Метод вязких вихревых доменов - Viscous vortex domains method

В вязкие вихревые домены (ВВД) метод это без сетки метод вычислительная гидродинамика для прямого численного решения 2D Уравнения Навье-Стокса в Координаты Лагранжа^[1][2]Он не реализует никаких модель турбулентности и без произвольных параметров. Основная идея этого метода - представить завихренность поле с дискретными областями (доменами), которые движутся с диффузной скоростью относительно жидкости и сохраняют свои обращение. Тот же подход был использован в методе скорости диффузии Огами и Акамацу,^[3] но ВВД использует другие дискретные формулы

Функции

Метод VVD касается вязкий несжимаемый жидкость. Вязкость и плотность жидкости считаются постоянными. Метод может быть расширен для моделирования течений теплопроводной жидкости (метод вязких вихревых тепловых доменов )

Основные особенности:

• Прямое решение уравнений Навье-Стокса (DNS )
• Расчет силы трения на поверхностях тела
• Правильное описание пограничные слои (даже бурный)
• Бесконечная область вычислений
• Удобное моделирование деформирующихся границ^[4]
• Исследование взаимодействия потока со структурой,^[5] даже в случае нулевой массы
• Расчетные численные критерии диффузии и устойчивости ^[6]

Основные уравнения

Схема метода ВВД

Метод ВВД основан на теореме^[1] циркуляция вязкой жидкости сохраняется на контурах, движущихся со скоростью

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {V} +\mathbf {V} _{d};~~~\mathbf {V} _{d}=-\nu {\dfrac {\nabla \mathbf {\Omega } }{|\mathbf {\Omega } |}};~~~\mathbf {\Omega } =[\nabla \times \mathbf {V} ]}$,

куда V скорость жидкости, V_d - скорость диффузии, ν - кинематическая вязкость Эта теорема показывает сходство с Теорема циркуляции Кельвина, но это работает для вязких течений.

На основании этой теоремы область течения с ненулевой циркуляцией представляется с числом областей (небольших областей с конечными объемами), которые движутся со скоростью ты и таким образом их тираж ${\displaystyle \gamma }$ остается постоянным. Фактические границы каждого домена не отслеживаются, но сохраняются координаты единственной точки отслеживания в каждом домене. Массив координат доменов и тиражей известен либо из граничные условия или из первоначальные условия. Такое движение приводит к развитию завихренности и удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса.

Дискретные формулы

Диффузионное взаимодействие вихря с вихрем

Диффузионное взаимодействие тело-вихрь

Скорость жидкости V в точке р можно рассчитать с помощью Закон биота-саварта

${\displaystyle \mathbf {V} (\mathbf {r} )={\dfrac {1}{2\pi }}\sum _{i}\gamma _{i}\cdot \left[\mathbf {e} _{z}\times {\dfrac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})^{2}+\delta ^{2}}}\right]}$

куда я индексирует домены в потоке, р_я - точка слежения за доменом и γ_я - его циркуляция. Δ - так называемый «радиус дискретности» - малая величина, сглаживающая вихрь и помогающая избавиться от сингулярности в точке слежения за доменом.^[6] Равно среднему расстоянию между доменами.

Расчет скорости диффузии сложнее^[1][4]

${\displaystyle \mathbf {V} _{d}(\mathbf {r} )=\nu \left({\dfrac {\mathbf {I} _{2}(\mathbf {r} )}{I_{1}(\mathbf {r} )}}+{\dfrac {\mathbf {I} _{3}(\mathbf {r} )}{2\pi \varepsilon ^{2}-I_{0}(\mathbf {r} )}}\right)}$

Первая фракция производит взаимодействие вихря с вихрем (я - индекс вихря).

${\displaystyle \mathbf {I} _{2}(\mathbf {r} )=\sum \limits _{i}{\dfrac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{\varepsilon \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}}\cdot \gamma _{i}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|/\varepsilon )}$

${\displaystyle I_{1}(\mathbf {r} )={\sum \limits _{i}\gamma _{i}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|/\varepsilon )}}$

Вторая дробь представляет собой отталкивание границы вихря. Это помогает рассчитать ∇Ω у поверхности тела и правильно описать пограничный слой.

${\displaystyle \mathbf {I} _{3}(\mathbf {r} )={\sum \limits _{k}d\mathbf {S} _{k}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon )}}$

${\displaystyle I_{0}(\mathbf {r} )={\varepsilon ^{2}\sum \limits _{k}{\dfrac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon +1}{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})^{2}}}\cdot ((\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})\cdot d\mathbf {S} _{k})\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon )}}$

Здесь k индексирует граничные сегменты, р_k - его центр, dS_k - это нормальный.

Рекомендации

1. Дынникова, Г.Я. (1 ноября 2004 г.). «Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса». Доклады Физики. 49 (11): 648–652. Bibcode:2004ДокФ..49..648Д. Дои:10.1134/1.1831530.
2. Дынникова, Г.Я. (16–21 мая 2010 г.). «Метод Viscous Vortex Domains (VVD) для моделирования нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости» (PDF). Труды IV Европейской конференции по вычислительной механике, Париж, Франция.
3. Огами, Йошифуми; Акамацу, Теруаки (31 декабря 1990 г.). «Моделирование вязкого течения с использованием модели дискретного вихря - метод диффузионных скоростей». Компьютеры и жидкости. 19 (3–4): 433–441. Дои:10.1016 / 0045-7930 (91) 90068-С.
4. Гувернюк, С.В .; Дынникова, Г.Я. (31 января 2007 г.). «Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых доменов». Динамика жидкостей. 42 (1): 1–11. Дои:10.1134 / S0015462807010012.
5. Андронов П.Р .; Григоренко, Д. А .; Гувернюк, С.В .; Дынникова, Г.Я. (1 октября 2007 г.). «Численное моделирование авторотации пластины в потоке вязкой жидкости». Динамика жидкостей. 42 (5): 719–731. Bibcode:2007FlDy ... 42..719A. Дои:10.1134 / S0015462807050055.
6. Дынников, Я. А .; Дынникова, Г.Я. (12 октября 2011 г.). «Численная устойчивость и числовая вязкость в некоторых бессеточных вихревых методах применительно к уравнениям Навье-Стокса и теплопроводности». Вычислительная математика и математическая физика. 51 (10): 1792–1804. Bibcode:2011CMMPh..51.1792D. Дои:10.1134 / S096554251110006X.

внешняя ссылка

• Канал YouTube с некоторыми вычислениями VVD