Пятиточечный трафарет - Five-point stencil

Изображение пятиточечного трафарета в одном и двух измерениях (сверху и снизу соответственно).

В численный анализ, учитывая квадратная сетка в одном или двух измерениях пятиточечный трафарет точки в сетке есть трафарет состоит из самой точки вместе с ее четырьмя «соседями». Он используется для записи конечная разница приближения к производные в точках сетки. Это пример для численное дифференцирование.

В одном измерении

В одном измерении, если расстояние между точками в сетке равно час, то пятиточечный шаблон точки Икс в сетке

${displaystyle {x-2h,x-h,x,x+h,x+2h}.}$

1D первая производная

Первая производная от функция ƒ из настоящий переменная в точке Икс можно аппроксимировать с помощью пятиточечного трафарета как:^[1]

${displaystyle f'(x)approx {frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}}$

Обратите внимание, что центральная точка ƒ (Икс) сам по себе не задействован, только четыре соседние точки.

Вывод

Эту формулу можно получить, выписав четыре Серия Тейлор из ƒ (Икс ± час) и ƒ (Икс ± 2час) до условий час ³ (или до сроков час ⁵ чтобы получить оценку ошибки) и, решив эту систему из четырех уравнений, получим ƒ ^′(Икс). Фактически, у нас есть в точках Икс + час и Икс − час:

${displaystyle f(xpm h)=f(x)pm hf'(x)+{frac {h^{2}}{2}}f''(x)pm {frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1pm }(h^{4}).qquad (E_{1pm }).}$

Оценка ${displaystyle (E_{1+})-(E_{1-})}$ дает нам

${displaystyle f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).qquad (E_{1}).}$

Отметим, что остаточный член O₁(час ⁴) должен быть порядка час ⁵ вместо того час ⁴ потому что если условия час ⁴ было выписано в (E ₁₊) и (E ₁₋), видно, что они компенсировали бы друг друга на ƒ (Икс + час) - ƒ (Икс − час). Но для этого вычисления это остается таким, поскольку порядок оценки ошибки здесь не рассматривается (см. Ниже).

Аналогично имеем

${displaystyle f(xpm 2h)=f(x)pm 2hf'(x)+{frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)pm {frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2pm }(h^{4}).qquad (E_{2pm })}$

и ${displaystyle (E_{2+})-(E_{2-})}$ дает нам

${displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{4}).qquad (E_{2}).}$

Чтобы исключить условия ƒ ⁽³⁾(Икс), вычислим 8 × (E₁) − (E₂)

${displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4}),}$

таким образом давая формулу, как указано выше. Примечание: коэффициенты при f в этой формуле (8, -8, -1,1) представляют собой конкретный пример более общего Фильтр Савицкого-Голея.

Оценка ошибки

Погрешность этого приближения составляет порядок час ⁴. Это видно из расширения

${displaystyle {frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})}$ ^[2]

которое можно получить, разложив левую часть в Серия Тейлор. В качестве альтернативы примените Экстраполяция Ричардсона к центральная разница приближение к ${displaystyle f'(x)}$ на сетках с шагом 2час и час.

1D производные высшего порядка

Формулы центрированной разности для пятиточечных трафаретов, аппроксимирующих вторую, третью и четвертую производные:

${displaystyle f''(x)approx {frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}}$

${displaystyle f^{(3)}(x)approx {frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}}$

${displaystyle f^{(4)}(x)approx {frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}}$

Погрешности этих приближений равны О(час ⁴), О(час ²) и О(час ²) соответственно.^[2]

Связь с интерполирующими полиномами Лагранжа

В качестве альтернативы получению конечных разностных весов из ряда Тейлора они могут быть получены путем дифференцирования Полиномы Лагранжа

${displaystyle ell _{j}(xi )=prod _{i=0,,ieq j}^{k}{frac {xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},}$

где точки интерполяции

${displaystyle x_{0}=x-2h,quad x_{1}=x-h,quad x_{2}=x,quad x_{3}=x+h,quad x_{4}=x+2h.}$

Тогда полином четвертой степени ${displaystyle p_{4}(x)}$ интерполирующий ƒ (Икс) в этих пяти точках

${displaystyle p_{4}(x)=sum limits _{j=0}^{4}f(x_{j})ell _{j}(x)}$

и его производная

${displaystyle p_{4}'(x)=sum limits _{j=0}^{4}f(x_{j})ell '_{j}(x).}$

Итак, конечно-разностная аппроксимация ƒ ^′(Икс) в средней точке Икс = Икс₂ является

${displaystyle f'(x_{2})=ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})}$

Вычисление производных пяти полиномов Лагранжа при Икс=Икс₂ дает те же веса, что и выше. Этот метод может быть более гибким, так как расширение до неоднородной сетки довольно просто.

В двух измерениях

В двух измерениях, если, например, размер квадратов в сетке равен час от час, пятиточечный шаблон точки (Икс, y) в сетке

${displaystyle {(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)},,}$

формируя узор, который также называют квинконс. Этот трафарет часто используется для аппроксимации Лапласиан функции двух переменных:

${displaystyle abla ^{2}f(x,y)approx {frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.}$

Ошибка этого приближения составляет О(час ²),^[3] что можно объяснить следующим образом:

Из трехточечных шаблонов для второй производной функции по x и y:

${displaystyle {egin{array}{l}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}={frac {fleft(x+Delta x,yight)+fleft(x-Delta x,yight)-2f(x,y)}{Delta x^{2}}}-2{frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}Delta x^{2}+cdots end{array}}}$

${displaystyle {egin{array}{l}{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}={frac {fleft(x,y+Delta yight)+fleft(x,y-Delta yight)-2f(x,y)}{Delta y^{2}}}-2{frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}Delta y^{2}+cdots end{array}}}$

Если мы предположим ${displaystyle Delta x=Delta y=h}$:

${displaystyle {egin{array}{ll}abla ^{2}f&={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}&={frac {fleft(x+h,yight)+fleft(x-h,yight)+fleft(x,y+hight)+fleft(x,y-hight)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+cdots &={frac {fleft(x+h,yight)+fleft(x-h,yight)+fleft(x,y+hight)+fleft(x,y-hight)-4f(x,y)}{h^{2}}}+Oleft(h^{2}ight)end{array}}}$

Смотрите также

• Прыжки по трафарету
• Конечно-разностные коэффициенты
• Итерационные петли трафарета

использованная литература

1. Зауэр, Тимоти (2012). Численный анализ. Пирсон. п. 250. ISBN  978-0-321-78367-7.
2. Абрамовиц и Стегун, Таблица 25.2
3. Абрамовиц и Стегун, 25.3.30

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Дувр. Девятая печать. Таблица 25.2.