Классическая теория поля - Classical field theory

А классическая теория поля это физическая теория предсказывает, как один или несколько физические поля взаимодействовать с материей через уравнения поля. Термин «классическая теория поля» обычно используется для описания тех физических теорий, которые описывают электромагнетизм и гравитация, два из фундаментальные силы природы. Теории, включающие квантовую механику, называются квантовые теории поля.

Физическое поле можно рассматривать как задание физическое количество в каждой точке Космос и время. Например, в прогнозе погоды скорость ветра в течение дня над страной описывается путем присвоения вектора каждой точке в пространстве. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра в области в данный момент времени составляет векторное поле. С течением дня направления, в которых указывают векторы, изменяются вместе с изменением направления ветра.

Первые теории поля, Ньютоновская гравитация и Уравнения Максвелла электромагнитных полей были разработаны в классической физике до появления теория относительности в 1905 г., и его пришлось пересмотреть, чтобы соответствовать этой теории. Следовательно, классические теории поля обычно классифицируются как нерелятивистский и релятивистский. Современные теории поля обычно выражаются с помощью математики тензорное исчисление. Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как части математических объектов, называемых пучки волокон.

В 1839 г. Джеймс МакКаллах представил уравнения поля для описания отражение и преломление в «Очерке динамической теории отражения и преломления кристаллов».^[1]

Нерелятивистские теории поля

Некоторые из простейших физических полей - векторные силовые поля. Исторически впервые всерьез к полям отнеслись Фарадея силовые линии при описании электрическое поле. В гравитационное поле был тогда аналогичным образом описан.

Ньютоновская гравитация

Первый теория поля гравитации было Теория тяготения Ньютона в котором взаимное взаимодействие двух массы подчиняется закон обратных квадратов. Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Любое массивное тело M имеет гравитационное поле г который описывает его влияние на другие массивные тела. Гравитационное поле M в какой-то момент р в пространстве находится путем определения силы F это M оказывает на небольшой тестовая масса м расположен на р, а затем разделив на м:^[2]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

При условии, что м намного меньше, чем M гарантирует, что наличие м оказывает незначительное влияние на поведение M.

Согласно с Закон всемирного тяготения Ньютона, F(р) дан кем-то^[2]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

где ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ это единичный вектор указывая вдоль линии от M к м, и г это Ньютон гравитационная постоянная. Следовательно, гравитационное поле M является^[2]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Экспериментальное наблюдение, что инертная масса и гравитационная масса равны беспрецедентный уровень точности приводит к идентификации напряженности гравитационного поля как идентичной ускорению частицы. Это отправная точка принцип эквивалентности, что приводит к общая теория относительности.

Для дискретного набора масс M_я, расположенные в точках, р_я, гравитационное поле в точке р из-за массы

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$

Если у нас есть непрерывное распределение массы ρ вместо этого сумма заменяется интегралом,

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$

Обратите внимание, что направление поля указывает от позиции р на позицию масс р_я; это обеспечивается знаком минус. Короче говоря, это означает, что привлекаются все массы.

В интегральной форме Закон Гаусса для гравитации является

${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$

в то время как в дифференциальной форме это

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$

Следовательно, гравитационное поле г можно записать в терминах градиент из гравитационный потенциал φ (р):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$

Это следствие действия силы тяжести F будучи консервативный.

Электромагнетизм

Электростатика

Основная статья: Электростатика

А заряженная пробная частица с зарядом q испытывает силу F исключительно на основании его заряда. Аналогичным образом можно описать электрическое поле E так что F = qE. Используя это и Закон Кулона электрическое поле от одной заряженной частицы равно

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$

Электрическое поле равно консервативный, и, следовательно, задается градиентом скалярного потенциала, V(р)

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$

Закон Гаусса для электричества в интегральном виде

${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {q_{e}}{\epsilon _{0}}}}$

в то время как в дифференциальной форме

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\epsilon _{0}}}\,.}$

Магнитостатика

Основная статья: Магнитостатика

Постоянный ток я течет по тропе ℓ будет оказывать на близлежащие заряженные частицы силу, количественно отличную от силы электрического поля, описанной выше. Сила со стороны я на ближайшей зарядке q со скоростью v является

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

где B(р) это магнитное поле, который определяется из я посредством Закон Био – Савара:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

Магнитное поле в общем случае не является консервативным и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать в виде векторный потенциал, А(р):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

Закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме есть

${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$

в то время как в дифференциальной форме это

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$

Физическая интерпретация состоит в том, что нет магнитные монополи.

Электродинамика

Основная статья: Электродинамика

В общем случае при наличии как плотности заряда ρ (р, т) и плотности тока J(р, т), будет как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются Уравнения Максвелла, набор дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают E и B к плотности электрического заряда (заряда на единицу объема) ρ и плотность тока (электрический ток на единицу площади) J.^[3]

В качестве альтернативы можно описать систему в терминах ее скалярного и векторного потенциалов V и А. Система интегральных уравнений, известная как запаздывающие потенциалы позвольте вычислить V и А от ρ и J,^{[примечание 1]} а оттуда электрическое и магнитное поля определяются соотношениями^[4]

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Механика сплошной среды

Динамика жидкостей

Основная статья: Динамика жидкостей

Гидродинамика имеет поля давления, плотности и расхода, которые связаны законами сохранения энергии и количества движения. Уравнение неразрывности массы - это уравнение неразрывности, представляющее сохранение массы

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

и Уравнения Навье – Стокса представляют собой сохранение количества движения в жидкости, найденное из законов Ньютона, примененных к жидкости,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$

если плотность ρ, давление п, девиаторный тензор напряжений τ жидкости, а также внешние силы тела б, все даны. В поле скорости ты - векторное поле, которое нужно найти.

Возможная теория

Период, термин "теория потенциала "возникает из-за того, что в физике XIX века фундаментальные силы природы считались производными от скалярные потенциалы который удовлетворил Уравнение Лапласа. Пуассон обратился к вопросу об устойчивости планетарного орбиты, которое уже было решено Лагранжем в первой степени приближения из сил возмущения, и вывел Уравнение Пуассона, названный в его честь. Общий вид этого уравнения:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$

где σ - функция источника (как плотность, величина на единицу объема), а φ - скалярный потенциал, который необходимо найти.

В ньютоновской гравитации; массы являются источниками поля, так что силовые линии заканчиваются на объектах, имеющих массу. Точно так же заряды являются источниками и приемниками электростатических полей: положительные заряды испускают силовые линии электрического поля, а силовые линии заканчиваются отрицательными зарядами. Эти концепции поля также проиллюстрированы в общих теорема расходимости, в частности, закон Гаусса для гравитации и электричества. Для случаев не зависящей от времени гравитации и электромагнетизма поля представляют собой градиенты соответствующих потенциалов

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$

поэтому подставляя их в закон Гаусса для каждого случая, получаем

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi =-{\rho _{e} \over \epsilon _{0}}}$

где ρ_г это плотность вещества и ρ_е то плотность заряда.

Между прочим, это сходство проистекает из сходства между Закон всемирного тяготения Ньютона и Закон Кулона.

В случае отсутствия источника (например, вакуума или парных зарядов) эти потенциалы подчиняются Уравнение Лапласа:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$

Для распределения массы (или заряда) потенциал можно разложить в ряд сферические гармоники, а п-й член в ряду можно рассматривать как потенциал, возникающий из 2^п-моменты (см. мультипольное расширение ). Для многих целей в расчетах нужны только члены монополя, диполя и квадруполя.

Релятивистская теория поля

Основная статья: Ковариантная классическая теория поля

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют Ковариация Лоренца поскольку это теперь признано фундаментальным аспектом природы. Теория поля обычно выражается математически с помощью Лагранжианы. Это функция, которая при воздействии принцип действия, порождает уравнения поля и закон сохранения для теории. В действие является скаляром Лоренца, из которого легко выводятся уравнения поля и симметрии.

Повсюду мы используем такие единицы, что скорость света в вакууме равна 1, т.е. c = 1.^{[заметка 2]}

Лагранжева динамика

Основная статья: Лагранжиан (теория поля)

Учитывая тензор поля φ, скаляр, называемый Плотность лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$

может быть построен из φ и его производные.

Из этой плотности можно построить функционал действия путем интегрирования по пространству-времени,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$

куда ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ форма объема в искривленном пространстве-времени. ${\displaystyle (g\equiv {\text{det}}(g_{\mu \nu }))}$

Следовательно, сам лагранжиан равен интегралу плотности лагранжиана по всему пространству.

Затем, применяя принцип действия, уравнения Эйлера – Лагранжа получаются

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$

Релятивистские поля

Теперь описаны две из наиболее известных лоренц-ковариантных классических теорий поля.

Электромагнетизм

Основные статьи: Электромагнитное поле и Электромагнетизм

Исторически первыми (классическими) теориями поля были теории, описывающие электрическое и магнитное поля (по отдельности). После многочисленных экспериментов было обнаружено, что эти два поля связаны или, по сути, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитное поле. Максвелл теория электромагнетизм описывает взаимодействие заряженного вещества с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрический и магнитный поля. С появлением специальной теории относительности более полная формулировка с использованием тензор полей не найдено. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

В электромагнитный четырехпотенциальный определяется как А_а = (-φ, А), а электромагнитный четырехтоковый j_а = (-ρ, j). Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается антисимметричным (0,2) -рангом тензор электромагнитного поля

${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$

Лагранжиан

Чтобы получить динамику для этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$

Мы можем использовать теория калибровочного поля чтобы получить срок взаимодействия, и это дает нам

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$

Уравнения

Чтобы получить уравнения поля, необходимо заменить электромагнитный тензор в плотности лагранжиана на его определение в терминах 4-потенциала А, и именно этот потенциал входит в уравнения Эйлера-Лагранжа. ЭМ поле F не изменяется в уравнениях EL. Следовательно,

${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$

Вычисление производной плотности лагранжиана по компонентам поля

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$

и производные компонент поля

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$

получает Уравнения Максвелла в вакууме. Исходные уравнения (закон Гаусса для электричества и закон Максвелла-Ампера):

${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$

а два других (закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея) получены из того факта, что F это 4-завиток А, или, другими словами, из того, что Бьянки идентичность для тензора электромагнитного поля.^[5]

${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$

где запятая указывает на частная производная.

Гравитация

Основная статья: Гравитация

Дальнейшая информация: Общая теория относительности и Уравнение поля Эйнштейна

После того, как ньютоновское тяготение оказалось несовместимым с специальная теория относительности, Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общая теория относительности. Это лечит гравитация как геометрическое явление ('кривая пространство-время ') вызвано массами и представляет собой гравитационное поле математически тензорное поле называется метрический тензор. В Уравнения поля Эйнштейна опишите, как создается эта кривизна. Ньютоновская гравитация теперь заменяется теорией Эйнштейна общая теория относительности, в котором гравитация считается из-за изогнутого пространство-время, вызванные массами. Полевые уравнения Эйнштейна,

${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$

описывают, как эта кривизна создается веществом и излучением, где г_ab это Тензор Эйнштейна,

${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

написано с точки зрения Тензор Риччи р_ab и Скаляр Риччи р = р_abг^ab, Т_ab это тензор энергии-импульса и κ = 8πG / c⁴ является константой. В отсутствие вещества и излучения (включая источники) 'уравнения вакуумного поля,

${\displaystyle G_{ab}=0\,}$

можно получить, варьируя Действие Эйнштейна – Гильберта,

${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

относительно метрики, где г это детерминант из метрический тензор г^ab. Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумные решения. Альтернативная интерпретация из-за Артур Эддингтон, в том, что ${\displaystyle R}$ фундаментально, ${\displaystyle T}$ это всего лишь один аспект ${\displaystyle R}$, и ${\displaystyle \kappa }$ вынужден выбором единиц.

Попытки объединения

Основная статья: Классические теории единого поля

Попытки создать единую теорию поля на основе классическая физика являются классическими теориями единого поля. В годы между двумя мировыми войнами идея объединения сила тяжести с участием электромагнетизм активно занимались математиками и физиками, такими как Альберт Эйнштейн, Теодор Калуца,^[6] Герман Вейль,^[7] Артур Эддингтон,^[8] Густав Мие^[9] и Эрнст Райхенбахер.^[10]

Ранние попытки создать такую ​​теорию основывались на включении электромагнитные поля в геометрию общая теория относительности. В 1918 году случай первой геометризации электромагнитного поля был предложен в 1918 году Германом Вейлем.^[11] В 1919 году идея пятимерного подхода была предложена Теодор Калуца.^[11] Отсюда теория под названием Теория Калуцы-Клейна был развит. Он пытается объединить гравитация и электромагнетизм, в пятимерном пространство-время.Существует несколько способов расширения представительной основы единой теории поля, которые рассматривались Эйнштейном и другими исследователями. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах.^[11] Первый вариант основан на ослаблении условий, наложенных на исходную формулировку, а второй основан на введении в теорию других математических объектов.^[11] Примером первого варианта является ослабление ограничений четырехмерного пространства-времени путем рассмотрения многомерных представлений.^[11] Это используется в Теория Калуцы-Клейна. Во-вторых, наиболее ярким примером является концепция аффинная связь это было введено в общая теория относительности в основном благодаря работе Туллио Леви-Чивита и Герман Вейль.^[11]

Дальнейшее развитие квантовая теория поля сместил фокус поиска единой теории поля с классического на квантовое описание. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поиска классической единой теории поля.^[11] Квантовая теория поля будет включать объединение двух других фундаментальные силы природы, то сильный и слабая ядерная сила которые действуют на субатомном уровне.^[12][13]

Смотрите также

• Релятивистские волновые уравнения
• Квантовая теория поля
• Классические теории единого поля
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Поле Хиггса (классическое)
• Лагранжиан (теория поля)
• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

Заметки

1. Это зависит от правильного выбора калибр. φ и А не определяются однозначно ρ и J; скорее, они определены только с точностью до некоторой скалярной функции ж(р, т) известный как калибр. Формализм запаздывающего потенциала требует выбора Датчик Лоренца.
2. Это эквивалентно выбору единиц измерения расстояния и времени в виде световых секунд и секунд или световых лет и лет. Выбор c = 1 позволяет упростить уравнения. Например, E = MC² сводится к E = м (поскольку c² = 1, без учета единиц). Это снижает сложность выражений, сохраняя при этом акцент на основных принципах. Эту "хитрость" необходимо учитывать при проведении реальных численных расчетов.

использованная литература

Цитаты

1. Джеймс МакКаллах (1839) Очерк динамической теории отражения и преломления кристаллов., Сделки, Королевская ирландская академия 21
2. Клеппнер, Дэвид; Коленков, Роберт. Введение в механику. п. 85.
3. Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику (3-е изд.). п. 326.
4. Вангснесс, Роальд. Электромагнитные поля (2-е изд.). п. 469.
5. http://mathworld.wolfram.com/BianchiIdentities.html
6. Калуца, Теодор (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Прейс. Акад. Wiss. Берлин. (Математика и физика): 966–972. Bibcode:1921SPAW ....... 966K.
7. Вейль, Х. (1918). "Gravitation und Elektrizität". Sitz. Прейс. Акад. Wiss.: 465.
8. Эддингтон, А. С. (1924). Математическая теория относительности, 2-е изд.. Cambridge Univ. Нажмите.
9. Ми, Г. (1912). "Grundlagen einer Theorie der Materie". Анна. Phys. 37 (3): 511–534. Bibcode:1912АнП ... 342..511М. Дои:10.1002 / andp.19123420306.
10. Райхенбехер, Э. (1917). "Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation". Анна. Phys. 52 (2): 134–173. Bibcode:1917AnP ... 357..134R. Дои:10.1002 / andp.19173570203.
11. Зауэр, Тильман (Май 2014 г.), «Единая программа теории поля Эйнштейна», Янссен, Мишель; Ленер, Кристоф (ред.), Кембриджский компаньон Эйнштейна, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9781139024525
12. Гадзираи Нямбуя, Golden (октябрь 2007 г.). "Единая теория поля - статья I, гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие" (PDF). Апейрон. 14 (4): 321. Получено 30 декабря 2017.
13. Де Бур, В. (1994). "Теории великого объединения и суперсимметрия в физике элементарных частиц и космологии" (PDF). Прогресс в физике элементарных частиц и ядерной физике. 33: 201–301. arXiv:hep-ph / 9402266. Bibcode:1994ПрПНП..33..201Д. Дои:10.1016/0146-6410(94)90045-0. S2CID  119353300. Получено 30 декабря 2017.

Источники

• Трусделл, К.; Тупен, Р.А. (1960). «Классические теории поля». В Флюгге, Зигфрид (ред.). Принципы классической механики и теории поля / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie. Handbuch der Physik (Энциклопедия физики). III / 1. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 226–793. Zbl  0118.39702..

внешние ссылки

• Тиде, Бо. «Теория электромагнитного поля» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 17 сентября 2003 г.. Получено 14 февраля, 2006.
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспект лекций по общей теории относительности». arXiv:gr-qc / 9712019. Bibcode:1997гр.кв .... 12019C.
• Бинни, Джеймс Дж. «Конспект лекций по классическим направлениям» (PDF). Получено 30 апреля, 2007.
• Сарданашвили, Г. (Ноябрь 2008 г.). «Продвинутая классическая теория поля». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 5 (7): 1163–1189. arXiv:0811.0331. Bibcode:2008IJGMM..05.1163S. Дои:10.1142 / S0219887808003247. ISBN  978-981-283-895-7. S2CID  13884729.