Метод установки уровня - Level-set method

Файл: Levelset-mean-curvature-spiral.ogv

Видео распространения спирали по уровням (кривизна потока ) в 2D. LHS показывает решение с нулевым уровнем. Справа показано скалярное поле с установленным уровнем.

Методы установки уровня (LSM) представляют собой концептуальную основу для использования наборы уровней как инструмент для числовой анализ из поверхности и формы. Преимущество модели с набором уровней состоит в том, что можно выполнять численные вычисления с использованием кривые и поверхности на фиксированной Декартова сетка без необходимости параметризовать эти объекты (это называется Эйлеров подход).^[1] Кроме того, метод установки уровня позволяет очень легко следить за изменяющимися формами. топология, например, когда фигура разделяется на две части, появляются отверстия, или наоборот. Все это делает метод установки уровня отличным инструментом для моделирования объектов, меняющихся во времени, таких как надувание воздушная подушка, или капля масла, плавающая в воде.

Иллюстрация метода установки уровня

Рисунок справа иллюстрирует несколько важных идей о методе установки уровня. В верхнем левом углу мы видим фигуру; то есть ограниченная область с хорошей границей. Под ним красная поверхность - график функции установки уровня. ${ displaystyle varphi}$ определяя эту форму, а плоская синяя область представляет ху самолет. Граница формы тогда является набором нулевого уровня ${ displaystyle varphi}$ , а сама фигура - это набор точек на плоскости, для которых ${ displaystyle varphi}$ положительно (внутри формы) или равно нулю (на границе).

В верхнем ряду мы видим, как фигура меняет свою топологию, разделяясь на две части. Было бы довольно сложно описать это преобразование численно, параметризуя границу формы и прослеживая ее эволюцию. Потребуется алгоритм, способный определить момент разделения формы на две, а затем построить параметризацию для двух вновь полученных кривых. С другой стороны, если мы посмотрим на нижнюю строку, мы увидим, что функция установки уровня просто переведена вниз. Это пример того, когда с помощью функции установки уровня может быть намного проще работать с формой, чем с формой напрямую, когда при прямом использовании формы необходимо учитывать и обрабатывать все возможные деформации, которым она может подвергнуться.

Таким образом, в двух измерениях метод установки уровня представляет собой представление замкнутая кривая ${ displaystyle Gamma}$ (например, граница формы в нашем примере) с помощью вспомогательной функции ${ displaystyle varphi}$ , называется функцией установки уровня. ${ displaystyle Gamma}$ представлен как ноль-набор уровней из ${ displaystyle varphi}$ к

{ Displaystyle Gamma = {(x, y) mid varphi (x, y) = 0 },}

а метод установки уровня управляет ${ displaystyle Gamma}$ неявно, через функцию ${ displaystyle varphi}$ . Эта функция ${ displaystyle varphi}$ предполагается, что принимает положительные значения внутри области, ограниченной кривой ${ displaystyle Gamma}$ и отрицательные значения снаружи.^[2]^[3]

Уравнение системы уровня

Если кривая ${ displaystyle Gamma}$ движется в нормальном направлении со скоростью ${ displaystyle v}$ , то функция установки уровня ${ displaystyle varphi}$ удовлетворяет уравнение системы уровня

{ displaystyle { frac { partial varphi} { partial t}} = v | nabla varphi |.}

Здесь, ${ displaystyle | cdot |}$ это Евклидова норма (обычно обозначаются одиночными полосами в PDE), и ${ displaystyle t}$ время. Это уравнение в частных производных, в частности Уравнение Гамильтона – Якоби, и может быть решена численно, например, с помощью конечные разности на декартовой сетке.^[2]^[3]

Однако численное решение уравнения системы уровня требует сложных методов. Простые конечно-разностные методы быстро терпят неудачу. Против ветра методы, такие как Метод Годунова, лучше; однако метод установки уровня не гарантирует сохранение объема и формы уровня, установленного в адвективном поле, которое действительно сохраняет форму и размер, например, однородное поле или поле скорости вращения. Вместо этого форма набора уровней может сильно исказиться, и набор уровней может исчезнуть через несколько временных шагов. По этой причине обычно требуются разностные схемы высокого порядка, такие как схемы высокого порядка по существу не колеблющийся (ENO) схем, и даже в этом случае возможность длительного моделирования сомнительна. Для решения этой проблемы были разработаны дополнительные сложные методы, например, комбинации метода установки уровня с отслеживанием маркерных частиц, переносимых полем скорости.^[4]

Пример

Рассмотрим единичный круг в ${ textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ , сжимаясь на себя с постоянной скоростью, то есть каждая точка на границе круга движется вдоль его внутренней нормали с некоторой фиксированной скоростью. Круг сожмется и, в конце концов, схлопнется до точки. Если начальное поле расстояний построено (то есть функция, значение которой представляет собой знаковое евклидово расстояние до границы, положительное внутреннее, отрицательное внешнее) на начальной окружности, нормализованный градиент этого поля будет нормалью к окружности.

Если у поля есть постоянное значение, вычтенное из него во времени, нулевой уровень (который был начальной границей) новых полей также будет круглым и аналогичным образом схлопнется в точку. Это связано с тем, что это фактически временная интеграция Уравнение эйконала с фиксированной скоростью фронта.

В горение, этот метод используется для описания мгновенной поверхности пламени, известной как Уравнение G.

История

Метод установки уровней был разработан в 1980-х годах американскими математиками. Стэнли Ошер и Джеймс Сетиан. Он стал популярным во многих дисциплинах, таких как обработка изображений, компьютерная графика, вычислительная геометрия, оптимизация, вычислительная гидродинамика, и вычислительная биофизика.

Номер структуры данных с набором уровней были разработаны для облегчения использования метода установки уровня в компьютерных приложениях.

Приложения

Вычислительная гидродинамика
Горение
Планирование траектории
Оптимизация
Обработка изображений
Вычислительная биофизика

Вычислительная гидродинамика

Чтобы запустить математическую модель на границе двух разных жидкостей, нам нужно смягчить взаимодействия между жидкостями. Поэтому нам нужно применить особую функцию: метод компактной установки уровня.

В качестве «дополнительного продукта» CompactLSM является дополнением к LSM, которое помогает решать уравнения LSM. Его можно использовать при численном моделировании потока, например, если мы работаем с дискретизацией границы раздела вода-воздух, уплотняется в шестом порядке, обеспечивает точное и быстрое вычисление уравнений границы раздела (Монтейро, 2018).

LSM использует функцию расстояния для обнаружения различных жидкостей. Функция расстояния - это функция, значение которой представляет наименьшее расстояние от точки, где она анализируется, до границы раздела. Эта функция расстояния определяется изолиниями (2D) или изоповерхностями (3D), показывая, что отрицательные значения относятся к одной из флюидов, положительные значения относятся к другой, а нулевое значение соответствует положению границы раздела.

Но как работает Хевисайд? Компактный метод установки уровня?

Поскольку удельная масса и вязкость не являются непрерывными на границе раздела, как проблема избыточной диффузии (расширение границы раздела), так и численные колебания ожидаются, если нет адекватной обработки жидкости вблизи границы раздела. Чтобы свести к минимуму эти проблемы, метод Level Set использует плавную, связанную с ячейками функцию Хевисайда, которая явно определяет положение интерфейса (= 0).

Переход в интерфейсе поддерживается плавным, но с толщиной порядка размера ячейки, чтобы избежать появления возмущений с масштабом длины, равным масштабу сетки, поскольку интерфейс предполагает свойство резкого скачка из одного ячейку в следующую (Унверди и Трюггвасон, 1992). Для восстановления свойств материала потока, таких как удельная масса и вязкость, используется другая функция маркера, I (∅), типа Хевисайда:

{ displaystyle I ( varphi) = { begin {case} 0, & { text {if}} varphi <- delta Delta [8pt] { dfrac {1} {2}} left [1 + { dfrac { varphi} { delta Delta}} + { dfrac {1} { pi}} sin left ({ dfrac { pi varphi} { delta Delta}} right) right], & { text {if}} | varphi | leq delta Delta [8pt] 1, & { text {if}} varphi> delta Delta end { случаи}}}

(1)

куда δ - эмпирический коэффициент, обычно равный 1; 5 и Δ - характерная дискретизация задачи, которая изменяется в зависимости от моделируемого явления. Значение δ представляет собой интерфейс толщиной в три ячейки, и, таким образом, δΔ представляет половину толщины границы раздела. Обратите внимание, что в этом методе интерфейс имеет виртуальную толщину, поскольку он представлен гладкой функцией. Физические свойства, такие как удельная масса и кинематическая вязкость, рассчитываются как:

{ displaystyle rho = (1-I) rho _ {1} + I rho _ {2} qquad e qquad v = (1-I) v_ {1} + Iv_ {2}}

(2)

куда ρ₁, ρ₂, v₁ и v₂ - удельная масса и кинематическая вязкость жидкостей 1 и 2. Уравнение 2 может применяться аналогично к другим свойствам жидкостей.

Смотрите также

внешняя ссылка

Видеть Рональд Федкив с академическая веб-страница для множества потрясающих изображений и анимаций, показывающих, как метод установки уровня может использоваться для моделирования реальных явлений, таких как огонь, вода, ткань, трещины материалов и т. д.
Мультивак - это библиотека C ++ для отслеживания фронта в 2D с помощью методов установки уровня.
Джеймс Сетиан с страница в Интернете по уровневому методу.
Стэнли Ошер с домашняя страница.

[1] Ошер, С .; Сетиан, Дж. А. (1988), «Фронты распространяются со скоростью, зависящей от кривизны: алгоритмы, основанные на формулировках Гамильтона – Якоби» (PDF), J. Comput. Phys., 79 (1): 12–49, Bibcode:1988JCoPh..79 ... 12O, CiteSeerX 10.1.1.46.1266, Дои:10.1016/0021-9991(88)90002-2, HDL:10338.dmlcz / 144762

[osher-2] а ^б Ошер, Стэнли Дж.; Fedkiw, Рональд П. (2002). Методы набора уровней и неявные динамические поверхности. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95482-0.

[sethian-3] а ^б Сетиан, Джеймс А. (1999). Методы установки уровней и методы быстрого перехода: развивающиеся интерфейсы в вычислительной геометрии, механике жидкости, компьютерном зрении и материаловедении. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-64557-7.

[4] Enright, D .; Fedkiw, R.P .; Ферцигер, Дж. Х.; Митчелл, И. (2002), «Гибридный метод установки уровня частиц для улучшенного захвата интерфейса» (PDF), J. Comput. Phys., 183 (1): 83–116, Bibcode:2002JCoPh.183 ... 83E, CiteSeerX 10.1.1.15.910, Дои:10.1006 / jcph.2002.7166

[1]

[2]

[3]

[4]