Плотность поляризации - Polarization density

В классический электромагнетизм, плотность поляризации (или электрическая поляризация, или просто поляризация) это векторное поле который выражает плотность постоянного или индуцированного электрические дипольные моменты в диэлектрик материал. Когда диэлектрик помещается во внешний электрическое поле, его молекулы получают электрический дипольный момент и диэлектрик называется поляризованным. Электрический дипольный момент, индуцированный на единицу объема диэлектрического материала, называется электрической поляризацией диэлектрика.^[1][2]

Плотность поляризации также описывает, как материал реагирует на приложенное электрическое поле, а также то, как материал изменяет электрическое поле, и может использоваться для расчета сил, возникающих в результате этих взаимодействий. Это можно сравнить с намагничивание, которая является мерой соответствующего отклика материала на магнитное поле в магнетизм. В SI единица измерения кулоны на квадратный метр, а плотность поляризации представлена ​​вектором п.^[2]

Определение

Внешнее электрическое поле, приложенное к диэлектрическому материалу, вызывает смещение связанных заряженных элементов. Это элементы, которые связаны с молекулами и не могут свободно перемещаться по материалу. Положительно заряженные элементы смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные элементы смещаются противоположно направлению поля. Молекулы могут оставаться нейтральными по заряду, но возникает электрический дипольный момент.^[3][4]

Для определенного элемента объема ${\displaystyle \Delta V}$ в материале, несущем дипольный момент ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$, определим плотность поляризации п:

${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$

В общем, дипольный момент ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$ меняется от точки к точке внутри диэлектрика. Следовательно, плотность поляризации п диэлектрика внутри бесконечно малого объема dV с бесконечно малым дипольным моментом dп является:

${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} V}\qquad (1)}$

Чистый заряд, возникающий в результате поляризации, называется связанным зарядом и обозначается ${\displaystyle Q_{b}}$.

Это определение плотности поляризации как «дипольного момента на единицу объема» широко используется, хотя в некоторых случаях может приводить к двусмысленностям и парадоксам.^[5]

Другие выражения

Пусть объем dV быть изолированным внутри диэлектрика. Из-за поляризации связанный положительный заряд ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$ сместится на расстояние ${\displaystyle \mathbf {d} }$ относительно отрицательного связанного заряда ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$, дающий дипольный момент ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$. Подстановка этого выражения в (1) дает

${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$

Поскольку обвинение ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$ ограничена в объеме dV равно ${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$ уравнение для п становится:^[3]

${\displaystyle \mathbf {P} =\rho _{b}\mathbf {d} \qquad (2)}$

где ${\displaystyle \rho _{b}}$ - плотность связанного заряда в рассматриваемом объеме. Из приведенного выше определения ясно, что диполи в целом нейтральны, что ${\displaystyle \rho _{b}}$ уравновешивается равной плотностью противоположного заряда в объеме. Несбалансированные сборы являются частью бесплатного сбора, описанного ниже.

Закон Гаусса для поля п

Для заданного объема V окруженный поверхностью S, связанный заряд ${\displaystyle Q_{b}}$ внутри он равен потоку п через S взяты со знаком минус, или

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \qquad (3)}$

Доказательство:

Пусть площадь поверхности S огибающая часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещены. Позволять d1 и d2 быть расстояниями связанных зарядов ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ и ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$соответственно из плоскости, образованной элементом площади dА после поляризации. И пусть дV1 и гV2 быть объемами, заключенными ниже и выше области dА. Вверху: элементарный объем dV = dV1+ dV2 (ограничена элементом площади dА) настолько мал, что окруженный им диполь можно представить как производимый двумя элементарными противоположными зарядами. Внизу вид сверху (щелкните изображение, чтобы увеличить). Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$ перемещается с внешней части поверхности dА внутрь, в то время как положительный связанный заряд ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$ перемещается с внутренней части поверхности наружу. По закону сохранения заряда полный связанный заряд ${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$ осталось внутри тома ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ после поляризации: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$ поскольку ${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$ и (см. изображение справа) ${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$ Приведенное выше уравнение становится ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$ Из (2) следует, что ${\displaystyle \rho _{b}d=P}$, так что получаем: ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$ И интегрируя это уравнение по всей замкнутой поверхности S мы находим, что ${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$ что завершает доказательство.

Дифференциальная форма

По теореме о расходимости закон Гаусса для поля п можно указать в дифференциальная форма так как:

${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$,

где ∇ · п расходимость поля п через заданную поверхность, содержащую связанную плотность заряда ${\displaystyle \rho _{b}}$.

Доказательство:

По теореме о расходимости имеем ${\displaystyle -Q_{b}=\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V}$, для объема V содержащий связанный заряд ${\displaystyle Q_{b}}$. И с тех пор ${\displaystyle Q_{b}}$ - интеграл от плотности связанного заряда ${\displaystyle \rho _{b}}$ взят на весь объем V окруженный S, приведенное выше уравнение дает ${\displaystyle -\iiint \limits _{V}\rho _{b}\ \mathrm {d} V=\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V}$, что верно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Связь между полями п и E

Однородные изотропные диэлектрики

Полевые линии из D-поле в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью, чем ее окружение, помещенной в ранее однородное поле.^[6] В полевые линии из E-поле не показаны: они указывают в одном направлении, но многие силовые линии начинаются и заканчиваются на поверхности сферы, где есть связанный заряд. В результате плотность силовых линий E-поля внутри сферы ниже, чем снаружи, что соответствует тому факту, что E-поле внутри сферы слабее, чем снаружи.

В однородный, линейные, недисперсионные и изотропный диэлектрик средний, поляризация согласован с и пропорциональный к электрическому полю E:^[7]

${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$

где ε₀ это электрическая постоянная, а χ - электрическая восприимчивость среды. Обратите внимание, что в этом случае χ упрощается до скаляра, хотя в более общем смысле это тензор. Это частный случай из-за изотропия диэлектрика.

Принимая во внимание эту связь между п и E, уравнение (3) принимает следующий вид:^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Выражение в интеграле: Закон Гаусса для поля E что дает общий заряд, оба бесплатные ${\displaystyle (Q_{f})}$ и связаны ${\displaystyle (Q_{b})}$, в томе V окруженный S.^[3] Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$

которые можно записать в терминах плотности свободных и связанных зарядов (с учетом взаимосвязи между зарядами, их объемными плотностями заряда и заданным объемом):

${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$

Так как внутри однородного диэлектрика не может быть свободных зарядов ${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$, из последнего уравнения следует отсутствие объемного связанного заряда в материале ${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$. А поскольку свободные заряды могут подойти как можно ближе к диэлектрику, чем к его самой верхней поверхности, из этого следует, что поляризация вызывает только поверхностную плотность заряда (обозначенную ${\displaystyle \sigma _{b}}$ чтобы избежать неоднозначности с объемной плотностью заряда ${\displaystyle \rho _{b}}$).^[3]

${\displaystyle \sigma _{b}}$ может быть связано с п по следующему уравнению:^[8]

${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$

где ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$ это нормальный вектор на поверхность S указывая наружу. (увидеть плотность заряда для строгого доказательства)

Анизотропные диэлектрики

Класс диэлектриков, в которых плотность поляризации и электрическое поле не совпадают, известен как анизотропный материалы.

В таких материалах я-я компонента поляризации связана с j-й компонент электрического поля согласно:^[7]

${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$

Это соотношение показывает, например, что материал может поляризоваться в направлении x, применяя поле в направлении z, и так далее. Случай анизотропной диэлектрической среды описывается полем кристальная оптика.

Как и в большинстве случаев электромагнетизма, это соотношение имеет дело с макроскопическими средними величинами полей и дипольной плотности, так что мы имеем континуальное приближение диэлектрических материалов, которое не учитывает поведения на атомном уровне. В поляризуемость отдельных частиц в среде можно связать со средней восприимчивостью и плотностью поляризации соотношением Соотношение Клаузиуса – Моссотти.

В общем, восприимчивость является функцией частота ω прикладного поля. Когда поле является произвольной функцией времени т, поляризация свертка из преобразование Фурье из χ(ω) с E(т). Это отражает тот факт, что диполи в материале не могут мгновенно реагировать на приложенное поле, и причинность соображения приводят к Отношения Крамерса – Кронига.

Если поляризация п не линейно пропорционален электрическому полю E, среда называется нелинейный и описывается полем нелинейная оптика. В хорошем приближении (для достаточно слабых полей при отсутствии постоянных дипольных моментов) п обычно дается Серия Тейлор в E коэффициенты которого представляют собой нелинейные восприимчивости:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$

где ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ - линейная восприимчивость, ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ восприимчивость второго порядка (описывающая такие явления, как Эффект поккельса, оптическое выпрямление и генерация второй гармоники ), и ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ восприимчивость третьего порядка (описывающая эффекты третьего порядка, такие как Эффект Керра и индуцированное электрическим полем оптическое выпрямление).

В сегнетоэлектрик материалов, нет однозначного соответствия между п и E вообще из-за гистерезис.

Плотность поляризации в уравнениях Максвелла

Поведение электрические поля (E, D), магнитные поля (B, ЧАС), плотность заряда (ρ) и плотность тока (J) описываются Уравнения Максвелла в веществе.

Отношения между E, D и P

С точки зрения объемной плотности заряда свободный плотность заряда ${\displaystyle \rho _{f}}$ дан кем-то

${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$

где ${\displaystyle \rho }$ - полная плотность заряда. Рассматривая связь каждого из членов приведенного выше уравнения с дивергенцией соответствующих им полей ( электрическое поле смещения D, E и п в таком порядке), это можно записать как:^[9]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$

Это известно как конститутивное уравнение для электрических полей. Вот ε₀ это электрическая проницаемость пустого пространства. В этом уравнении п это (отрицательное) поле, индуцированное в материале, когда "фиксированные" заряды, диполи, смещаются в ответ на общее нижележащее поле E, в то время как D это поле из-за оставшихся зарядов, известных как «бесплатные».^[5][10]

В общем, п варьируется в зависимости от E в зависимости от среды, как описано далее в статье. Во многих задачах удобнее работать с D и бесплатные расходы, чем с E и общий заряд.^[1]

Следовательно, поляризованная среда в виде Теорема Грина можно разделить на четыре компонента.

• Связанная объемная плотность заряда: ${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• Плотность связанного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• Свободная объемная плотность заряда: ${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• Плотность свободного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Плотность поляризации, изменяющаяся во времени

Когда плотность поляризации изменяется со временем, зависящая от времени плотность связанного заряда создает поляризация плотность тока из

${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$

так что полная плотность тока, которая входит в уравнения Максвелла, определяется как

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$

где J_ж - плотность тока свободного заряда, а второй член - это ток намагничивания плотность (также называемая связанная плотность тока), вклад атомного масштаба магнитные диполи (когда они есть).

Неопределенность поляризации^{[сомнительный ]}

Пример неоднозначности плотности поляризации в массивном кристалле. (а) Твердый кристалл. (б) Спаривая положительный и отрицательный заряды определенным образом, кристалл, кажется, имеет восходящую поляризацию. (c) По-другому спаривая заряды, кристалл, кажется, имеет направленную вниз поляризацию.

Поляризация внутри твердого тела, как правило, не определяется однозначно: она зависит от того, какие электроны спарены с какими ядрами.^[11] (См. Рисунок.) Другими словами, два человека, Алиса и Боб, глядя на одно и то же твердое тело, могут вычислить разные значения п, и ни один из них не ошибется. Алиса и Боб согласны с микроскопическим электрическим полем. E в твердом теле, но не согласны с величиной поля смещения ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$. Они оба обнаружат, что закон Гаусса верен (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$), но они не согласятся со значением ${\displaystyle \rho _{f}}$ на поверхности кристалла. Например, если Алиса интерпретирует объемное твердое тело как состоящее из диполей с положительными ионами наверху и отрицательными ионами внизу, но в реальном кристалле отрицательные ионы являются самой верхней поверхностью, тогда Алиса скажет, что на самой верхней поверхности имеется отрицательный свободный заряд. (Она могла рассматривать это как тип реконструкция поверхности ).

С другой стороны, даже если значение п не определяется однозначно в массивном твердом теле, вариации в п находятся однозначно определено.^[11] Если кристалл постепенно изменяется от одной структуры к другой, внутри каждой элементарной ячейки будет ток из-за движения ядер и электронов. Этот ток приводит к макроскопической передаче заряда с одной стороны кристалла на другую, и поэтому его можно измерить амперметром (как и любой другой ток), когда провода прикреплены к противоположным сторонам кристалла. Интеграл по времени тока пропорционален изменению п. Ток можно рассчитать с помощью компьютерного моделирования (например, теория функционала плотности ); формула для интегрированного тока оказывается разновидностью Фаза Берри.^[11]

Неединственность п не проблема, потому что все измеримые последствия п на самом деле является следствием непрерывного изменения п.^[11] Например, когда материал помещается в электрическое поле. E, которая возрастает от нуля до конечного значения, электронное и ионное положения материала слегка смещаются. Это меняет п, и результат электрическая восприимчивость (и, следовательно диэлектрическая проницаемость ). В качестве другого примера, когда некоторые кристаллы нагреваются, их электронное и ионное положения немного смещаются, изменяя п. Результат пироэлектричество. Во всех случаях интересующие свойства связаны с изменение в п.

Хотя поляризация в общем неуникальный, на практике он часто (не всегда) определяется соглашением особым, уникальным образом. Например, в идеальном центросимметричный кристалл п обычно по соглашению определяется как ровно ноль. Другой пример: в сегнетоэлектрик кристалл, обычно центросимметричный конфигурация над Температура Кюри, и п определяется там по соглашению равным нулю. По мере того, как кристалл охлаждается ниже температуры Кюри, он постепенно принимает все более и более нецентросимметричную конфигурацию. Поскольку постепенное изменение п однозначно определены, это соглашение дает уникальное значение п для сегнетоэлектрического кристалла даже ниже его температуры Кюри.

Еще одна проблема в определении п связано с произвольным выбором «единицы объема», а точнее с системным масштаб.^[5] Например, в микроскопический масштаб плазма может рассматриваться как газ свободный обвинения, таким образом п должно быть равно нулю. Напротив, в макроскопический в масштабе ту же плазму можно описать как сплошную среду с диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$ и, таким образом, чистая поляризация п ≠ 0.

Смотрите также

• Кристальная структура
• Электрет
• Поляризация (значения)

Ссылки и примечания

1. Введение в электродинамику (3-е издание), Д.Дж. Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007 г., ISBN  81-7758-293-3
2. Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), С.Паркер, 1994, ISBN  0-07-051400-3
3. Иродов, И. (1986). Основные законы электромагнетизма. Издательство Мир, Издательство и дистрибьюторы Си-Би-Эс. ISBN  81-239-0306-5
4. Матвеев. А. Н. (1986). Электричество и магнетизм. Издательство "Мир".
5. C.A. Гонано; R.E. Зич; М. Массетта (2015). «Определение поляризации P и намагниченности M полностью согласуется с уравнениями Максвелла» (PDF). Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма B. 64: 83–101. Дои:10.2528 / PIERB15100606.
6. На основе уравнений из Грей, Эндрю (1888). Теория и практика абсолютных измерений электричества и магнетизма. Macmillan & Co., стр.126 –127., который ссылается на статьи сэра У. Томсона.
7. Feynman, R.P .; Лейтон, Р. Б. и Сэндс, М. (1964) Лекции Фейнмана по физике: Том 2, Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-02117-X
8. Электромагнетизм (2-е издание), И.С. Грант, У. Р. Филлипс, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  978-0-471-92712-9
9. Салех, B.E.A .; Тейч, М. (2007). Основы фотоники. Хобокен, штат Нью-Джерси: Wiley. п. 154. ISBN  978-0-471-35832-9.
10. А. Герчинский (2013). «Связанные заряды и токи» (PDF). Американский журнал физики. 81 (3): 202–205. Bibcode:2013AmJPh..81..202H. Дои:10.1119/1.4773441.
11. Реста, Раффаэле (1994). «Макроскопическая поляризация в кристаллических диэлектриках: геометрический фазовый подход» (PDF). Ред. Мод. Phys. 66 (3): 899–915. Bibcode:1994РвМП ... 66..899Р. Дои:10.1103 / RevModPhys.66.899. Смотрите также: Д. Вандербильт, Фазы Берри и кривизны в теории электронной структуры, PowerPoint вводного уровня.