Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения - Lagrangian and Eulerian specification of the flow field

Эта статья о механике сплошной среды. Об использовании обобщенных координат в классической механике см. обобщенные координаты, Лагранжева механика и Гамильтонова механика

В классические теории поля, то Лагранжева спецификация поля течения это способ взглянуть на движение жидкости, когда наблюдатель следует за человеком жидкая посылка поскольку он движется в пространстве и времени.^[1][2] Построение графика положения отдельной посылки во времени дает линия пути посылки. Это можно представить себе, как будто вы сидите в лодке и плывете по реке.

В Эйлерова спецификация поля течения это способ рассмотрения движения жидкости, который фокусируется на определенных местах в пространстве, через которое жидкость течет с течением времени.^[1][2] Это можно визуализировать, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода проходит через определенное место.

Лагранжевые и эйлеровы спецификации поля течения иногда в общих чертах обозначают как Лагранжева и эйлерова система отсчета. Однако, как правило, и лагранжев, и эйлеров спецификация поля течения может быть применена к любому наблюдателю. точка зрения, и в любом система координат используется в выбранной системе отсчета.

Эти характеристики отражены в вычислительная гидродинамика, где в «эйлеровом» моделировании используется фиксированный сетка а «лагранжевые» (такие как моделирование без сетки ), которые могут перемещаться вслед за поле скорости.

Описание

в Эйлерова спецификация из поле, поле представлено как функция позиции Икс и время т. Например, скорость потока представлен функцией

${displaystyle mathbf {u} left(mathbf {x} ,tight).}$

С другой стороны, в Спецификация лагранжианаотдельные посылки жидкости отслеживаются во времени. Частицы жидкости помечены некоторым (не зависящим от времени) векторным полем Икс₀. (Часто, Икс₀ выбирается как положение центра масс посылки в некоторый начальный момент времени т₀. Он выбран таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы с течением времени. Следовательно, центр масс является хорошей параметризацией скорости потока. ты посылки.)^[1] В лагранжевом описании поток описывается функцией

${displaystyle mathbf {X} left(mathbf {x} _{0},tight),}$

давая положение частицы, помеченной Икс₀ вовремя т.

Эти две спецификации связаны следующим образом:^[2]

${displaystyle mathbf {u} left(mathbf {X} (mathbf {x} _{0},t),tight)={frac {partial mathbf {X} }{partial t}}left(mathbf {x} _{0},tight),}$

потому что обе стороны описывают скорость частицы, обозначенной Икс₀ вовремя т.

В выбранной системе координат Икс₀ и Икс называются Лагранжевые координаты и Эйлеровы координаты потока.

Существенная производная

Основная статья: Существенная производная

Лагранжевы и эйлеровы спецификации кинематика и динамика поля течения связаны материальная производная (также называемая производной Лагранжа, конвективной производной, существенной производной или производной частицы).^[1]

Предположим, у нас есть поле течения ты, и нам также дано общее поле с эйлеровой спецификацией F(Икс,т). Теперь можно спросить об общей скорости изменения F испытанный конкретным потоком посылки. Это можно вычислить как

${displaystyle {frac {mathrm {D} mathbf {F} }{mathrm {D} t}}={frac {partial mathbf {F} }{partial t}}+left(mathbf {u} cdot abla ight)mathbf {F} ,}$

где ∇ обозначает набла оператор относительно Икс, а оператор ты⋅∇ применяется к каждому компоненту F. Это говорит нам о том, что общая скорость изменения функции F когда частицы жидкости движутся через поле течения, описываемое его эйлеровой спецификацией ты равна сумме локальной скорости изменения и конвективной скорости изменения F. Это следствие Правило цепи поскольку мы дифференцируем функцию F(Икс(Икс₀,т),т) относительно т.

Законы сохранения для единицы массы имеют лагранжеву форму, которая вместе с сохранением массы дает сохранение Эйлера; напротив, когда частицы жидкости могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только законы сохранения Эйлера.^[3]

Смотрите также

• Форма сохранения
• Контурная адвекция
• Эквивалентная широта
• Обобщенное лагранжевое среднее
• Лагранжево слежение за частицами
• Полулагранжева схема
• Линии тока, полосы и траектории
• Траектория (механика жидкости)
• Стохастический эйлеров лагранжев метод

Примечания

1. Бэтчелор (1973), стр. 71–73.
2. Лэмб (1994) §3 – §7 и §13 – §16.
3. Фалькович (2011)

Рекомендации

• Бадин, G .; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения -. Springer. п. 218. Дои:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN  978-3-319-59694-5.
• Бэтчелор, Г. (1973), Введение в гидродинамику, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-09817-5
• Ландау, Лев; Лифшиц, Э. (1987), Механика жидкости, 2-е издание (Курс теоретической физики, том 6), Баттерворт-Хайнеманн, ISBN  978-0750627672
• Лэмб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-45868-9
• Фалькович, Григорий (2011), Механика жидкости (краткий курс для физиков), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-00575-4