Математические описания электромагнитного поля - Mathematical descriptions of the electromagnetic field

Для постановки в общая теория относительности, видеть Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени. Для явно ковариантный формулировка в специальная теория относительности, видеть Классический электромагнетизм и специальная теория относительности и Ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

Есть разные математические описания электромагнитного поля которые используются при изучении электромагнетизм, один из четырех фундаментальные взаимодействия природы. В этой статье обсуждается несколько подходов, хотя уравнения выражаются в терминах электрических и магнитных полей, потенциалов и зарядов с токами, вообще говоря.

Метод векторного поля

Основная статья: Классический электромагнетизм

Наиболее распространенное описание электромагнитного поля использует два трехмерных векторные поля называется электрическое поле и магнитное поле. Каждое из этих векторных полей имеет значение, определенное в каждой точке пространства и времени, и поэтому часто рассматриваются как функции пространственных и временных координат. Таким образом, они часто записываются как E(Икс, у, z, т) (электрическое поле) и B(Икс, у, z, т) (магнитное поле).

Если бы только электрическое поле (E) отличен от нуля и постоянен во времени, поле называется электростатическое поле. Аналогично, если бы только магнитное поле (B) отличен от нуля и постоянен во времени, поле называется магнитостатическое поле. Однако, если электрическое или магнитное поле зависит от времени, то оба поля следует рассматривать вместе как связанное электромагнитное поле, используя Уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла в приближении векторного поля

Основная статья: Уравнения Максвелла

Поведение электрических и магнитных полей, будь то электростатика, магнитостатика или электродинамика (электромагнитные поля), регулируется Уравнения Максвелла:

Уравнения Максвелла (векторные поля )
${displaystyle abla cdot mathbf {E} ={frac {ho }{varepsilon _{0}}}}$	Закон Гаусса
${displaystyle abla cdot mathbf {B} =0}$	Закон Гаусса для магнетизма
${displaystyle abla imes mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}$	Закон Фарадея
${displaystyle abla imes mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}}$	Закон Ампера – Максвелла

куда ρ - плотность заряда, которая может (и часто зависит) от времени и положения, ε₀ это электрическая постоянная, μ₀ это магнитная постоянная, и J ток на единицу площади, а также функция времени и положения. Уравнения принимают этот вид с Международная система количеств.

Имея дело только с недисперсными изотропными линейными материалами, уравнения Максвелла часто модифицируются, чтобы игнорировать связанные заряды, заменяя проницаемость и диэлектрическую проницаемость свободное место с проницаемостью и диэлектрической проницаемостью рассматриваемого линейного материала. Для некоторых материалов, которые имеют более сложную реакцию на электромагнитные поля, эти свойства могут быть представлены тензорами с временной зависимостью, связанной со способностью материала реагировать на быстрые изменения поля (дисперсия (оптика), Отношения Грина – Кубо ), а также, возможно, полевые зависимости, представляющие нелинейные и / или нелокальные реакции материала на поля большой амплитуды (нелинейная оптика ).

Подход с потенциальным полем

Часто при использовании и вычислении электрических и магнитных полей подход, используемый вначале, вычисляет связанный потенциал: электрический потенциал, ${displaystyle varphi }$, для электрического поля и магнитный векторный потенциал, А, для магнитного поля. Электрический потенциал - это скалярное поле, а магнитный потенциал - векторное поле. Вот почему иногда электрический потенциал называют скалярным потенциалом, а магнитный потенциал - векторным. Эти потенциалы можно использовать для нахождения связанных с ними полей следующим образом:

${displaystyle mathbf {E} =-mathbf {abla } varphi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}}$

${displaystyle mathbf {B} =mathbf {abla } imes mathbf {A} }$

Уравнения Максвелла в потенциальной формулировке

Эти соотношения можно подставить в уравнения Максвелла, чтобы выразить последнее через потенциалы. Закон Фарадея и Закон Гаусса для магнетизма сводятся к тождествам (например, в случае закона Гаусса для магнетизма, 0 = 0). Два других уравнения Максвелла оказываются менее простыми.

Уравнения Максвелла (потенциальная формулировка)

${displaystyle abla ^{2}varphi +{frac {partial }{partial t}}left(mathbf {abla } cdot mathbf {A} ight)=-{frac {ho }{varepsilon _{0}}}}$

${displaystyle left(abla ^{2}mathbf {A} -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}ight)-mathbf {abla } left(mathbf {abla } cdot mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}ight)=-mu _{0}mathbf {J} }$

Эти уравнения, вместе взятые, столь же эффективны и полны, как и уравнения Максвелла. Более того, проблема была несколько уменьшена, поскольку электрическое и магнитное поля вместе имели шесть компонентов, которые нужно было решить.^[1] В формулировке потенциала есть только четыре компонента: электрический потенциал и три компонента векторного потенциала. Однако эти уравнения более запутаны, чем уравнения Максвелла, использующие электрические и магнитные поля.

Калибровка свободы

Эти уравнения можно упростить, воспользовавшись тем фактом, что электрическое и магнитное поля являются физически значимыми величинами, которые можно измерить; потенциалов нет. Существует свобода ограничивать форму потенциалов при условии, что это не влияет на результирующие электрические и магнитные поля, называемые свобода измерения. Специально для этих уравнений, для любого выбора дважды дифференцируемой скалярной функции положения и времени λ, если (φ, А) является решением для данной системы, то также и другой потенциал (φ′, А′) предоставлено:

${displaystyle varphi '=varphi -{frac {partial lambda }{partial t}}}$

${displaystyle mathbf {A} '=mathbf {A} +mathbf {abla } lambda }$

Эту свободу можно использовать для упрощения потенциальной формулировки. Обычно выбирается одна из двух таких скалярных функций: калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Кулоновский калибр

В Кулоновский калибр выбирается таким образом, что ${displaystyle mathbf {abla } cdot mathbf {A} '=0}$, что соответствует случаю магнитостатики. С точки зрения λ, это означает, что он должен удовлетворять уравнению

${displaystyle abla ^{2}lambda =-mathbf {abla } cdot mathbf {A} }$.

Такой выбор функции приводит к следующей формулировке уравнений Максвелла:

${displaystyle abla ^{2}varphi '=-{frac {ho }{varepsilon _{0}}}}$

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} '-mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}!mathbf {A} '}{partial t^{2}}}=-mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}varepsilon _{0}abla !!left(!{frac {partial varphi '}{partial t}}!ight)}$

Некоторые особенности уравнений Максвелла в кулоновской калибровке заключаются в следующем. Во-первых, найти электрический потенциал очень просто, так как уравнение является версией Уравнение Пуассона. Во-вторых, особенно сложно найти вектор магнитного потенциала. Это большой недостаток этого датчика. Третье, на что следует обратить внимание, и что не сразу очевидно, это то, что электрический потенциал изменяется мгновенно повсюду в ответ на изменение условий в одной местности.

Например, если заряд перемещается в Нью-Йорке в 13:00 по местному времени, то гипотетический наблюдатель в Австралии, который мог бы непосредственно измерить электрический потенциал, измерил бы изменение потенциала в 13:00 по нью-йоркскому времени. Это, по-видимому, нарушает причинно-следственную связь в специальная теория относительности, то есть невозможность передачи информации, сигналов или чего-либо быстрее скорости света. Решение этой очевидной проблемы заключается в том, что, как было сказано ранее, никакие наблюдатели не могут измерить потенциалы; они измеряют электрическое и магнитное поля. Итак, сочетание ∇φ и ∂А/∂т Используемое при определении электрического поля восстанавливает ограничение скорости, установленное специальной теорией относительности для электрического поля, делая все наблюдаемые величины совместимыми с теорией относительности.

Условие калибровки Лоренца

Часто используется калибр Условие калибровки Лоренца. При этом скалярная функция λ выбирается так, что

${displaystyle mathbf {abla } cdot mathbf {A} '=-mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial varphi '}{partial t}},}$

означающий, что λ должен удовлетворять уравнению

${displaystyle abla ^{2}lambda -mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}lambda }{partial t^{2}}}=-mathbf {abla } cdot mathbf {A} -mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial varphi }{partial t}}.}$

Калибровка Лоренца приводит к следующей форме уравнений Максвелла:

${displaystyle abla ^{2}varphi '-mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}varphi '}{partial t^{2}}}=-Box ^{2}varphi '=-{frac {ho }{varepsilon _{0}}}}$

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} '-mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {A} '}{partial t^{2}}}=-Box ^{2}mathbf {A} '=-mu _{0}mathbf {J} }$

Оператор ${displaystyle Box ^{2}}$ называется д'Аламбертиан (некоторые авторы обозначают это только квадратом ${displaystyle Box }$). Эти уравнения являются неоднородными версиями волновое уравнение, причем члены в правой части уравнения служат функциями источника волны. Как и любое волновое уравнение, эти уравнения приводят к двум типам решений: опережающим потенциалам (которые связаны с конфигурацией источников в будущие моменты времени) и запаздывающим потенциалам (которые связаны с прошлыми конфигурациями источников); первые обычно не принимаются во внимание там, где поле анализируется с точки зрения причинно-следственной связи.

Как указывалось выше, калибровка Лоренца не более верна, чем любая другая калибровка, поскольку потенциалы не могут быть измерены. Несмотря на это, существуют определенные квантово-механические явления, в которых потенциалы влияют на частицы в областях, где наблюдаемое поле исчезает во всей области, например, как в Эффект Ааронова – Бома. Однако эти явления не позволяют ни напрямую измерить потенциалы, ни обнаружить разницу между разными, но взаимно калибровочный эквивалент потенциалы. Калибровка Лоренца имеет еще одно преимущество: уравнения Инвариант Лоренца.

Расширение квантовой электродинамики

Каноническое квантование электромагнитных полей происходит за счет повышения скалярного и векторного потенциалов; φ(Икс), А(Икс), от полей к полевые операторы. Подстановка 1/c² = ε₀μ₀ в предыдущие калибровочные уравнения Лоренца дает:

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}=-mu _{0}mathbf {J} }$

${displaystyle abla ^{2}varphi -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}=-{frac {ho }{varepsilon _{0}}}}$

Здесь, J и ρ - ток и плотность заряда иметь значение поле. Если поле материи взять так, чтобы описать взаимодействие электромагнитных полей с Электрон Дирака заданный четырехкомпонентным Спинор Дирака поле ψ, плотности тока и заряда имеют вид:^[2]

${displaystyle mathbf {J} =-epsi ^{dagger }{oldsymbol {alpha }}psi ,quad ho =-epsi ^{dagger }psi ,,}$

куда α первые три Матрицы Дирака. Используя это, мы можем переписать уравнения Максвелла как:

Уравнения Максвелла (QED )

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {A} }{partial t^{2}}}=mu _{0}epsi ^{dagger }{oldsymbol {alpha }}psi }$

${displaystyle abla ^{2}varphi -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}={frac {1}{varepsilon _{0}}}epsi ^{dagger }psi }$

какая форма используется в квантовая электродинамика.

Формулировки геометрической алгебры

Аналогично тензорной формулировке вводятся два объекта, один для поля и один для тока. В геометрическая алгебра (GA) это многовекторы. Мультивектор поля, известный как Вектор Римана – Зильберштейна, является

${displaystyle mathbf {F} =mathbf {E} +Icmathbf {B} =E^{k}sigma _{k}+IcB^{k}sigma _{k}}$

и текущий мультивектор

${displaystyle cho -mathbf {J} =cho -J^{k}sigma _{k}}$

где, в алгебра физического пространства (APS) ${displaystyle Cell _{3,0}(mathbb {R} )}$ с векторным базисом ${displaystyle {sigma _{k}}}$. Единица псевдоскалярный является ${displaystyle I=sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}}$ (при условии ортонормированный базис ). Ортонормированные базисные векторы разделяют алгебру Матрицы Паули, но обычно не приравниваются к ним. После определения производной

${displaystyle {oldsymbol {abla }}=sigma ^{k}partial _{k}}$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению^[3]

Уравнения Максвелла (Состав APS)

${displaystyle left({frac {1}{c}}{dfrac {partial }{partial t}}+{oldsymbol {abla }}ight)mathbf {F} =mu _{0}c(cho -mathbf {J} ).}$

В трех измерениях производная имеет особую структуру, позволяющую вводить перекрестное произведение:

${displaystyle {oldsymbol {abla }}mathbf {F} ={oldsymbol {abla }}cdot mathbf {F} +{oldsymbol {abla }}wedge mathbf {F} ={oldsymbol {abla }}cdot mathbf {F} +I{oldsymbol {abla }} imes mathbf {F} }$

из которого легко увидеть, что закон Гаусса является скалярной частью, закон Ампера – Максвелла - векторной частью, закон Фарадея - псевдовекторной частью, а закон Гаусса для магнетизма - псевдоскалярной частью уравнения. После расширения и перестановки это можно записать как

${displaystyle left({oldsymbol {abla }}cdot mathbf {E} -{frac {ho }{epsilon _{0}}}ight)-cleft({oldsymbol {abla }} imes mathbf {B} -mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial {mathbf {E} }}{partial {t}}}-mu _{0}mathbf {J} ight)+Ileft({oldsymbol {abla }} imes mathbf {E} +{frac {partial {mathbf {B} }}{partial {t}}}ight)+Icleft({oldsymbol {abla }}cdot mathbf {B} ight)=0}$

Мы можем идентифицировать APS как подалгебру алгебра пространства-времени (STA) ${displaystyle Cell _{1,3}(mathbb {R} )}$, определяя ${displaystyle sigma _{k}=gamma _{k}gamma _{0}}$ и ${displaystyle I=gamma _{0}gamma _{1}gamma _{2}gamma _{3}}$. В ${displaystyle gamma _{mu }}$s обладают теми же алгебраическими свойствами, что и гамма-матрицы но их матричное представление не требуется. Производная теперь

${displaystyle abla =gamma ^{mu }partial _{mu }.}$

Риман – Зильберштейн становится бивектором.

${displaystyle F=mathbf {E} +Icmathbf {B} =E^{1}gamma _{1}gamma _{0}+E^{2}gamma _{2}gamma _{0}+E^{3}gamma _{3}gamma _{0}-c(B^{1}gamma _{2}gamma _{3}+B^{2}gamma _{3}gamma _{1}+B^{3}gamma _{1}gamma _{2}),}$

а заряд и плотность тока становятся вектором

${displaystyle J=J^{mu }gamma _{mu }=cho gamma _{0}+J^{k}gamma _{k}=gamma _{0}(cho -J^{k}sigma _{k}).}$

Благодаря личности

${displaystyle gamma _{0}abla =gamma _{0}gamma ^{0}partial _{0}+gamma _{0}gamma ^{k}partial _{k}=partial _{0}+sigma ^{k}partial _{k}={frac {1}{c}}{dfrac {partial }{partial t}}+{oldsymbol {abla }},}$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению

Уравнения Максвелла (Состав STA)

${displaystyle abla F=mu _{0}cJ.}$

Подход дифференциальных форм

Смотрите также: Дифференциальная форма и Внешняя алгебра

Поле 2-форма

В свободное место, куда ε = ε₀ и μ = μ₀ постоянны всюду, уравнения Максвелла значительно упрощаются, когда язык дифференциальная геометрия и дифференциальные формы используется. В дальнейшем cgs-гауссовские единицы, нет Единицы СИ используются. (Чтобы преобразовать в СИ, см. здесь.) Электрическое и магнитное поля теперь описываются совместно 2-форма F в 4-х мерном пространство-время многообразие. Тензор Фарадея ${displaystyle F_{mu u }}$ (электромагнитный тензор ) можно записать как 2-форму в пространстве Минковского с метрической сигнатурой (− + + +) в качестве

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {F} &equiv {frac {1}{2}}F_{mu u }mathrm {d} x^{mu }wedge mathrm {d} x^{u }&=B_{x}mathrm {d} ywedge mathrm {d} z+B_{y}mathrm {d} zwedge mathrm {d} x+B_{z}mathrm {d} xwedge mathrm {d} y+E_{x}mathrm {d} xwedge mathrm {d} t+E_{y}mathrm {d} ywedge mathrm {d} t+E_{z}mathrm {d} zwedge mathrm {d} tend{aligned}}}$

который, как форма кривизны, это внешняя производная из электромагнитный четырехпотенциальный,

${displaystyle mathbf {F} =mathrm {d} mathbf {A} =(partial _{mu }A_{u })mathrm {d} x^{mu }wedge mathrm {d} x^{u }}$

Уравнения без источника могут быть записаны действием внешней производной на эту 2-форму. Но для уравнений с источниковыми членами (Закон Гаусса и Уравнение Ампера-Максвелла ), Ходж Дуал этой 2-формы необходимо. Звездный оператор Ходжа берет п-формировать в (п − п) -форма, где п количество измерений. Здесь он принимает 2-форму (F) и дает еще одну 2-форму (в четырех измерениях, п − п = 4 − 2 = 2). Для базисных котангенсных векторов двойственный Ходжа задается как (см. Звездный оператор Ходжа § Четыре измерения )

${displaystyle {star }(mathrm {d} xwedge mathrm {d} y)=-mathrm {d} zwedge mathrm {d} t,quad {star }(mathrm {d} xwedge mathrm {d} t)=mathrm {d} ywedge mathrm {d} z,}$

и так далее. Используя эти соотношения, двойственным к 2-форме Фарадея является тензор Максвелла,

${displaystyle {star }mathbf {F} =-B_{x}mathrm {d} xwedge mathrm {d} t-B_{y}mathrm {d} ywedge mathrm {d} t-B_{z}mathrm {d} zwedge mathrm {d} t+E_{x}mathrm {d} ywedge mathrm {d} z+E_{y}mathrm {d} zwedge mathrm {d} x+E_{z}mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}$

Текущий 3-образный, двойной ток 1-образный

Здесь 3-форма J называется форма электрического тока или же текущая 3-форма:

${displaystyle mathbf {J} =ho ,mathrm {d} xwedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-j_{x}mathrm {d} twedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-j_{y}mathrm {d} twedge mathrm {d} zwedge mathrm {d} x-j_{z}mathrm {d} twedge mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}$

с соответствующей дуальной 1-формой:

${displaystyle {{star }mathbf {J} }=-ho ,mathrm {d} t+j_{x}mathrm {d} x+j_{y}mathrm {d} y+j_{z}mathrm {d} z}$

Тогда уравнения Максвелла сводятся к Бьянки идентичность и исходное уравнение соответственно:^[4]

Уравнения Максвелла (текущая 3-форма)

${displaystyle mathrm {d} mathbf {F} =0}$

${displaystyle mathrm {d} {star }mathbf {F} =mathbf {J} }$

где d обозначает внешняя производная - естественный не зависящий от координат и метрики дифференциальный оператор, действующий на формы, и (двойственный) Ходжа звезда оператор ${displaystyle {star }}$ является линейным преобразованием из пространства 2-форм в пространство (4 - 2) -форм, определяемое метрикой в Пространство Минковского (в четырех измерениях даже по любой метрике конформный к этой метрике). Поля находятся в натуральные единицы куда 1 / 4πε₀ = 1.

Поскольку d² = 0, 3-форма J удовлетворяет закону сохранения тока (уравнение неразрывности ):

${displaystyle mathrm {d} {mathbf {J} }=mathrm {d} ^{2}{star }mathbf {F} =0.}$

Текущая 3-форма может быть интегрирована в 3-мерную область пространства-времени.Физическая интерпретация этого интеграла - это заряд в этой области, если она пространственноподобна, или количество заряда, протекающего через поверхность за определенное время, если эта область является пространственноподобной поверхностью, пересекающей времяподобный интервал. определены на любом многообразие, версия тождества Бианки с дифференциальной формой имеет смысл для любого 4-мерного многообразия, тогда как уравнение источника определено, если многообразие ориентировано и имеет метрику Лоренца. В частности, версия уравнений Максвелла в дифференциальной форме представляет собой удобную и интуитивно понятную формулировку уравнений Максвелла в общей теории относительности.

Примечание: В большей части литературы обозначения ${displaystyle mathbf {J} }$ и ${displaystyle {star }mathbf {J} }$ переключаются, так что ${displaystyle mathbf {J} }$ 1-форма, называемая текущей и ${displaystyle {star }mathbf {J} }$ представляет собой 3-форму, называемую дуальным током.^[5]

Линейное макроскопическое влияние вещества

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается более общим линейным преобразованием в пространстве 2-форм. Мы называем

${displaystyle C:Lambda ^{2}i mathbf {F} mapsto mathbf {G} in Lambda ^{(4-2)}}$

конститутивное преобразование. Роль этого преобразования сравнима с преобразованием двойственности Ходжа. Уравнения Максвелла в присутствии вещества становятся:

${displaystyle mathrm {d} mathbf {F} =0}$

${displaystyle mathrm {d} mathbf {G} =mathbf {J} }$

где текущая 3-форма J по-прежнему удовлетворяет уравнению неразрывности dJ = 0.

Когда поля выражены как линейные комбинации ( внешние продукты ) базисных форм θ^п,

${displaystyle mathbf {F} ={frac {1}{2}}F_{pq}mathbf { heta } ^{p}wedge mathbf { heta } ^{q}.}$

определяющее отношение принимает вид

${displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}}$

где коэффициентные функции поля антисимметричны по индексам, а определяющие коэффициенты антисимметричны по соответствующим парам. В частности, преобразование двойственности Ходжа, приводящее к рассмотренным выше уравнениям вакуума, получается взятием

${displaystyle C_{pq}^{mn}={frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}epsilon _{abpq}{sqrt {-g}}}$

который с точностью до масштабирования является единственным инвариантным тензором этого типа, который может быть определен с помощью метрики.

В этой формулировке электромагнетизм немедленно обобщается на любое 4-мерное ориентированное многообразие или с небольшими изменениями на любое многообразие.

Альтернативная подпись метрики

в Знаковое соглашение физика частиц для метрическая подпись (+ − − −), потенциальная 1-форма имеет вид

${displaystyle mathbf {A} =phi ,mathrm {d} t-A_{x}mathrm {d} x-A_{y}mathrm {d} y-A_{z}mathrm {d} z}$.

2-форма кривизны Фарадея становится

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {F} equiv &{frac {1}{2}}F_{mu u }mathrm {d} x^{mu }wedge mathrm {d} x^{u }=&E_{x}mathrm {d} twedge mathrm {d} x+E_{y}mathrm {d} twedge mathrm {d} y+E_{z}mathrm {d} twedge mathrm {d} z-B_{x}mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-B_{y}mathrm {d} zwedge mathrm {d} x-B_{z}mathrm {d} xwedge mathrm {d} yend{aligned}}}$

и тензор Максвелла принимает вид

${displaystyle {{star }mathbf {F} }=-E_{x}mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-E_{y}mathrm {d} zwedge mathrm {d} x-E_{z}mathrm {d} xwedge mathrm {d} y-B_{x}mathrm {d} twedge mathrm {d} x-B_{y}mathrm {d} twedge mathrm {d} y-B_{z}mathrm {d} twedge mathrm {d} z}$.

Текущая 3-форма J является

${displaystyle mathbf {J} =-ho ,mathrm {d} xwedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z+j_{x}mathrm {d} twedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z+j_{y}mathrm {d} twedge mathrm {d} zwedge mathrm {d} x+j_{z}mathrm {d} twedge mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}$

и соответствующая двойственная 1-форма есть

${displaystyle {{star }mathbf {J} }=-ho ,mathrm {d} t+j_{x}mathrm {d} x+j_{y}mathrm {d} y+j_{z}mathrm {d} z}$.

Текущая норма теперь положительна и равна

${displaystyle {mathbf {J} wedge {star }mathbf {J} }=(ho ^{2}+j_{x}^{2}+j_{y}^{2}+j_{z}^{2}),{star }(1)}$,

с каноническим объемная форма ${displaystyle {star }(1)=mathrm {d} twedge mathrm {d} xwedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z}$.

Искривленное пространство-время

Традиционная рецептура

Материя и энергия создают кривизну пространство-время. Это предмет общая теория относительности. Искривление пространства-времени влияет на электродинамику. Электромагнитное поле, имеющее энергию и импульс, также создает искривление в пространстве-времени. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени можно получить, заменив производные в уравнениях в плоском пространстве-времени на ковариантные производные. (Является ли это подходящим обобщением, требует отдельного исследования.) Уравнения с источниками и без источников становятся (cgs-гауссовские единицы ):

${displaystyle {4pi over c}j^{eta }=partial _{alpha }F^{alpha eta }+{Gamma ^{alpha }}_{mu alpha }F^{mu eta }+{Gamma ^{eta }}_{mu alpha }F^{alpha mu } {stackrel {mathrm {def} }{=}} abla _{alpha }F^{alpha eta } {stackrel {mathrm {def} }{=}} {F^{alpha eta }}_{;alpha },!}$

и

${displaystyle 0=partial _{gamma }F_{alpha eta }+partial _{eta }F_{gamma alpha }+partial _{alpha }F_{eta gamma }=abla _{gamma }F_{alpha eta }+abla _{eta }F_{gamma alpha }+abla _{alpha }F_{eta gamma }.,}$

Здесь,

${displaystyle {Gamma ^{alpha }}_{mu eta }!}$

это Символ Кристоффеля что характеризует кривизну пространства-времени и ∇_α - ковариантная производная.

Формулировка в терминах дифференциальных форм

Формулировка уравнений Максвелла в терминах дифференциальные формы можно использовать без изменений в общей теории относительности. Эквивалентность более традиционной общей релятивистской формулировки, использующей ковариантную производную, с формулировкой дифференциальной формы можно увидеть следующим образом. Выберите местные координаты Икс^α что дает базис 1-форм dИкс^α в каждой точке открытого множества, где определены координаты. Используя эту основу и cgs-гауссовские единицы мы определяем

• Антисимметричный тензор поля F_αβ, соответствующее полю 2-форме F

${displaystyle mathbf {F} ={frac {1}{2}}F_{alpha eta },mathrm {d} x^{alpha }wedge mathrm {d} x^{eta }.}$

• Инфинитезимальная 3-форма вектора тока J

${displaystyle mathbf {J} ={4pi over c}left({frac {1}{6}}j^{alpha }{sqrt {-g}},epsilon _{alpha eta gamma delta }mathrm {d} x^{eta }wedge mathrm {d} x^{gamma }wedge mathrm {d} x^{delta }.ight)}$

Эпсилон-тензор, сжатый с дифференциальной 3-формой, дает в 6 раз больше необходимых членов.

Здесь грамм как обычно детерминант матрицы, представляющей метрический тензор, грамм_αβ. Небольшое вычисление, использующее симметрию Символы Кристоффеля (т.е. без кручения Леви-Чивита связь ) и ковариантная постоянство Звездный оператор Ходжа затем показывает, что в этой координатной окрестности мы имеем:

• идентичность Бьянки

${displaystyle mathrm {d} mathbf {F} =2(partial _{gamma }F_{alpha eta }+partial _{eta }F_{gamma alpha }+partial _{alpha }F_{eta gamma })mathrm {d} x^{alpha }wedge mathrm {d} x^{eta }wedge mathrm {d} x^{gamma }=0,}$

• исходное уравнение

${displaystyle mathrm {d} {star mathbf {F} }={frac {1}{6}}{F^{alpha eta }}_{;alpha }{sqrt {-g}},epsilon _{eta gamma delta eta }mathrm {d} x^{gamma }wedge mathrm {d} x^{delta }wedge mathrm {d} x^{eta }=mathbf {J} ,}$

• уравнение неразрывности

${displaystyle mathrm {d} mathbf {J} ={4pi over c}{j^{alpha }}_{;alpha }{sqrt {-g}},epsilon _{alpha eta gamma delta }mathrm {d} x^{alpha }wedge mathrm {d} x^{eta }wedge mathrm {d} x^{gamma }wedge mathrm {d} x^{delta }=0.}$

Классическая электродинамика как кривизна линейного пучка

Элегантный и интуитивно понятный способ сформулировать уравнения Максвелла - использовать сложные линейные пакеты или основной U (1) -бандл, на волокнах которого U (1) действует регулярно. В главный U (1) -связь ∇ на линейном пучке имеет кривизна F = ∇² которая является двухформной, которая автоматически удовлетворяет dF = 0 и может интерпретироваться как напряженность поля. Если линейный пучок тривиален с плоским эталонным соединением d мы можем написать ∇ = d + А и F = dА с А то 1-форма состоит из электрический потенциал и магнитный векторный потенциал.

В квантовой механике сама связь используется для определения динамики системы. Эта формулировка позволяет естественным образом описать Эффект Ааронова – Бома. В этом эксперименте статическое магнитное поле проходит через длинный магнитный провод (например, железный провод, намагниченный в продольном направлении). Вне этого провода магнитная индукция равна нулю, в отличие от векторного потенциала, который существенно зависит от магнитного потока через поперечное сечение провода и не исчезает снаружи. Поскольку электрического поля тоже нет, тензор Максвелла F = 0 во всей области пространства-времени за пределами трубки во время эксперимента. Это по определению означает, что связность ∇ здесь плоская.

Однако, как уже упоминалось, соединение зависит от магнитного поля через трубку, поскольку голономия вдоль несжимаемой кривой, окружающей трубку, проходит магнитный поток через трубку в соответствующих единицах. Это можно обнаружить квантово-механически с помощью эксперимента по дифракции электронов с двумя щелями на электронной волне, бегущей по трубке. Голономия соответствует дополнительному фазовому сдвигу, который приводит к сдвигу дифракционной картины.^[6][7]

Обсуждение

Ниже приведены причины использования каждого из таких составов.

Возможная формулировка

В продвинутой классической механике часто бывает полезно, а в квантовой механике часто бывает необходимо выразить уравнения Максвелла в виде потенциальная формулировка с участием электрический потенциал (также называемый скалярный потенциал ) φ, а магнитный потенциал (а векторный потенциал ) А. Например, при анализе радиоантенн полностью используются векторные и скалярные потенциалы Максвелла для разделения переменных - общий метод, используемый при формулировании решений дифференциальных уравнений. Потенциалы можно ввести, используя Лемма Пуанкаре на однородные уравнения, чтобы решить их универсальным способом (это предполагает, что мы рассматриваем топологически простой, например сжимаемое пространство ). Потенциалы определены, как в таблице выше. В качестве альтернативы эти уравнения определяют E и B в терминах электрического и магнитного потенциалов, которые затем удовлетворяют однородным уравнениям для E и B как личности. Подстановка дает неоднородные уравнения Максвелла в потенциальной форме.

Много разных вариантов А и φ согласуются с данными наблюдаемыми электрическими и магнитными полями E и B, поэтому кажется, что потенциалы содержат больше, (классически ) ненаблюдаемая информация. Однако неединственность потенциалов хорошо понятна. Для каждой скалярной функции положения и времени λ(Икс, т), потенциалы можно изменить на калибровочное преобразование в качестве

${displaystyle varphi '=varphi -{frac {partial lambda }{partial t}},quad mathbf {A} '=mathbf {A} +mathbf {abla } lambda }$

без изменения электрического и магнитного поля. Две пары калибровочно преобразованных потенциалов (φ, А) и (φ′, А′) называются калибровочный эквивалент, а свобода выбора любой пары потенциалов из ее класса калибровочной эквивалентности называется свобода измерения. Снова по лемме Пуанкаре (и при ее предположениях) калибровочная свобода является единственным источником неопределенности, поэтому формулировка поля эквивалентна формулировке потенциала, если мы рассматриваем потенциальные уравнения как уравнения для классов калибровочной эквивалентности.

Потенциальные уравнения можно упростить с помощью процедуры, называемой крепление датчика. Поскольку потенциалы определены только с точностью до калибровочной эквивалентности, мы можем наложить дополнительные уравнения на потенциалы, если для каждой пары потенциалов существует калибровочная эквивалентная пара, удовлетворяющая дополнительным уравнениям (т.е. если уравнения фиксации калибровки определяют ломтик к калибровочному действию). Потенциалы с фиксированной калибровкой по-прежнему обладают калибровочной свободой при всех калибровочных преобразованиях, которые оставляют уравнения фиксации калибровки инвариантными. Изучение потенциальных уравнений предлагает два естественных выбора. в Кулоновский калибр, мы навязываем ∇ ⋅ А = 0 который чаще всего используется в случае магнитостатики, когда можно пренебречь c⁻²∂²А/∂т² срок. в Датчик Лоренца (назван в честь датчанина Людвиг Лоренц ), накладываем

${displaystyle mathbf {abla } cdot mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}=0,.}$

Калибровочное условие Лоренца имеет то преимущество, что является лоренц-инвариантным и приводит к лоренц-инвариантным уравнениям для потенциалов.

Явно ковариантный (тензорный) подход

Уравнения Максвелла точно согласуются с специальная теория относительности - то есть, если они действительны в одной инерциальной системе отсчета, то они автоматически действительны в каждой другой инерциальной системе отсчета. Фактически, уравнения Максвелла сыграли решающую роль в историческом развитии специальной теории относительности. Однако в обычной формулировке уравнений Максвелла их совместимость со специальной теорией относительности неочевидна; это может быть доказано только кропотливым расчетом.

Например, рассмотрим проводник движется в поле магнита.^[8] в Рамка магнита, этот проводник испытывает магнитный сила. Но в рамках проводника, движущегося относительно магнита, на проводник действует сила из-за электрический поле. Движение точно согласовано в этих двух разных системах отсчета, но математически возникает совершенно по-разному.

По этой и другим причинам часто бывает полезно переписать уравнения Максвелла так, чтобы они были «явно ковариантными», т.е. очевидно в соответствии со специальной теорией относительности, даже если взглянуть на уравнения - используя ковариантные и контравариантные четырехвекторы и тензоры. Это можно сделать с помощью ЭМ тензор F, или 4-потенциальный А, с 4-текущий J - видеть ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

Подход дифференциальных форм

Закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея – Максвелла можно сгруппировать вместе, поскольку уравнения однородны, и их можно рассматривать как геометрический идентичности выражая поле F (2-форма), которая может быть получена из 4-потенциальный А. Закон Гаусса для электричества и закон Ампера – Максвелла можно рассматривать как динамичный уравнения движения полей, полученных с помощью Лагранжиан принцип наименьшее действие, от "условия взаимодействия" AJ (введено через измерять ковариантные производные ), связывая поле с материей. Для полевой формулировки уравнений Максвелла в терминах принципа экстремального действие, видеть электромагнитный тензор.

Часто производная по времени в уравнении Фарадея – Максвелла мотивирует назвать это уравнение «динамическим», что несколько вводит в заблуждение в смысле предыдущего анализа. Это скорее артефакт взлома релятивистский ковариация выбрав предпочтительное направление времени. Чтобы эти уравнения поля распространяли физические степени свободы, необходимо включить кинетический термин F ⋆F за А, и принять во внимание нефизические степени свободы, которые могут быть удалены с помощью калибровочное преобразование А ↦ А - dα. Смотрите также крепление датчика и Призраки Фаддеева – Попова.

Подход геометрического исчисления

В этой формулировке используется алгебра, которая пространство-время генерируется путем введения дистрибутивного, ассоциативного (но не коммутативного) продукта, называемого геометрический продукт. Элементы и операции алгебры обычно могут быть связаны с геометрическим смыслом. Члены алгебры могут быть разложены по ступеням (как в формализме дифференциальных форм) и (геометрическому) произведению вектора с k-вектор распадается на (k − 1)-вектор и (k + 1)-вектор. В (k − 1)-векторный компонент может быть идентифицирован с внутренним продуктом и (k + 1)-векторная составляющая с внешним продуктом. Для алгебраического удобства геометрическое произведение обратимо, а внутреннее и внешнее - нет. Производные, которые появляются в уравнениях Максвелла, являются векторами, а электромагнитные поля представлены бивектором Фарадея. F. Эта формулировка такая же общая, как и формулировка дифференциальных форм для многообразий с метрическим тензором, поскольку тогда они естественным образом отождествляются с р-forms и есть соответствующие операции. В этом формализме уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению. Это уравнение можно разделить на части, как это сделано выше для сравнения.

Смотрите также

• Исчисление Риччи
• Уравнение электромагнитной волны
• Скорость света
• Электрическая постоянная
• Магнитная постоянная
• Свободное место
• Ближнее и дальнее поле
• Электромагнитное поле
• Электромагнитное излучение
• Квантовая электродинамика
• Список уравнений электромагнетизма

Примечания

1. Введение в электродинамику Гриффитса
2. Квантовая электродинамика, Mathworld
3. Лекция о медали Эрстеда Дэвид Хестенес «Реформирование математического языка физики» (Am. J. Phys. 71 (2), февраль 2003 г., стр. 104–121) Онлайн:http://geocalc.clas.asu.edu/html/Oersted-ReformingTheLanguage.html стр. 26
4. Харлей Фландерс (1963) Дифференциальные формы в приложениях к физическим наукам, страницы с 44 по 46, Академическая пресса
5. Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. В. Х. Фриман. п. 81. ISBN  978-0-7167-0344-0.
6. М. Мюррей (5 сентября 2008 г.). "Line Bundles. Награды 1996" (PDF). Университет Аделаиды. Получено 2010-11-19.
7. Р. Ботт (1985). «О некоторых недавних взаимодействиях между математикой и физикой». Канадский математический бюллетень. 28 (2): 129–164. Дои:10.4153 / CMB-1985-016-3.
8. Альберт Эйнштейн (1905) К электродинамике движущихся тел

Рекомендации

• Варник, Карл; Рассер, Питер (2014). «Дифференциальные формы и теория электромагнитного поля» (PDF). Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма. 148: 83–112. Дои:10.2528 / PIER14063009.
• Рассер, Питер (2006). Электромагнетизм, СВЧ-схемы и конструкция антенн для техники связи (2-е изд.). Артек Хаус. ISBN  978-1-58053-907-4. (с рабочими проблемами в Warnick, Russer 2006 ISBN  1-59693-096-9)
• Хель, Фридрих; Обухов, Юрий (2003). Основы классической электродинамики. Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-4222-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  978-0-521-71595-9.