Схема FTCS - FTCS scheme

В числовой анализ, то FTCS (Вперед, центрированное по времени пространство) метод является метод конечных разностей используется для численного решения уравнение теплопроводности и подобные параболические уравнения в частных производных.[1] Это метод первого порядка во времени, явный вовремя, и условно стабильный применительно к уравнению теплопроводности. При использовании в качестве метода уравнения переноса, или в более общем смысле гиперболическое уравнение в частных производных, он нестабилен, если не включена искусственная вязкость. Аббревиатуру FTCS впервые использовал Патрик Роуч.[2][3]

Метод

Метод FTCS основан на центральная разница в космосе и прямой метод Эйлера во времени, что дает сходимость первого порядка во времени и сходимость второго порядка в пространстве. Например, в одном измерении, если уравнение в частных производных является

затем, позволяя , прямой метод Эйлера определяется выражением:

Функция должны быть пространственно дискретизированы с помощью центральная разница схема. Это явный метод что обозначает, могут быть вычислены явно (нет необходимости решать систему алгебраических уравнений), если значения на предыдущем временном уровне известны. Метод FTCS является недорогим в вычислительном отношении, поскольку он явный.

Иллюстрация: одномерное уравнение теплопроводности

Метод FTCS часто применяется к распространение проблемы. Например, для 1D уравнение теплопроводности,

Схема FTCS представлена:

или, позволяя :

Стабильность

Как получено с использованием анализ устойчивости фон Неймана, метод FTCS для одномерного уравнения теплопроводности имеет вид численно стабильный тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

То есть выбор и должен удовлетворять вышеуказанному условию для стабильности схемы FTCS. Главный недостаток метода FTCS заключается в том, что для задач с большим коэффициентом диффузии , удовлетворительные размеры шага могут быть слишком малы, чтобы быть практичным.

За гиперболические уравнения в частных производных, то линейная тестовая задача постоянный коэффициентуравнение переноса, в отличие от уравнение теплопроводности (или же уравнение диффузии ), что является правильным выбором для параболическое дифференциальное уравнение. Известно, что для этих гиперболические проблемы, любой выбор приводит к нестабильной схеме.[4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Джон К. Таннехилл; Дейл А. Андерсон; Ричард Х. Плетчер (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  1-56032-046-X.
  2. ^ Патрик Дж. Роуч (1972). Вычислительная гидродинамика (1-е изд.). Hermosa. ISBN  0-913478-05-9.
  3. ^ Патрик Дж. Роуч (1998). Вычислительная гидродинамика (2-е изд.). Hermosa. ISBN  0-913478-09-1.
  4. ^ Левек, Рэндалл (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00924-3.