Теорема Кельвина о циркуляции - Kelvins circulation theorem - Wikipedia

В механика жидкости, Теорема циркуляции Кельвина (названный в честь Уильям Томсон, первый барон Кельвин кто опубликовал его в 1869 году) заявляет В баротропный идеальная жидкость с консервативными телесными силами обращение вокруг замкнутой кривой (которая включает в себя те же элементы жидкости) движение с жидкостью остается постоянным во времени.^[1][2] Формулируется математически:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это обращение по контуру материала ${\displaystyle C(t)}$. Проще говоря, эта теорема гласит, что если кто-то наблюдает за замкнутым контуром в один момент и прослеживает контур во времени (отслеживая движение всех его жидких элементов), циркуляция по двум точкам этого контура будет равной.

Эта теорема не верна в случаях с вязкими напряжениями, неконсервативными объемными силами (например, сила Кориолиса ) или небаротропные зависимости давления от плотности.

Математическое доказательство

Смотрите также: Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Тираж ${\displaystyle \Gamma }$ вокруг замкнутого контура материала ${\displaystyle C(t)}$ определяется:

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

куда ты - вектор скорости, а ds - элемент по замкнутому контуру.

Основное уравнение для невязкой жидкости с консервативной объемной силой имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

где D / Dт это конвективная производная, ρ плотность жидкости, п это давление и Φ потенциал для силы тела. Это уравнения Эйлера с объемной силой.

Условие баротропности подразумевает, что плотность является функцией только давления, т.е. ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$.

Взяв конвективную производную циркуляции, получаем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

Для первого члена мы подставляем из основного уравнения, а затем применяем Теорема Стокса, таким образом:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

Окончательное равенство возникает, поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$ вследствие баротропности. Мы также использовали тот факт, что ротор любого градиента обязательно равен 0 или ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$ для любой функции ${\displaystyle f}$.

Для второго члена отметим, что эволюция элемента материальной линии определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}.}$

Следовательно

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0.}$

Последнее равенство получается применением градиентная теорема.

Поскольку оба члена равны нулю, получаем результат

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.}$

Теорема Пуанкаре – Бьеркнеса о циркуляции

Аналогичный принцип, сохраняющий величину, может быть получен и для вращающейся системы отсчета, известный как теорема Пуанкаре – Бьеркнеса, названная в честь Анри Пуанкаре и Вильгельм Бьеркнес, выведший инвариант в 1893 г.^[3][4] и 1898 г.^[5][6] Теорема может быть применена к вращающейся системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью, задаваемой вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$, для модифицированного тиража

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

Здесь ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ - положение области жидкости. Из Теорема Стокса, это:

${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

Смотрите также

• Принцип Бернулли
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Теоремы Гельмгольца
• Термомагнитная конвекция

Примечания

1. Кац, Плоткин: Низкоскоростная аэродинамика
2. Кунду, П. и Коэн, И.: Механика жидкости, стр. 130. Academic Press 2002
3. Пуанкаре, Х. (1893). Теория турбийонов: подвеска Leçons Professées le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Готье-Виллар. Статья 158.
4. Трусделл, К. (2018). Кинематика завихренности. Courier Dover Publications.
5. Бьеркнес В., Рубенсон Р. и Линдстедт А. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Кунгл. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
6. Чандрасекхар, С. (2013). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Курьерская корпорация.