Meshfree методы - Meshfree methods

20 точек и их ячейки Вороного

В области числовой анализ, бессеточные методы те, которые не требуют связи между узлами области моделирования, т.е. сетка, а скорее основаны на взаимодействии каждого узла со всеми его соседями. Как следствие, исходные экстенсивные свойства, такие как масса или кинетическая энергия, больше не присваиваются элементам сетки, а скорее отдельным узлам. Методы Meshfree позволяют моделировать некоторые сложные типы задач за счет дополнительных вычислительных затрат и усилий по программированию. Отсутствие сетки позволяет Лагранжиан моделирование, в котором узлы могут перемещаться в соответствии с поле скорости.

Мотивация

Численные методы, такие как метод конечных разностей, метод конечных объемов, и метод конечных элементов изначально были определены на сетках точек данных. В такой сетке каждая точка имеет фиксированное количество предопределенных соседей, и эта связь между соседями может использоваться для определения математических операторов, таких как производная. Эти операторы затем используются для построения уравнений для моделирования, таких как Уравнения Эйлера или Уравнения Навье – Стокса.

Но в симуляциях, где моделируемый материал может перемещаться (как в вычислительная гидродинамика ) или где большой деформации материала может произойти (как при моделировании пластиковые материалы ), связность сетки может быть трудно поддерживать без внесения ошибок в моделирование. Если во время моделирования сетка запутывается или вырождается, определенные на ней операторы могут больше не давать правильных значений. Сетка может быть воссоздана во время моделирования (процесс, называемый повторной сеткой), но это также может привести к ошибке, поскольку все существующие точки данных должны быть отображены на новый и другой набор точек данных. Методы Meshfree предназначены для решения этих проблем. Методы Meshfree также полезны для:

• Моделирование, где создание полезной сетки из геометрии сложного 3D-объекта может быть особенно сложно или потребует помощи человека
• Моделирование, в котором узлы могут быть созданы или уничтожены, например, в моделировании трещин
• Моделирование, при котором геометрия проблемы может не совпадать с фиксированной сеткой, например, в моделировании изгиба
• Моделирование, содержащее нелинейное поведение материала, неоднородности или особенности

Пример

В традиционном конечная разница моделирование, область одномерного моделирования будет некоторой функцией ${displaystyle u(x,t)}$, представленный как сетка значений данных ${displaystyle u_{i}^{n}}$ в точках ${displaystyle x_{i}}$, куда

${displaystyle i=0,1,2...}$

${displaystyle n=0,1,2...}$

${displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h forall i}$

${displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k forall n}$

Мы можем определить производные, которые встречаются в моделируемом уравнении, используя некоторые конечно-разностные формулы в этой области, например

${displaystyle {partial u over partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} over 2h}}$

и

${displaystyle {partial u over partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} over k}}$

Тогда мы можем использовать эти определения ${displaystyle u(x,t)}$ и его пространственные и временные производные, чтобы записать моделируемое уравнение в конечно-разностной форме, затем смоделировать уравнение с одним из многих методы конечных разностей.

В этом простом примере шаги (здесь пространственный шаг ${displaystyle h}$ и временной шаг ${displaystyle k}$) постоянны по всей сетке, а левые и правые соседи сетки значения данных в ${displaystyle x_{i}}$ значения на ${displaystyle x_{i-1}}$ и ${displaystyle x_{i+1}}$, соответственно. Как правило, при конечных разностях можно очень просто разрешить переменные шагов вдоль сетки, но все исходные узлы должны быть сохранены, и они могут перемещаться независимо, только деформируя исходные элементы. Если даже только два из всех узлов меняют свой порядок, или даже только один узел добавляется или удаляется из моделирования, это создает дефект в исходной сетке, и простое приближение конечных разностей больше не может выполняться.

Гидродинамика сглаженных частиц (SPH), один из старейших бессеточных методов, решает эту проблему, рассматривая точки данных как физические частицы с массой и плотностью, которые могут перемещаться со временем и нести некоторую ценность. ${displaystyle u_{i}}$ с ними. Затем SPH определяет значение ${displaystyle u(x,t)}$ между частицами

${displaystyle u(x,t_{n})=sum _{i}m_{i}{frac {u_{i}^{n}}{ho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

куда ${displaystyle m_{i}}$ это масса частицы ${displaystyle i}$, ${displaystyle ho _{i}}$ это плотность частицы ${displaystyle i}$, и ${displaystyle W}$ - это функция ядра, которая работает с соседними точками данных и выбрана из соображений гладкости и других полезных качеств. По линейности мы можем записать пространственную производную как

${displaystyle {partial u over partial x}=sum _{i}m_{i}{frac {u_{i}^{n}}{ho _{i}}}{partial W(|x-x_{i}|) over partial x}}$

Тогда мы можем использовать эти определения ${displaystyle u(x,t)}$ и его пространственные производные, чтобы записать моделируемое уравнение как обыкновенное дифференциальное уравнение, и смоделируйте уравнение с одним из многих численные методы. С физической точки зрения это означает вычисление сил между частицами, а затем интегрирование этих сил с течением времени для определения их движения.

Преимущество SPH в этой ситуации состоит в том, что формулы для ${displaystyle u(x,t)}$ и его производные не зависят от какой-либо информации о смежности частиц; они могут использовать частицы в любом порядке, поэтому не имеет значения, перемещаются ли частицы или даже меняются местами.

Одним из недостатков SPH является то, что он требует дополнительного программирования для определения ближайших соседей частицы. Поскольку функция ядра ${displaystyle W}$ возвращает ненулевые результаты только для ближайших частиц в пределах удвоенной «длины сглаживания» (потому что мы обычно выбираем функции ядра с компактная опора ), было бы напрасной тратой усилий вычислять вышеуказанные суммы по каждой частице в большом моделировании. Поэтому обычно симуляторы SPH требуют некоторого дополнительного кода для ускорения вычисления этого ближайшего соседа.

История

Один из самых ранних методов без сетки - гидродинамика сглаженных частиц, представленный в 1977 году.^[1] Либерский и другие.^[2] были первыми, кто применил SPH в механике твердого тела. Основными недостатками SPH являются неточные результаты вблизи границ и нестабильность растяжения, которая была впервые исследована Swegle.^[3]

В 1990-х годах появился новый класс методов без сетки, основанный на Метод Галеркина. Этот первый метод называется методом диффузного элемента.^[4] (DEM), впервые разработанная Nayroles et al., Использовала MLS аппроксимация в решении Галеркина дифференциальных уравнений в частных производных с приближенными производными функции MLS. После этого Белычко впервые применил метод безэлементного галеркина (EFG),^[5] в котором использовалась MLS с множителями Лагранжа для обеспечения граничных условий, числовая квадратура более высокого порядка в слабой форме и полные производные приближения MLS, которые давали лучшую точность. Примерно в то же время воспроизводящий метод ядерных частиц^[6] (RKPM), аппроксимация частично подтолкнула к исправлению ядерной оценки в SPH: для обеспечения точности вблизи границ, при неравномерной дискретизации и точности более высокого порядка в целом. Примечательно, что при параллельной разработке Методы материальной точки были разработаны примерно в то же время^[7] которые предлагают аналогичные возможности. Методы материальной точки широко используются в киноиндустрии для моделирования механики твердого тела с большой деформацией, например снега в фильме. Замороженный.^[8] RKPM и другие бессеточные методы были интенсивно разработаны Ченом, Лю и Ли в конце 1990-х годов для множества приложений и различных классов задач.^[9] В течение 1990-х годов и после этого было выведено несколько других разновидностей, включая перечисленные ниже.

Список методов и сокращений

Следующие ниже численные методы обычно считаются относящимися к общему классу "бессеточных" методов. Акронимы указаны в скобках.

• Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) (1977)
• Метод диффузного элемента (DEM) (1992)
• Диссипативная динамика частиц (DPD) (1992)
• Безэлементный Галёркин метод (EFG / EFGM) (1994)
• Воспроизведение метода ядерных частиц (РКПМ) (1995)
• Метод конечной точки (ФПМ) (1996)
• Метод конечных точек (ФПМ) (1998)
• hp-облака
• Метод природных элементов (NEM)
• Метод материальной точки (MPM)
• Без сетки местный Петров Галёркин (MLPG) (1998)^[10]
• Состав без сетки с генерализованной деформацией (GSMF) (2016)^[11]
• Полунявная движущаяся частица (MPS)
• Обобщенный метод конечных разностей (GFDM)
• Частица в ячейке (ПОС)
• Метод конечных элементов движущихся частиц (MPFEM)
• Метод конечных облаков (FCM)
• Метод граничного узла (BNM)
• Метод интерполяции по кригингу без сетки (МК)
• Метод граничного облака (BCM)
• Метод фундаментальных решений (MFS)
• Метод частного решения (MPS)
• Метод конечных сфер (MFS)
• Дискретно-вихревой метод (DVM)
• Метод конечных масс (ФММ) (2000)^[12]
• Метод интерполяции сглаженных точек (S-PIM) (2005).^[13]
• Meshfree местный метод интерполяции радиальной точки (РПИМ).^[13]
• Метод коллокации локальной радиальной базисной функции (LRBFCM)^[14]
• Метод вязких вихревых доменов (ВВД)
• Метод крекинг-частиц (CPM) (2004)
• Дискретный бессеточный метод наименьших квадратов (DLSM) (2006)
• Метод погруженных частиц (IPM) (2006)
• Оптимальный метод транспортировки без сетки (ОТМ) (2010)^[15]
• Метод повторной замены (RRM) (2012)^[16]
• Метод радиального базисного интегрального уравнения^[17]
• Метод наименьших квадратов без сетки (2001)^[18]
• Перидинамика (PD)
• Метод экспоненциальных базисных функций (EBF) (2010)^[19]

Связанные методы:

• Перемещение наименьших квадратов (MLS) - предоставить общий метод аппроксимации для произвольного набора узлов
• Раздел единства методы (PoUM) - предоставляют общую формулировку аппроксимации, используемую в некоторых бессеточных методах
• Метод непрерывного смешения (обогащение и соединение конечных элементов и бессеточные методы) - см. Уэрта и Фернандес-Мендес (2000)
• Расширенный МКЭ, Обобщенный МКЭ (XFEM, GFEM) - варианты FEM (метод конечных элементов), сочетающие некоторые бессеточные аспекты
• Метод сглаженных конечных элементов (S-FEM) (2007)
• Метод сглаживания градиента (GSM) (2008)
• Локальная максимальная энтропия (LME) - см. Арройо и Ортис (2006)
• Метод пространственно-временного свободного от сетки коллокации (STMCM) - см. Нетужилов (2008), Нетужилов и Зилиан (2009)
• Meshfree Interface-Finite Element Method (MIFEM) (2015) - гибридный метод конечных элементов без сеток для численного моделирования задач фазового преобразования и многофазного потока^[20]

Недавнее развитие

Основными направлениями развития бессеточных методов являются решение проблем, связанных с обязательным соблюдением границ, числовой квадратурой, а также контактами и большими деформациями.^[21] Общее слабая форма требует строгого соблюдения основных граничных условий, однако бессеточные методы в целом не имеют Дельта Кронекера свойство. Это делает выполнение основных граничных условий нетривиальным, по крайней мере, более сложным, чем Метод конечных элементов, где они могут быть наложены напрямую. Были разработаны методы, позволяющие преодолеть эту трудность и строго наложить условия. Было разработано несколько методов наложения существенных граничных условий слабо, включая Множители Лагранжа, Метод Нитче и метод штрафа.

Что касается квадратура, узловая интеграция, как правило, предпочтительна, что обеспечивает простоту, эффективность и сохраняет метод без сетки без какой-либо сетки (в отличие от использования Квадратура Гаусса, что требует наличия сетки для генерации квадратурных точек и весов). Однако узловое интегрирование страдает численной нестабильностью из-за недооценки энергии деформации, связанной с коротковолновыми модами,^[22] а также дает неточные и несовместимые результаты из-за недостаточного интегрирования слабой формы.^[23] Одним из основных достижений в области численного интегрирования явилась разработка стабилизированного согласованного узлового интегрирования (SCNI), который обеспечивает метод узлового интегрирования, который не страдает ни одной из этих проблем.^[23] Метод основан на сглаживании деформаций, удовлетворяющем первому порядку патч-тест. Однако позже выяснилось, что низкоэнергетические режимы все еще присутствуют в SCNI, и были разработаны дополнительные методы стабилизации. Этот метод применялся для решения множества задач, включая тонкие и толстые пластины, поромеханику, проблемы с преобладанием конвекции и другие.^[21] Совсем недавно был разработан фреймворк для прохождения тестов исправлений произвольного порядка на основе Метод Петрова – Галеркина.^[24]

Одно из недавних достижений в бессеточных методах направлено на разработку вычислительных инструментов для автоматизации моделирования и симуляций. Это возможно благодаря так называемой формулировке ослабленного слабого (W2), основанной на G пространство теория.^[25][26] Формулировка W2 предлагает возможности формулировать различные (однородные) «мягкие» модели, которые хорошо работают с треугольными сетками. Поскольку треугольная сетка может быть сгенерирована автоматически, становится намного проще создавать заново сетку, что позволяет автоматизировать моделирование и симуляцию. Кроме того, модели W2 можно сделать достаточно мягкими (единообразно), чтобы получить решения с верхними границами (для задач с принудительным движением). Вместе с жесткими моделями (такими как полностью совместимые модели МКЭ) можно удобно связать решение с обеих сторон. Это позволяет легко оценивать ошибки для обычно сложных проблем, если можно создать треугольную сетку. Типичными моделями W2 являются методы интерполяции сглаженных точек (или S-PIM).^[13] S-PIM может быть узловым (известный как NS-PIM или LC-PIM),^[27] на основе края (ES-PIM),^[28] и на основе соты (CS-PIM).^[29] NS-PIM был разработан с использованием так называемой техники SCNI.^[23] Затем было обнаружено, что NS-PIM может производить раствор с верхней границей и без объемной блокировки.^[30] ES-PIM имеет превосходную точность, а CS-PIM занимает промежуточное положение между NS-PIM и ES-PIM. Более того, формулировки W2 позволяют использовать полиномиальные и радиальные базисные функции при создании функций формы (они учитывают прерывистые функции смещения, пока они находятся в пространстве G1), что открывает дополнительные возможности для будущих разработок. Формулировка W2 также привела к развитию комбинации методов без сетки с хорошо разработанными методами МКЭ, и теперь можно использовать треугольную сетку с превосходной точностью и желаемой мягкостью. Типичной такой формулировкой является так называемый метод сглаженных конечных элементов (или S-FEM).^[31] S-FEM - это линейная версия S-PIM, но с большинством свойств S-PIM и намного проще.

Принято считать, что бессеточные методы намного дороже, чем аналоги МКЭ. Однако недавнее исследование показало, что некоторые бессеточные методы, такие как S-PIM и S-FEM, могут быть намного быстрее, чем аналоги FEM.^[13][31]

S-PIM и S-FEM хорошо подходят для задач механики твердого тела. Для задач CFD формулировка может быть проще за счет сильной формулировки. Методы градиентного сглаживания (GSM) также были недавно разработаны для задач CFD, реализующие идею градиентного сглаживания в сильной форме.^[32][33] GSM аналогичен [FVM], но использует операции сглаживания градиента исключительно во вложенных моделях и является общим численным методом для PDE.

Узловая интеграция была предложена как метод использования конечных элементов для имитации бессеточного поведения.^{[нужна цитата ]} Однако препятствие, которое необходимо преодолеть при использовании узловых интегрированных элементов, состоит в том, что количества в узловых точках не являются непрерывными, а узлы являются общими для нескольких элементов.

Смотрите также

• Механика сплошной среды
• Метод сглаженных конечных элементов^[31]
• G пространство^[34]
• Ослабленная слабая форма^[35][36]
• Метод граничных элементов
• Метод погруженных границ
• Код трафарета
• Метод частиц

Рекомендации

1. Gingold, R.A .; Монаган, Дж. Дж. (1 декабря 1977 г.). «Гидродинамика сглаженных частиц: теория и приложение к несферическим звездам». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 181 (3): 375–389. Bibcode:1977МНРАС.181..375Г. Дои:10.1093 / минрас / 181.3.375.
2. Либерский, Ларри Д.; Petschek, Albert G .; Карни, Теодор С .; Хипп, Джим Р .; Аллахдади, Фируз А. (ноябрь 1993 г.). «Лагранжева гидродинамика высоких деформаций». Журнал вычислительной физики. 109 (1): 67–75. Дои:10.1006 / jcph.1993.1199.
3. Swegle, J.W .; Hicks, D.L .; Attaway, S.W. (Январь 1995 г.). "Анализ устойчивости гидродинамики сглаженных частиц". Журнал вычислительной физики. 116 (1): 123–134. Bibcode:1995JCoPh.116..123S. Дои:10.1006 / jcph.1995.1010.
4. Nayroles, B .; Touzot, G .; Вийон, П. (1992). «Обобщение метода конечных элементов: диффузное приближение и диффузные элементы». Вычислительная механика. 10 (5): 307–318. Bibcode:1992CompM..10..307N. Дои:10.1007 / BF00364252.
5. Беличко, Т .; Lu, Y. Y .; Гу Л. (30 января 1994 г.). «Безэлементные методы Галеркина». Международный журнал численных методов в инженерии. 37 (2): 229–256. Bibcode:1994IJNME..37..229B. Дои:10.1002 / nme.1620370205.
6. Лю, Винг Кам; Джун, Сукки; Чжан И Фэй (30 апреля 1995 г.). «Воспроизведение методов ядерных частиц». Международный журнал численных методов в жидкостях. 20 (8–9): 1081–1106. Bibcode:1995IJNMF..20.1081L. Дои:10.1002 / fld.1650200824.
7. Сульский, Д .; Chen, Z .; Шрейер, Х.Л. (сентябрь 1994 г.). «Метод частиц для материалов, зависящих от истории». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 118 (1–2): 179–196. Дои:10.1016/0045-7825(94)90112-0.
8. https://www.math.ucla.edu/~jteran/papers/SSCTS13.pdf
9. Liu, W. K .; Chen, Y .; Jun, S .; Chen, J. S .; Беличко, Т .; Pan, C .; Uras, R.A .; Чанг, К. Т. (март 1996 г.). «Обзор и применение методов воспроизведения ядерных частиц». Архивы вычислительных методов в технике. 3 (1): 3–80. Дои:10.1007 / BF02736130.
10. Atluri, S. N .; Чжу, Т. (24 августа 1998 г.). «Новый бессеточный локальный подход Петрова-Галеркина (MLPG) в вычислительной механике». Вычислительная механика. 22 (2): 117–127. Bibcode:1998CompM..22..117A. Дои:10.1007 / s004660050346.
11. Oliveira, T .; Портела, А. (декабрь 2016 г.). «Слабая форма коллокации - локальный бессеточный метод линейной упругости». Инженерный анализ с граничными элементами. 73: 144–160. Дои:10.1016 / j.enganabound.2016.09.010.
12. Гаугер, Кристоф; Лейнен, Питер; Исерентант, Гарри (январь 2000 г.). «Метод конечных масс». Журнал SIAM по численному анализу. 37 (6): 1768–1799. Дои:10.1137 / S0036142999352564.
13. Лю, Г. 2-е изд .: 2009 Методы без сетки, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
14. Сарлер Б., Вертник Р. Мешфри
15. Li, B .; Habbal, F .; Ортис, М. (17 сентября 2010 г.). «Оптимальные безсеточные аппроксимационные схемы для жидкостей и пластических течений». Международный журнал численных методов в инженерии. 83 (12): 1541–1579. Bibcode:2010IJNME..83.1541L. Дои:10.1002 / nme.2869.
16. Уокер, Уэйд А .; Ланговски, Йорг (6 июля 2012 г.). «Метод повторной замены: чистый лагранжев метод без сетки для вычислительной гидродинамики». PLoS ONE. 7 (7): e39999. Bibcode:2012PLoSO ... 739999W. Дои:10.1371 / journal.pone.0039999. ЧВК  3391243. PMID  22866175.
17. Ooi, E.H .; Попов, В. (май 2012). «Эффективная реализация метода радиального базисного интегрального уравнения». Инженерный анализ с граничными элементами. 36 (5): 716–726. Дои:10.1016 / j.enganabound.2011.12.001.
18. Чжан, Сюн; Лю, Сяо-Ху; Сун, Кан-Зу; Лу, Мин-Ван (30 июля 2001 г.). «Метод наименьших квадратов без сетки». Международный журнал численных методов в инженерии. 51 (9): 1089–1100. Bibcode:2001IJNME..51.1089Z. Дои:10.1002 / nme.200.
19. Boroomand, B .; Soghrati, S .; Мовахедян, Б. (2009). «Экспоненциальные базисные функции в решении статических и гармонических по времени упругих задач в бессеточном стиле». Международный журнал численных методов в инженерии: н / д. Дои:10.1002 / nme.2718.
20. Гонейм, А. (март 2015 г.). «Безсеточный метод конечных элементов интерфейса для моделирования изотермического растворенного плавления и затвердевания в бинарных системах». Конечные элементы в анализе и дизайне. 95: 20–41. Дои:10.1016 / j.finel.2014.10.002.
21. Чен, Цзюн-Шянь; Хиллман, Майкл; Чи, Шэн-Вэй (апрель 2017 г.). «Бессеточные методы: прогресс, достигнутый за 20 лет». Журнал инженерной механики. 143 (4): 04017001. Дои:10.1061 / (ASCE) EM.1943-7889.0001176.
22. Белычко, Тед; Го, Юн; Кам Лю, Крыло; Пин Сяо, Шао (30 июля 2000 г.). «Единый анализ устойчивости бессеточных методов частиц». Международный журнал численных методов в инженерии. 48 (9): 1359–1400. Bibcode:2000IJNME..48.1359B. Дои:10.1002 / 1097-0207 (20000730) 48: 9 <1359 :: AID-NME829> 3.0.CO; 2-U.
23. Чен, Цзюн-Шянь; Ву, Чэн-Тан; Юн, Сангпил; Ю, Ян (20 января 2001 г.). «Стабилизированная согласованная узловая интеграция для методов Галеркина без сетки». Международный журнал численных методов в инженерии. 50 (2): 435–466. Bibcode:2001IJNME..50..435C. Дои:10.1002 / 1097-0207 (20010120) 50: 2 <435 :: AID-NME32> 3.0.CO; 2-A.
24. Чен, Цзюн-Шянь; Хиллман, Майкл; Рютер, Маркус (3 августа 2013 г.). «Вариационно согласованное интегрирование произвольного порядка для бессеточных методов Галеркина». Международный журнал численных методов в инженерии. 95 (5): 387–418. Bibcode:2013IJNME..95..387C. Дои:10.1002 / nme.4512.
25. Лю, Г. Р. (2009). "Теория пространства G и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: часть I теории". Международный журнал численных методов в инженерии: н / д. Дои:10.1002 / nme.2719.
26. Лю, Г. Р. (2009). «Теория пространства G и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: часть II приложений к задачам механики твердого тела». Международный журнал численных методов в инженерии: н / д. Дои:10.1002 / nme.2720.
27. Лю Г.Р., Чжан Г.Й., Дай К.Ю., Ван Й.Ю., Чжун Чж., Ли Г.Й. и Хань Х. Метод линейно согласованной точечной интерполяции (LC-PIM) для двумерных задач механики твердого тела, Международный журнал вычислительных методов, 2(4): 645–665, 2005.
28. G.R. Лю, Г. Чжан. Методы интерполяции сглаженных точек на основе краев. Международный журнал вычислительных методов, 5 (4): 621–646, 2008 г.
29. Лю, Г. Р .; Чжан, Г. Ю. (20 ноября 2011 г.). «Нормированное пространство G и ослабленная слабая (W2) формулировка метода интерполяции сглаженных точек на основе ячеек». Международный журнал вычислительных методов. 06 (1): 147–179. Дои:10.1142 / S0219876209001796.
30. Лю, Г. Р .; Чжан, Г. Ю. (14 мая 2008 г.). «Верхнее решение для задач упругости: уникальное свойство метода линейно согласованной точечной интерполяции (LC-PIM)». Международный журнал численных методов в инженерии. 74 (7): 1128–1161. Bibcode:2008IJNME..74.1128L. Дои:10.1002 / nme.2204.
31. Лю, Г.Р., 2010 Сглаженные методы конечных элементов, CRC Press, ISBN  978-1-4398-2027-8.^{[страница нужна ]}
32. Лю, Г. Р .; Сюй, Георг X. (10 декабря 2008 г.). «Метод сглаживания градиента (GSM) для задач гидродинамики». Международный журнал численных методов в жидкостях. 58 (10): 1101–1133. Bibcode:2008IJNMF..58.1101L. Дои:10.1002 / л. 1788.
33. Чжан, Цзянь; Liu, G.R .; Lam, K.Y .; Ли, Хуа; Сюй, Г. (ноябрь 2008 г.). «Метод сглаживания градиента (GSM), основанный на сильном уравнении для адаптивного анализа задач механики твердого тела». Конечные элементы в анализе и дизайне. 44 (15): 889–909. Дои:10.1016 / j.finel.2008.06.006.
34. Лю, Г. Р. (20 ноября 2011 г.). «О теории G-пространства». Международный журнал вычислительных методов. 06 (2): 257–289. Дои:10.1142 / S0219876209001863.
35. Лю, Г. Р. (2009). "Теория пространства G и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: часть I теории". Международный журнал численных методов в инженерии: н / д. Дои:10.1002 / nme.2719.
36. Лю, Г. Р. (2009). «Теория пространства G и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: часть II приложений к задачам механики твердого тела». Международный журнал численных методов в инженерии: н / д. Дои:10.1002 / nme.2720.

дальнейшее чтение

• Гарг, Сахил; Пант, Мохит (24 мая 2018 г.). «Свободные от сетки методы: всесторонний обзор приложений». Международный журнал вычислительных методов. 15 (4): 1830001. Дои:10.1142 / S0219876218300015.
• Лю, М. Б .; Лю, Г. Р .; Цзун, З. (20 ноября 2011 г.). «Обзор гидродинамики сглаженных частиц». Международный журнал вычислительных методов. 05 (1): 135–188. Дои:10.1142 / S021987620800142X.
• Liu, G.R .; Лю, М. (2003). Гидродинамика сглаженных частиц, бессеточный метод и метод частиц. World Scientific. ISBN  981-238-456-1.
• Атлури, С. (2004). Бессеточный метод (MLPG) для дискретизации домена и BIE. Tech Science Press. ISBN  0-9657001-8-6.
• Arroyo, M .; Ортис, М. (26 марта 2006 г.). «Схемы аппроксимации локальной максимальной энтропии: бесшовный мост между конечными элементами и бессеточными методами». Международный журнал численных методов в инженерии. 65 (13): 2167–2202. Bibcode:2006IJNME..65.2167A. CiteSeerX  10.1.1.68.2696. Дои:10.1002 / nme.1534.
• Беличко Т., Чен Дж. (2007). Методы без сетки и частиц, John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-470-84800-6
• Белычко, Т .; Huerta, A .; Fernández-Méndez, S; Рабчук, Т.(2004), «Бессеточные методы», Энциклопедия вычислительной механики Vol. 1.Глава 10, Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-470-84699-2
• Лю, Г. 1-е изд., 2002. Методы без сетки, CRC Press. ISBN  0-8493-1238-8.
• Ли, С., Лю, В.К. (2004). Бессеточные методы частиц, Берлин: Springer Verlag. ISBN  3-540-22256-1
• Уэрта, Антонио; Фернандес-Мендес, Соня (20 августа 2000 г.). «Обогащение и объединение методов конечных элементов и бессеточных методов». Международный журнал численных методов в инженерии. 48 (11): 1615–1636. Bibcode:2000IJNME..48.1615H. Дои:10.1002 / 1097-0207 (20000820) 48:11 <1615 :: AID-NME883> 3.0.CO; 2-S. HDL:2117/8264.
• Нетужилов, Х. (2008), "Метод пространственно-временной коллокации для связанных задач на нерегулярных областях", Диссертация, TU Braunschweig, CSE - Вычислительные науки в технике ISBN  978-3-00-026744-4, также как электронное изд..
• Нетужилов, Геннадий; Зилиан, Андреас (15 октября 2009 г.). "Пространственно-временной метод безсеточной коллокации: Методология и приложение к начально-краевым задачам". Международный журнал численных методов в инженерии. 80 (3): 355–380. Bibcode:2009IJNME..80..355N. Дои:10.1002 / nme.2638.
• Alhuri, Y .; Naji, A .; Ouazar, D .; Тайк, А. (26 августа 2010 г.). «Бессеточный метод на основе RBF для крупномасштабного моделирования мелководья: экспериментальная проверка». Математическое моделирование природных явлений. 5 (7): 4–10. Дои:10.1051 / mmnp / 20105701.
• Суза, Вашингтон; де Оливейра, Родриго (апрель 2015 г.). "Метод дискретизации закона Кулона: новая методология пространственной дискретизации для метода интерполяции радиальной точки". Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 57 (2): 277–293. Bibcode:2015IAPM ... 57..277S. Дои:10.1109 / MAP.2015.2414571.

внешняя ссылка

• Блог USACM о методах Meshfree