{0}(x),,u_{b}(t),,u_{c}(t)}$ - достаточно гладкие функции. В этих условиях метод стабильный тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

${displaystyle left|a{frac {Delta t}{Delta x}}ight|leq 1.}$

(А анализ устойчивости фон Неймана может показать необходимость этого условия устойчивости.) Метод Лакса – Фридрихса классифицируется как метод второго порядка рассеяние и третий порядок разброс (Чу 1978, стр. 304). Для функций, у которых есть разрывы, схема показывает сильную диссипацию и дисперсию (Томас 1995, §7.8); см. цифры справа.

Рекомендации

1. Левек, Рэндалл Дж. Численные методы для законов сохранения ", Birkhauser Verlag, 1992, стр. 125.

• DuChateau, Поль; Захманн, Дэвид (2002), Прикладные дифференциальные уравнения с частными производными, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41976-3.
• Томас, Дж. У. (1995), Численные уравнения с частными производными: конечно-разностные методы, Тексты по прикладной математике, 22, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97999-1.
• Чу, К. К. (1978), Численные методы в механике жидкости, Успехи прикладной механики, 18, Нью-Йорк: Академическая пресса, ISBN  978-0-12-002018-8.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 10.1.2. Слабый метод», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8