Запаздывающий потенциал - Retarded potential

В электродинамика, то запаздывающие потенциалы являются электромагнитные потенциалы для электромагнитное поле создано изменяющийся во времени электрический ток или же распределение зарядов в прошлом. Поля распространяются в скорость света c, поэтому задержка подключения полей причина и следствие в более ранние и более поздние моменты времени является важным фактором: сигналу требуется конечное время для распространения от точки в распределении заряда или тока (точка причины) в другую точку в пространстве (где измеряется эффект), см. рисунок ниже.^[1]

В шкале Лоренца

Основные статьи: Уравнения Максвелла и Математические описания электромагнитного поля

Векторы положения р и р' используется в расчете.

Отправной точкой является Уравнения Максвелла в потенциальной формулировке с использованием Датчик Лоренца:

${displaystyle Box varphi ={dfrac {ho }{epsilon _{0}}},,quad Box mathbf {A} =mu _{0}mathbf {J} }$

где φ (р, т) это электрический потенциал и А(р, т) это магнитный векторный потенциал, для произвольного источника плотность заряда ρ (р, т) и плотность тока J(р, т), и ${displaystyle Box }$ это Оператор Даламбера.^[2] Их решение дает запаздывающие потенциалы ниже (все в Единицы СИ ).

Для полей, зависящих от времени

Для полей, зависящих от времени, запаздывающие потенциалы равны:^[3][4]

${displaystyle mathrm {varphi } (mathbf {r} ,t)={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}int {frac {ho (mathbf {r} ',t_{r})}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,t)={frac {mu _{0}}{4pi }}int {frac {mathbf {J} (mathbf {r} ',t_{r})}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} ',.}$

куда р это точка в космосе, т время,

${displaystyle t_{r}=t-{frac {|mathbf {r} -mathbf {r} '|}{c}}}$

это замедленное время, и d³р' это мера интеграции с помощью р'.

Из φ (р, t) и А(р, т), поля E(р, т) и B(р, т) можно рассчитать, используя определения потенциалов:

${displaystyle -mathbf {E} =abla varphi +{frac {partial mathbf {A} }{partial t}},,quad mathbf {B} =abla imes mathbf {A} ,.}$

и это приводит к Уравнения Ефименко. Соответствующие продвинутые потенциалы имеют идентичную форму, за исключением продвинутого времени.

${displaystyle t_{a}=t+{frac {|mathbf {r} -mathbf {r} '|}{c}}}$

заменяет запаздывающее время.

По сравнению со статическими потенциалами для не зависящих от времени полей

В случае, если поля не зависят от времени (электростатический и магнитостатический поля), производные по времени в ${displaystyle Box }$ операторы полей равны нулю, а уравнения Максвелла сводятся к

${displaystyle abla ^{2}varphi =-{dfrac {ho }{epsilon _{0}}},,quad abla ^{2}mathbf {A} =-mu _{0}mathbf {J} ,,}$

где ∇² это Лапласиан, которые имеют вид Уравнение Пуассона в четырех компонентах (один для φ и три для А), и решениями являются:

${displaystyle mathrm {varphi } (mathbf {r} )={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}int {frac {ho (mathbf {r} ')}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} )={frac {mu _{0}}{4pi }}int {frac {mathbf {J} (mathbf {r} ')}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},mathrm {d} ^{3}mathbf {r} ',.}$

Это также прямо вытекает из запаздывающих потенциалов.

В кулоновской калибровке

в Кулоновский калибр, Уравнения Максвелла имеют вид^[5]

${displaystyle abla ^{2}varphi =-{dfrac {ho }{epsilon _{0}}}}$

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} -{dfrac {1}{c^{2}}}{dfrac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}=-mu _{0}mathbf {J} +{dfrac {1}{c^{2}}}abla left({dfrac {partial varphi }{partial t}}ight),,}$

хотя решения контрастируют с приведенными выше, поскольку А - запаздывающий потенциал, но φ меняет немедленно, предоставленный:

${displaystyle varphi (mathbf {r} ,t)={dfrac {1}{4pi epsilon _{0}}}int {dfrac {ho (mathbf {r} ',t)}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,t)={dfrac {1}{4pi varepsilon _{0}}}abla imes int mathrm {d} ^{3}mathbf {r'} int _{0}^{|mathbf {r} -mathbf {r} '|/c}mathrm {d} t_{r}{dfrac {t_{r}mathbf {J} (mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|^{3}}} imes (mathbf {r} -mathbf {r} '),.}$

В этом заключается преимущество и недостаток кулоновской калибровки - φ легко вычисляется из распределения заряда ρ, но А не так легко вычислить из текущего распределения j. Однако если мы потребуем, чтобы потенциалы обращались в нуль на бесконечности, их можно аккуратно выразить через поля:

${displaystyle varphi (mathbf {r} ,t)={dfrac {1}{4pi }}int {dfrac {abla cdot mathbf {E} ({r}',t)}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}$

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,t)={dfrac {1}{4pi }}int {dfrac {abla imes mathbf {B} ({r}',t)}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}$

В линеаризованной гравитации

Запаздывающий потенциал в линеаризованная общая теория относительности очень похож на электромагнитный случай. Обращенный к следу тензор ${displaystyle { ilde {h}}_{mu u }=h_{mu u }-{frac {1}{2}}eta _{mu u }h}$ играет роль четырехвекторного потенциала, гармоническая калибровка ${displaystyle { ilde {h}}^{mu u }{}_{,mu }=0}$ заменяет электромагнитную калибровку Лоренца, уравнения поля ${displaystyle Box { ilde {h}}_{mu u }=-16pi GT_{mu u }}$, а решение для запаздывающих волн имеет вид

${displaystyle { ilde {h}}_{mu u }(mathbf {r} ,t)=4Gint {frac {T_{mu u }(mathbf {r} ',t_{r})}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}$.^[6]

Возникновение и применение

Теория многих тел, которая включает в себя среднее число отсталых и передовой Потенциалы Льенара – Вихерта это Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана также известна как теория временной симметрии Уиллера – Фейнмана.

Пример

Потенциал заряда с равномерной скоростью по прямой имеет инверсия в точке это в недавнем положении. Потенциал не меняется в сторону движения.^[7]

Смотрите также

• Уравнения Максвелла
• Потенциал Льенара – Вихерта
• Закон Ленца

Рекомендации

1. Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), СиБи Паркер, 1994, ISBN  0-07-051400-3
2. Гарг, А., Классический электромагнетизм в двух словах, 2012, с. 129
3. Электромагнетизм (2-е издание), И.С. Грант, У. Р. Филлипс, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  978-0-471-92712-9
4. Введение в электродинамику (3-е издание), Д.Дж. Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN  81-7758-293-3
5. Введение в электродинамику (3-е издание), Д.Дж. Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN  81-7758-293-3
6. Шон М. Кэрролл, "Конспект по общей теории относительности" (arXiv: gr-qc / 9712019 ), уравнения 6.20, 6.21, 6.22, 6.74
7. http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_26.html - Фейнман, Лекция 26, Преобразования Лоренца полей