Вектор Римана – Зильберштейна - Riemann–Silberstein vector

В математическая физика, особенно электромагнетизм, то Вектор Римана – Зильберштейна^[1] или же Вектор Вебера^[2][3] названный в честь Бернхард Риманн, Генрих Мартин Вебер и Людвик Зильберштейн, (или иногда неоднозначно называемое «электромагнитным полем») является сложный вектор который сочетает в себе электрическое поле E и магнитное поле B.

История

Генрих Мартин Вебер опубликовал четвертое издание «Уравнений в частных производных математической физики по лекциям Римана» в двух томах (1900 и 1901). Однако Вебер указал в предисловии к первому тому (1900 г.), что это четвертое издание было полностью переписано на основе его собственных лекций, а не лекций Римана, и что ссылка на «лекции Римана» осталась только в названии, потому что общая концепция осталась то же самое, и что он продолжил работу в духе Римана.^[4] Во втором томе (1901, § 138, стр. 348) Вебер продемонстрировал, как объединить уравнения Максвелла, используя ${\displaystyle {\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}}}$.^[5] Действительная и мнимая составляющие уравнения

${\displaystyle \operatorname {curl} ({\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}})={\frac {i}{c}}\ {\frac {\partial ({\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}})}{\partial t}}}$

представляют собой интерпретацию уравнений Максвелла без зарядов и токов. Он был независимо открыт заново и доработан Людвик Зильберштейн в 1907 г.^[6][7]

Определение

Учитывая электрическое поле E и магнитное поле B определены на общем область, край из пространство-время, вектор Римана – Зильберштейна равен

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +ic\mathbf {B} ,}$

куда c это скорость света, причем некоторые авторы предпочитают умножать правую часть на общую константу ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon _{0}/2}}}$, куда ε₀ это диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Это аналог электромагнитный тензор F, а 2-вектор используется в ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

В формулировке Зильберштейна я был определен как мнимая единица, и F был определен как усложненный 3-х мерный векторное поле, называется бивектор поле.^[8]

Заявление

Основная статья: Уравнения Максвелла

Вектор Римана – Зильберштейна используется как точка отсчета в геометрическая алгебра формулировка электромагнетизма. Максвелла четыре уравнения в векторное исчисление сократить до один уравнение в алгебра физического пространства:

${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\left(\rho -{\frac {1}{c}}\mathbf {J} \right).}$

Выражения для фундаментальные инварианты и плотность энергии и импульс Плотность также принимает простые формы:

${\displaystyle \mathbf {F} ^{2}=\mathbf {E} ^{2}-c^{2}\mathbf {B} ^{2}+2ic\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\frac {\epsilon _{0}}{2}}\mathbf {F} ^{\dagger }\mathbf {F} ={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}+c^{2}\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {1}{c}}\mathbf {S} ,}$

куда S это Вектор Пойнтинга.

Вектор Римана – Зильберштейна используется для точные матричные представления уравнений Максвелла в неоднородной среде с источниками.^[1][9]

Волновая функция фотона

В 1996 г. вклад в квантовая электродинамика, Иво Бялыницки-Бирула использовал вектор Римана – Зильберштейна в качестве основы для подхода к фотон, отмечая, что это "комплексная вектор-функция пространственных координат р и время т который адекватно описывает квантовое состояние одиночного фотона ». Чтобы выразить вектор Римана – Зильберштейна, говоря современным языком, делается переход:

С появлением спинор При исчислении, которое заменило кватернионное исчисление, трансформационные свойства вектора Римана-Зильберштейна стали еще более прозрачными ... симметричный спинор второго ранга.

Бялыницки-Бирула признает, что волновая функция фотона является спорным понятием и что она не может обладать всеми свойствами Шредингер волновые функции нерелятивистской волновой механики. Тем не менее, защита строится на основе практических соображений: она полезна для описания квантовых состояний возбуждения свободного поля, электромагнитных полей, действующих на среду, возбуждения в вакууме виртуальных позитрон-электронных пар и представления фотона среди квантовых частиц, которые действительно имеют волновые функции.

Уравнение Шредингера для фотона и соотношения неопределенностей Гейзенберга

Умножая два зависящих от времени уравнения Максвелла на ${\displaystyle \hbar }$ уравнение Шредингера для фотона в вакууме имеет вид

${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\mathbf {F} }=c(\mathbf {S} \cdot {\hbar \over i}\nabla )\mathbf {F} =c(\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {F} }$

куда ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$ вектор построен из вращение длины 1 матрицы генерирует полные бесконечно малые вращения 3-спинорной частицы. Таким образом, можно заметить, что гамильтониан в уравнении Шредингера фотона - это проекция его спина 1 на его импульс, поскольку нормальный оператор импульса появляется в результате объединения частей вращения.

В отличие от волновой функции электрона квадрат модуля волновой функции фотона (вектор Римана-Зильбертейна) не является безразмерным и должен быть умножен на «локальную длину волны фотона» с соответствующей степенью, чтобы получить безразмерное выражение для нормализации, т.е. экзотическим способом с интегральным ядром

${\displaystyle \|\mathbf {F} \|={1 \over \hbar c}\int {\mathbf {F} ^{*}(x)\cdot \mathbf {F} (x') \over |x-x'|^{2}}dx^{3}dx'^{3}=1}$

Два остаточных уравнения Максвелла являются лишь ограничениями, т.е.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$

и они автоматически выполняются все время, если выполняются только в начальное время ${\displaystyle t=0}$, т.е.

${\displaystyle \mathbf {F} (0)=\nabla \times \mathbf {G} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {G} }$любой сложный векторное поле с неисчезающим вращение, или это векторный потенциал для вектора Римана – Зильберштейна.

Имея волновую функцию фотона, можно оценить соотношения неопределенностей для фотона.^[10] Это показывает, что фотоны «более квантовые», чем электрон, в то время как их неопределенность положения и импульса выше. Естественные кандидаты для оценки неопределенности - это естественный импульс, подобный проекции ${\displaystyle E/c}$ или же ${\displaystyle H/c}$ из формулы Эйнштейна для фотоэффекта и простейшей теории квантов и ${\displaystyle r}$, неопределенность вектора длины позиции.

Воспользуемся общим соотношением неопределенности для операторов ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.}$

Нам нужно соотношение неопределенностей для ${\displaystyle \sigma _{r}\sigma _{p}}$ т.е. для операторов

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle p^{2}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} )^{2}}$

Первый шаг - найти вспомогательный оператор ${\displaystyle {\tilde {r}}}$ так что это отношение можно использовать напрямую. Сначала проделаем тот же трюк для ${\displaystyle r}$ что Дирак вычислил квадратный корень из оператора Клейна-Гордона, чтобы получить Уравнение Дирака:

${\displaystyle {\tilde {r}}=\alpha _{1}x+\alpha _{2}y+\alpha _{3}z}$

куда ${\displaystyle \alpha _{i}}$ находятся матрицы из уравнения Дирака:

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1}$

${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{k}+\alpha _{k}\alpha _{i}=2\delta _{ik}}$

Следовательно, мы имеем

${\displaystyle {\tilde {r}}^{2}=r^{2}}$

Поскольку спиновые матрицы 1 только ${\displaystyle 3\times 3}$ для вычисления коммутатора в том же пространстве мы аппроксимируем спиновые матрицы угловой момент матрицы частицы длиной ${\displaystyle 3/2\approx 1}$ при падении умножения ${\displaystyle 1/2}$ поскольку результирующие уравнения Максвелла в четырех измерениях выглядели бы слишком искусственно по сравнению с оригиналом (в качестве альтернативы мы можем сохранить исходный ${\displaystyle 1/2}$ факторов, но нормализовать новый 4-спинор до 2 как 4 скалярных частицы, нормированных на 1/2):

${\displaystyle {\tilde {p}}^{2}=(\mathbf {\tilde {L}} \cdot \mathbf {p} )^{2}}$

Теперь мы можем легко вычислить коммутатор при вычислении коммутаторов ${\displaystyle \alpha _{i}}$ матрицы и масштабированные ${\displaystyle {\tilde {L}}_{i}}$ и заметив, что симметричное гауссовское состояние ${\displaystyle e^{-ar^{2}}}$ уничтожает в среднем члены, содержащие смешанные переменные, такие как${\displaystyle xp_{y}}$.Расчет 9 коммутаторов (смешанный может быть нулевым по гауссовскому примеру и ${\displaystyle L_{z}\alpha _{z}=\alpha _{z}L_{z}=0}$ так как эти матрицы контрдиагональны) и оценивая члены по норме полученного ${\displaystyle 4\times 4}$ матрица, содержащая четыре ${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$ факторы, дающие квадрат наиболее естественного ${\displaystyle L2,1}$ норма этой матрицы в качестве ${\displaystyle 48\approx 49=7^{2}\approx 8^{2}}$ и используя неравенство нормы для оценки

${\displaystyle \lVert \mathbf {A} \mathbf {x} \rVert \leq \lVert \mathbf {A} \rVert \lVert \mathbf {x} \rVert \approx \lVert \mathbf {A} \rVert \lVert \mathbf {x} \rVert }$

мы получаем

${\displaystyle \left|\langle [{\tilde {r}},{\tilde {p}}]\rangle \right|\geq 8\hbar .}$

или же

${\displaystyle \sigma _{r}\sigma _{p}\geq 4\hbar }$

что намного больше, чем для массовой частицы в 3-х измерениях, т.е.

${\displaystyle \sigma _{r}\sigma _{p}\geq {\frac {3}{2}}\hbar }$

и поэтому фотоны оказываются частицами ${\displaystyle 8/3}$ раз или почти в 3 раза «квантовее», чем частицы с массой, подобной электрону.

Рекомендации

1. Бялыницкий-Бирула, Иво (1996). «Волновая функция фотона». Прогресс в оптике. 36: 245–294. arXiv:Quant-ph / 0508202. Bibcode:1996ПрОпт..36..245Б. Дои:10.1016 / S0079-6638 (08) 70316-0. ISBN  978-0-444-82530-8.
2. Майкл К.-Х. Кисслинг и А. Шади Тахвилдар-Заде (2018). «О квантовой механике одиночного фотона». Журнал математической физики. 59 (11): 112302. arXiv:1801.00268. Bibcode:2018JMP .... 59k2302K. Дои:10.1063/1.5021066. S2CID  51030338.
3. Чарльз Т. Себенс (2019). «Электромагнетизм как квантовая физика». Основы физики. 49 (4): 365–389. arXiv:1902.01930. Bibcode:2019ФоФ ... 49..365S. Дои:10.1007 / s10701-019-00253-3. S2CID  84846425.
4. Вебер, Генрих Мартин (1900). Die partiellen Differential-Gleichungen der Mathematischen Physik nach Riemann's Vorlesungen (4-е издание, том I). Брауншвейг: Vieweg.
5. Вебер, Генрих Мартин (1901). Die partiellen Differential-Gleichungen der Mathematischen Physik nach Riemann's Vorlesungen (4-е издание, том II). Брауншвейг: Vieweg.
6. Зильберштейн, Людвик (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung" (PDF). Annalen der Physik. 327 (3): 579–586. Bibcode:1907AnP ... 327..579S. Дои:10.1002 / andp.19073270313.
7. Зильберштейн, Людвик (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung"'" (PDF). Annalen der Physik. 329 (14): 783–784. Bibcode:1907AnP ... 329..783S. Дои:10.1002 / andp.19073291409.
8. Асте, Андреас (2012). «Комплексная теория представлений электромагнитного поля». Журнал геометрии и симметрии в физике. 28: 47–58. arXiv:1211.1218. Дои:10.7546 / jgsp-28-2012-47-58. S2CID  119575012.
9. Хан, Самин Ахмед (2005). «Точное матричное представление уравнений Максвелла». Physica Scripta. 71 (5): 440–442. arXiv:физика / 0205083. Bibcode:2005ФИЗЫ ... 71..440K. Дои:10.1238 / Physica.Regular.071a00440.
10. Бялыницкий-Бирула, Иво (2012). "Отношение неопределенности для фотона" (PDF). Phys. Rev. Lett. 108 (14): 140401–1–5. arXiv:1110.2415. Bibcode:2012ПхРвЛ.108н0401Б. Дои:10.1103 / Physrevlett.108.140401. PMID  22540772. S2CID  30928536.- В этой публикации используются несколько иные определения неопределенностей положения и количества движения, отказавшись от оператора положения и нормализуя неопределенность ${\displaystyle r^{2}}$ к неопределенности r