Численное дифференцирование - Numerical differentiation

В числовой анализ, численное дифференцирование описывает алгоритмы для оценки производная из математическая функция или функция подпрограмма используя значения функции и, возможно, другие знания о функции.

Конечные различия

Дальнейшая информация: Конечные различия

Самый простой метод - использовать конечно-разностные аппроксимации.

Простая двухточечная оценка заключается в вычислении наклона ближайшего секущая линия через точки (Икс, ж(Икс)) и (Икс + час, ж(Икс + час)).^[1] Выбираем небольшое количество час, час представляет собой небольшое изменение в Икс, и он может быть как положительным, так и отрицательным. Наклон этой линии равен

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Это выражение Ньютон с коэффициент разницы (также известный как разделенная разница ).

Наклон этой секущей линии отличается от наклона касательной на величину, примерно пропорциональную час. В качестве час приближается к нулю, наклон секущей линии приближается к наклону касательной. Следовательно, истинное производная от ж в Икс является пределом значения коэффициента разности, когда секущие линии становятся все ближе и ближе к касательной:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Так как сразу замена 0 для час приводит к ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ неопределенная форма , вычисление производной напрямую может быть неинтуитивным.

Точно так же наклон можно оценить, используя положения (Икс − час) и Икс.

Другая двухточечная формула - вычислить наклон ближайшей секущей линии, проходящей через точки (Икс - час, ж(Икс − час)) и (Икс + час, ж(Икс + час)). Наклон этой линии равен

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.}$

Эта формула известна как симметричный коэффициент разности. В этом случае ошибки первого порядка аннулируются, поэтому наклон этих секущих линий отличается от наклона касательной на величину, примерно пропорциональную ${\displaystyle h^{2}}$. Следовательно, при малых значениях час это более точное приближение к касательной, чем односторонняя оценка. Однако, хотя наклон рассчитывается при Икс, значение функции при Икс не участвует.

Ошибка оценки определяется выражением

${\displaystyle R={\frac {-f^{(3)}(c)}{6}}h^{2}}$,

куда ${\displaystyle c}$ это какая-то точка между ${\displaystyle x-h}$ и ${\displaystyle x+h}$.Эта ошибка не включает ошибка округления из-за представленных чисел и выполнения расчетов с ограниченной точностью.

Симметричный коэффициент разности используется в качестве метода аппроксимации производной в ряде калькуляторов, включая ТИ-82, ТИ-83, ТИ-84, ТИ-85, все из которых используют этот метод с час = 0.001.^[2][3]

Размер шага

Смотрите также: Адаптивный размер шага

Пример, показывающий сложность выбора ${\displaystyle h}$ из-за ошибки округления и ошибки формулы

Важное соображение на практике, когда функция вычисляется с использованием арифметика с плавающей запятой выбор размера шага, час. Если выбрано слишком маленькое, вычитание даст большой ошибка округления. Фактически, все конечно-разностные формулы плохо воспитанный^[4] и из-за отмены даст нулевое значение, если час достаточно мала.^[5] Если значение слишком велико, расчет наклона секущей линии будет более точным, но оценка наклона касательной с использованием секущей может быть хуже.

Для основных центральных разностей оптимальным шагом является кубический корень из машина эпсилон.^[6]Для формулы численной производной, рассчитанной при Икс и Икс + час, выбор для час то, что мало без большой ошибки округления, ${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}x}$ (но не когда Икс = 0), где машина эпсилон ε обычно порядка 2,2×10⁻¹⁶ за двойная точность.^[7] Формула для час который уравновешивает ошибку округления с ошибкой секущей для оптимальной точности^[8]

${\displaystyle h=2{\sqrt {\varepsilon \left|{\frac {f(x)}{f''(x)}}\right|}}}$

(но не когда ${\displaystyle f''(x)=0}$), и для его использования потребуется знание функции.

За одинарная точность проблемы усугубляются тем, что, хотя Икс может быть представимое число с плавающей запятой, Икс + час почти наверняка не будет. Это означает, что Икс + час будет изменено (округлением или усечением) на ближайшее машинно-представимое число, в результате чего (Икс + час) − Икс буду нет равный час; две оценки функции не будут точно час Кроме. В этом отношении, поскольку большинство десятичных дробей представляют собой повторяющиеся последовательности в двоичном формате (точно так же, как 1/3 в десятичном), казалось бы, круглый шаг, такой как час = 0,1 не будет круглым числом в двоичной системе; это 0,000110011001100 ...₂ Возможный подход следующий:

 ч: = sqrt (eps) * x; xph: = x + h; dx: = xph - x; наклон: = (F (xph) - F (x)) / dx;

Однако с компьютерами оптимизация компилятора средства могут не уделять внимания деталям реальной компьютерной арифметики и вместо этого применять аксиомы математики для вывода, что dx и час одинаковые. С C и подобных языках, директива, которая xph это летучая переменная предотвратит это.

Другие методы

Методы высшего порядка

Дальнейшая информация: Коэффициент конечной разности

Существуют методы высшего порядка для приближения производной, а также методы для высших производных.

Ниже приведен метод пяти точек для первой производной (пятиточечный трафарет в одном измерении):^[9]

${\displaystyle f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c),}$

куда ${\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}$.

Для других конфигураций трафаретов и производных заказов Калькулятор конечно-разностных коэффициентов - это инструмент, который можно использовать для создания методов приближения производных для любого шаблона с любым порядком производных (при условии, что решение существует).

Высшие производные

Используя коэффициент разности Ньютона,

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

может быть показано следующее^[10] (за п> 0):

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+n}{\binom {n}{k}}f(x+kh).}$

Методы комплексных переменных

Классические конечно-разностные приближения для численного дифференцирования плохо обусловлены. Однако если ${\displaystyle f}$ это голоморфная функция, с действительными значениями на действительной прямой, которые могут быть вычислены в точках комплексной плоскости вблизи ${\displaystyle x}$, то есть стабильный методы. Например,^[5] первая производная может быть вычислена по формуле комплексной производной:^[11][12][13]

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\Im (f(x+\mathrm {i} h))/h+O(h^{2}),\quad \mathrm {i} :={\sqrt {-1}}.}$

Эта формула может быть получена Серия Тейлор расширение:

${\displaystyle f(x+\mathrm {i} h)=f(x)+\mathrm {i} hf^{\prime }(x)-h^{2}f''(x)/2!-\mathrm {i} h^{3}f^{(3)}(x)/3!+\cdots .}$

Формула комплексной производной действительна только для вычисления производных первого порядка. Обобщение вышеизложенного для вычисления производных любого порядка использует многокомплексные числа, приводя к многокомплексным производным.^[14]

Как правило, производные любого порядка могут быть рассчитаны с использованием Интегральная формула Коши^[15]:

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z,}$

где выполняется интеграция численно.

Использование комплексных переменных для численного дифференцирования было начато Лайнессом и Молером в 1967 году.^[16] Метод, основанный на численном обращении комплекса Преобразование Лапласа был разработан Abate и Dubner.^[17] Форнберг разработал алгоритм, который можно использовать, не требуя знаний о методе или характере функции.^[4]

Дифференциальная квадратура

Дифференциальная квадратура - это приближение производных с использованием взвешенных сумм значений функций.^[18][19] Название аналогично квадратура, смысл численное интегрирование, где взвешенные суммы используются в таких методах, как Метод Симпсона или Трапецеидальная линейка. Существуют различные методы определения весовых коэффициентов. Дифференциальная квадратура используется для решения уравнения в частных производных.

Смотрите также

• Автоматическая дифференциация
• Пятиточечный трафарет
• Численное интегрирование
• Численные обыкновенные дифференциальные уравнения
• Численное сглаживание и дифференцирование
• Список программного обеспечения для численного анализа

Рекомендации

1. Ричард Л. Берден, Дж. Дуглас Фейрес (2000), Числовой анализ, (7-е изд.), Брукс / Коул. ISBN  0-534-38216-9.
2. Кэтрин Клипперт Мерсет (2003). Окна в обучении математике: кейсы для средних и средних классов. Педагогический колледж Press. п.34. ISBN  978-0-8077-4279-2.
3. Тамара Лефкур Руби; Джеймс Селлерс; Лиза Корф; Джереми Ван Хорн; Майк Манн (2014). Каплан А.П. Расчет AB и BC 2015. Kaplan Publishing. п. 299. ISBN  978-1-61865-686-5.
4. Численное дифференцирование аналитических функций, Б. Форнберг - транзакции ACM в математическом программном обеспечении (TOMS), 1981.
5. Использование комплексных переменных для оценки производных вещественных функций, У. Сквайр, Г. Трапп - ОБЗОР SIAM, 1998.
6. Зауэр, Тимоти (2012). Числовой анализ. Пирсон. стр.248.
7. Следующий Числовые рецепты в C, Глава 5.7.
8. п. 263.
9. Abramowitz & Stegun, Таблица 25.2.
10. Шилов, Георгий. Элементарный действительный и комплексный анализ.
11. Мартинс, Дж. Р. Р. А .; Sturdza, P .; Алонсо, Дж. Дж. (2003). «Комплексно-ступенчатое приближение производной». Транзакции ACM на математическом ПО. 29 (3): 245–262. CiteSeerX  10.1.1.141.8002. Дои:10.1145/838250.838251.
12. Дифференциация без разницы к Николас Хайэм
13. статья из MathWorks блог, опубликованный Клив Молер
14. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-09. Получено 2012-11-24.
15. Абловиц, М. Дж., Фокас, А. С. (2003). Комплексные переменные: введение и приложения. Издательство Кембриджского университета. Проверить теорему 2.6.2
16. Lyness, J. N .; Молер, К. Б. (1967). «Численное дифференцирование аналитических функций». SIAM J. Numer. Анальный. 4: 202–210. Дои:10.1137/0704019.
17. Абате, Дж; Дубнер, H (март 1968 г.). «Новый метод генерации разложения функций в степенной ряд». SIAM J. Numer. Анальный. 5 (1): 102–112. Дои:10.1137/0705008.
18. Дифференциальная квадратура и ее применение в технике: инженерные приложения, Чанг Шу, Springer, 2000, ISBN  978-1-85233-209-9.
19. Усовершенствованные методы дифференциальной квадратуры, Инъян Чжан, CRC Press, 2009, ISBN  978-1-4200-8248-7.

внешняя ссылка

• http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html
• Ресурсы по числовой дифференциации: заметки из учебников, PPT, рабочие листы, аудиовизуальные лекции на YouTube в Численные методы для студентов STEM
• ftp://math.nist.gov/pub/repository/diff/src/DIFF Код на Фортране для численного дифференцирования функции с использованием процесса Невилла для экстраполяции из последовательности простых полиномиальных приближений.
• Подпрограммы численного дифференцирования библиотеки NAG
• http://graphulator.com Онлайн-калькулятор для построения числовых графиков с функцией исчисления.
• Способствовать росту. Математическое численное дифференцирование, включая конечное дифференцирование и комплексную ступенчатую производную
• Комплексная ступенчатая дифференциация
• Дифференциация без разницы к Николас Хайэм, СИАМ Новости.
• проект findiff Python