Внешняя алгебра - Exterior algebra

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация оценки п элементы в реальной внешней алгебре для п = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт п векторы можно визуализировать как любые п-размерная форма (например, п-параллелотоп, п-эллипсоид ); с величиной (гиперобъем ), и ориентация определяется его (п − 1)-мерная граница и с какой стороны находится интерьер.^[1][2]

В математика, то внешний продукт или же клин векторов - алгебраическая конструкция, используемая в геометрия учиться области, тома, и их многомерные аналоги. Внешнее произведение двух векторов ты иv, обозначаемый ты ∧ v, называется бивектор и живет в пространстве, называемом внешний квадрат, а векторное пространство которое отличается от исходного пространства векторов. В величина^[3] из ты ∧ v можно интерпретировать как площадь параллелограмма со сторонами ты иv, который в трех измерениях также можно вычислить с помощью перекрестное произведение двух векторов. Как и кросс-продукт, внешний продукт антикоммутативный, означающий, что ты ∧ v = −(v ∧ ты) для всех векторов ты и v, но, в отличие от перекрестного произведения, внешнее произведение ассоциативный. Один из способов визуализировать бивектор - это семейство параллелограммы все лежат в одной плоскости, имеют одинаковую площадь и одинаковые ориентация - выбор по часовой стрелке или против часовой стрелки.

При таком рассмотрении внешнее произведение двух векторов называется 2 лопасти. В более общем плане внешний продукт любого количества k векторов могут быть определены и иногда называются k-лезвие. Он живет в пространстве, известном как k-я внешняя мощность. Величина полученного k-blade - объем k-размерный параллелотоп ребра которого являются заданными векторами, как и величина скалярное тройное произведение векторов в трех измерениях дает объем параллелепипеда, созданный этими векторами.

В внешняя алгебра, или же Алгебра грассмана после Герман Грассманн,^[4] - алгебраическая система, произведением которой является внешний продукт. Внешняя алгебра предоставляет алгебраическую среду, в которой можно ответить на геометрические вопросы. Например, лезвия имеют конкретную геометрическую интерпретацию, а объектами внешней алгебры можно манипулировать в соответствии с набором однозначных правил. Внешняя алгебра содержит объекты, которые не только k-клинки, но суммы k-клинки; такая сумма называется k-вектор.^[5] В k-клинки, поскольку они являются простыми произведениями векторов, называются простыми элементами алгебры. В классифицировать любой k-вектор определяется как наименьшее количество простых элементов, сумма которых составляет. Внешнее произведение распространяется на всю внешнюю алгебру, поэтому имеет смысл умножать любые два элемента алгебры. С этим продуктом внешняя алгебра представляет собой ассоциативная алгебра, что обозначает α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ для любых элементов α, β, γ. В k-векторы имеют степень k, что означает, что они являются суммой произведений k векторы. Когда элементы разной степени умножаются, степени складываются как умножение многочлены. Это означает, что внешняя алгебра является градуированная алгебра.

Определение внешней алгебры имеет смысл для пространств не только геометрических векторов, но и других векторных объектов, таких как векторные поля или же функции. В полной общности внешнюю алгебру можно определить для модули через коммутативное кольцо, и для других структур, представляющих интерес в абстрактная алгебра. Это одна из этих более общих конструкций, в которых внешняя алгебра находит одно из своих наиболее важных приложений, где она выступает как алгебра дифференциальные формы это фундаментально в областях, где используется дифференциальная геометрия. Внешняя алгебра также обладает множеством алгебраических свойств, которые делают ее удобным инструментом в самой алгебре. Связь внешней алгебры с векторным пространством - это тип функтор на векторных пространствах, что означает, что он определенным образом совместим с линейные преобразования векторных пространств. Внешняя алгебра - один из примеров биалгебра, что означает, что его двойное пространство также имеет продукт, и этот двойной продукт совместим с внешним продуктом. Эта двойственная алгебра и есть алгебра чередующиеся полилинейные формы, а спаривание между внешней алгеброй и двойственной ей задается интерьерный продукт.

Мотивирующие примеры

Области в самолете

Площадь параллелограмма через определитель матрицы координат двух его вершин.

В Декартова плоскость р² это настоящий векторное пространство с основа состоящий из пары единичные векторы

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Предположим, что

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2},\quad {\mathbf {w} }={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2}}$

пара заданных векторов в р², написанные в компонентах. Есть уникальный параллелограмм, имеющий v и ш как две его стороны. В площадь этого параллелограмма задается стандартным детерминант формула:

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Рассмотрим теперь внешний продукт v и ш:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }&=(a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2})\wedge (c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2})\\&=ac{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+ad{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}+bc{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+bd{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\\&=\left(ad-bc\right){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\end{aligned}}}$

где первый шаг использует закон распределения для внешний продукт, и последний использует тот факт, что внешний продукт чередуется, и в частности е₂ ∧ е₁ = −(е₁ ∧ е₂). (Тот факт, что внешний вид продукта меняется, также заставляет ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0}$.) Обратите внимание, что коэффициент в этом последнем выражении является в точности определителем матрицы [v ш]. Тот факт, что это может быть положительным или отрицательным, интуитивно означает, что v и ш могут быть ориентированы против часовой стрелки или по часовой стрелке как вершины параллелограмма, которые они определяют. Такая зона называется подписанная область параллелограмма: абсолютная величина подписанной области - обычная область, а знак определяет ее ориентацию.

То, что этот коэффициент является подписанной областью, не случайно. Фактически, относительно легко увидеть, что внешний продукт должен быть связан с областью со знаком, если попытаться аксиоматизировать эту область как алгебраическую конструкцию. Подробно, если А (v, ш) обозначает знаковую область параллелограмма, пара векторов которой v и ш образуют две смежные стороны, тогда A должна удовлетворять следующим свойствам:

1. А (рv, sш) = RSА (v, ш) для любых реальных чисел р и s, поскольку изменение масштаба любой из сторон приводит к изменению масштаба области на ту же величину (а изменение направления одной из сторон меняет ориентацию параллелограмма на противоположное).
2. А (v, v) = 0, поскольку площадь выродиться параллелограмм, определяемый v (т.е. отрезок ) равен нулю.
3. А (ш, v) = −A (v, ш), поскольку поменялись ролями v и ш меняет ориентацию параллелограмма.
4. А (v + рш, ш) = А (v, ш) для любого реального числа р, поскольку добавление кратного ш к v не влияет ни на основание, ни на высоту параллелограмма и, следовательно, не сохраняет его площадь.
5. А (е₁, е₂) = 1, поскольку площадь единичного квадрата равна единице.

Перекрестное произведение (синий вектор) по отношению к внешнему продукту (светло-синий параллелограмм). Длина поперечного произведения равна длине параллельного единичного вектора (красный), поскольку размер внешнего продукта соответствует размеру контрольного параллелограмма (светло-красный).

За исключением последнего свойства, внешнее произведение двух векторов удовлетворяет тем же свойствам, что и площадь. В определенном смысле внешний продукт обобщает окончательное свойство, позволяя сравнивать площадь параллелограмма с площадью любого «стандартного» выбранного параллелограмма в параллельной плоскости (здесь параллелограмм со сторонами е₁ и е₂). Другими словами, внешний вид продукта обеспечивает независимый от базиса оформление площади.^[6]

Крестовые и тройные произведения

Для векторов в 3-размерный ориентированный векторное пространство с билинейным скалярное произведение, внешняя алгебра тесно связана с перекрестное произведение и тройное произведение. Используя стандартная основа (е₁, е₂, е₃), внешнее произведение пары векторов

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

и

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

является

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}),}$

куда (е₁ ∧ е₂, е₂ ∧ е₃, е₃ ∧ е₁) является базисом трехмерного пространства Λ²(р³). Коэффициенты выше такие же, как и в обычном определении перекрестное произведение векторов в трех измерениях с заданной ориентацией, единственное отличие состоит в том, что внешний продукт не является обычным вектором, а вместо этого является 2-вектор, и что внешний вид продукта не зависит от выбора ориентации.

Внесение третьего вектора

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

внешнее произведение трех векторов равно

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

куда е₁ ∧ е₂ ∧ е₃ является базисным вектором для одномерного пространства Λ³(р³). Скалярный коэффициент - это тройное произведение из трех векторов.

Перекрестное произведение и тройное произведение в трехмерном евклидовом векторном пространстве допускают геометрическую и алгебраическую интерпретацию. Перекрестное произведение ты × v можно интерпретировать как вектор, перпендикулярный обоим ты и v и величина которого равна площади параллелограмма, определяемой двумя векторами. Его также можно интерпретировать как вектор, состоящий из несовершеннолетние матрицы со столбцами ты и v. Тройное произведение ты, v, иш - скаляр со знаком, представляющий геометрически ориентированный объем. Алгебраически это определитель матрицы со столбцами ты, v, иш. Внешний продукт в трех измерениях допускает аналогичные интерпретации: его также можно идентифицировать с помощью ориентированных линий, областей, объемов и т. Д., Которые охватываются одним, двумя или более векторами. Внешний продукт обобщает эти геометрические понятия на все векторные пространства и на любое количество измерений, даже в отсутствие скалярного произведения.

Формальные определения и алгебраические свойства

Внешняя алгебра Λ (V) векторного пространства V через поле K определяется как фактор-алгебра из тензорная алгебра Т(V) двусторонним идеальный я генерируется всеми элементами формы Икс ⊗ Икс за Икс ∈ V (т.е. все тензоры, которые могут быть выражены как тензорное произведение вектора в V сам по себе).^[7] Идеал я содержит идеал J генерируется элементами формы ${\displaystyle x\otimes y+y\otimes x=(x+y)\otimes (x+y)-x\otimes x-y\otimes y}$ и эти идеалы совпадают, если (и только если) ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$:

${\displaystyle I\supseteq J{\text{ with equality iff }}\operatorname {char} (K)\neq 2}$.

Мы определяем

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I}$

Внешний вид продукта ∧ двух элементов Λ (V) - произведение, индуцированное тензорным произведением ⊗ из Т(V). То есть, если

${\displaystyle \pi :T(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I}$

это каноническая сюръекция, и а и б находятся в Λ (V), то есть ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ в Т(V) такой, что ${\displaystyle a=\pi (\alpha )}$ и ${\displaystyle b=\pi (\beta ),}$ и

${\displaystyle a\wedge b=\pi (\alpha \otimes \beta ).}$

Из определения фактор-алгебры следует, что значение ${\displaystyle a\wedge b}$ не зависит от конкретного выбора ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. У нас (по всем характеристикам) ${\displaystyle x\otimes y=-y\otimes x{\bmod {I}}}$.

В качестве Т⁰ = K, Т¹ = V, и ${\displaystyle \left(T^{0}(V)\oplus T^{1}(V)\right)\cap I=\{0\}}$, включения K и V в Т(V) вызвать инъекции K и V в Λ (V). Эти инъекции обычно рассматриваются как включения и называются естественные вложения, естественные инъекции или же природные включения. Слово канонический также обычно используется вместо естественный.

Альтернативный продукт

Внешний вид продукта по конструкции чередование по элементам V, что обозначает Икс ∧ Икс = 0 для всех Икс ∈ V, по приведенной выше конструкции. Отсюда следует, что продукт также антикоммутативный по элементам V, для предположения, что Икс, у ∈ V,

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

следовательно

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

В более общем смысле, если σ это перестановка целых чисел [1, ..., k], и Икс₁, Икс₂, ..., Икс_k являются элементами V, следует, что

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn} (\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

где sgn (σ) это подпись перестановки σ.^[8]

В частности, если Икс_я = Икс_j для некоторых я ≠ j, то имеет место и следующее обобщение альтернированности:

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Внешняя мощность

В kth внешняя сила из V, обозначим Λ^k(V), это векторное подпространство из Λ (V) охватывал по элементам формы

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k.}$

Если α ∈ Λ^k(V), тогда α считается k-вектор. Если, кроме того, α может быть выражено как внешний продукт k элементы V, тогда α как говорят разложимый. Хотя разложимый k-векторы охватывают Λ^k(V), не каждый элемент Λ^k(V) разложима. Например, в р⁴, следующий 2-вектор не разложим:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

(Это симплектическая форма, поскольку α ∧ α ≠ 0.^[9])

Основа и размер

Если измерение из V является п и { е₁, ..., е_п } это основа за V, то множество

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots n~~{\text{ and }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

это основа для Λ^k(V). Причина в следующем: учитывая любое внешнее изделие вида

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

каждый вектор v_j можно записать как линейная комбинация базисных векторов е_я; используя билинейность внешнего произведения, это можно расширить до линейной комбинации внешних произведений этих базисных векторов. Любой внешний продукт, в котором один и тот же базисный вектор встречается более одного раза, равен нулю; любой внешний продукт, в котором базисные векторы не появляются в правильном порядке, может быть переупорядочен, меняя знак всякий раз, когда два базисных вектора меняются местами. В общем, полученные коэффициенты базиса k-векторы могут быть вычислены как несовершеннолетние из матрица который описывает векторы v_j с точки зрения основы е_я.

Подсчитав базовые элементы, размерность Λ^k(V) равно a биномиальный коэффициент:

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)={\binom {n}{k}}\,.}$

куда п это размер векторов, и k количество векторов в произведении. Биномиальный коэффициент дает правильный результат даже в исключительных случаях; особенно, Λ^k(V) = { 0 } за k > п.

Любой элемент внешней алгебры можно записать как сумму k-векторы. Следовательно, как векторное пространство внешняя алгебра является прямая сумма

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V)}$

(где по соглашению Λ⁰(V) = K, то поле лежащий в основе V, и Λ¹(V) = V), поэтому его размерность равна сумме биномиальных коэффициентов, которая равна 2^п.

Ранг k-вектор

Если α ∈ Λ^k(V), то можно выразить α как линейная комбинация разложимых k-векторы:

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

где каждый α^(я) разложим, скажем

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

В классифицировать из k-вектор α - минимальное количество разложимых k-векторы в таком расширении α. Это похоже на понятие тензорный ранг.

Ранг особенно важен при изучении 2-векторов (Штернберг 1964, §III.6) (Bryant et al. 1991 г. ). Ранг 2-вектора α можно отождествить с половиной ранг матрицы коэффициентов α в основе. Таким образом, если е_я это основа для V, тогда α можно однозначно выразить как

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

куда а_ij = −а_джи (матрица коэффициентов имеет вид кососимметричный ). Ранг матрицы а_ij поэтому четно и в два раза выше ранга формы α.

В характеристике 0 2-вектор α имеет звание п если и только если

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$ и ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Градуированная структура

Внешний продукт k-вектор с п-вектор - это (k + п)-vector, снова вызывая билинейность. Как следствие, разложение в прямую сумму предыдущего раздела

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

дает внешней алгебре дополнительную структуру градуированная алгебра, то есть

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{k+p}(V).}$

Более того, если K - базовое поле, имеем

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

Внешний продукт оценивается как антикоммутативный, что означает, что если α ∈ Λ^k(V) и β ∈ Λ^п(V), тогда

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Помимо изучения градуированной структуры внешней алгебры, Бурбаки (1989) изучает дополнительные градуированные структуры на внешних алгебрах, например, на внешней алгебре градуированный модуль (модуль, который уже имеет свою градацию).

Универсальная собственность

Позволять V быть векторным пространством над полем K. Неформально умножение в Λ (V) выполняется путем манипулирования символами и наложения распределительный закон, ассоциативный закон, и используя идентификатор v ∧ v = 0 за v ∈ V. Формально, Λ (V) является «самой общей» алгеброй, в которой эти правила выполняются для умножения в том смысле, что любая ассоциативная единица K-алгебра, содержащая V с попеременным умножением на V должен содержать гомоморфный образ Λ (V). Другими словами, внешняя алгебра имеет следующие универсальная собственность:^[10]

Учитывая любую единую ассоциативную K-алгебра А и любой K-линейная карта j : V → А такой, что j(v)j(v) = 0 для каждого v в V, то существует ровно один единый гомоморфизм алгебр ж : Λ (V) → А такой, что j(v) = ж(я(v)) для всех v в V (здесь я является естественным включением V в Λ (V)см. выше).

Чтобы построить наиболее общую алгебру, содержащую V и чье умножение чередуется на V, естественно начать с наиболее общей ассоциативной алгебры, содержащей V, то тензорная алгебра Т(V), а затем применить свойство чередования, взяв подходящий частное. Таким образом, мы берем двусторонний идеальный я в Т(V) генерируется всеми элементами формы v ⊗ v за v в V, и определим Λ (V) как частное

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I\ }$

(и используйте ∧ как символ умножения в Λ (V)). Тогда несложно показать, что Λ (V) содержит V и удовлетворяет вышеуказанному универсальному свойству.

Как следствие этой конструкции, операция присвоения векторному пространству V его внешняя алгебра Λ (V) это функтор от категория векторных пространств в категорию алгебр.

Вместо того, чтобы определять Λ (V) сначала, а затем выявление внешних сил Λ^k(V) как определенные подпространства, можно альтернативно определить пространства Λ^k(V) сначала, а затем объедините их, чтобы сформировать алгебру Λ (V). Этот подход часто используется в дифференциальной геометрии и описан в следующем разделе.

Обобщения

Учитывая коммутативное кольцо р и р-модуль M, мы можем определить внешнюю алгебру Λ (M), как и выше, в качестве подходящего фактора тензорной алгебры Т(M). Он будет удовлетворять аналогичному универсальному свойству. Многие свойства Λ (M) также требуют, чтобы M быть проективный модуль. Если используется конечномерность, свойства дополнительно требуют, чтобы M быть конечно порожденный и проективный. Обобщения наиболее распространенных ситуаций можно найти в Бурбаки (1989).

Внешние алгебры векторные пакеты часто рассматриваются в геометрии и топологии. Нет никаких существенных различий между алгебраическими свойствами внешней алгебры конечномерных векторных расслоений и внешней алгеброй конечно порожденных проективных модулей за счет Теорема Серра – Свона.. Более общие внешние алгебры могут быть определены для снопы модулей.

Альтернативная тензорная алгебра

Если K - поле характеристики 0,^[11] то внешняя алгебра векторного пространства V можно канонически отождествить с векторным подпространством T (V) состоящий из антисимметричные тензоры. Напомним, что внешняя алгебра является фактором T (V) идеалом я создано Икс ⊗ Икс.

Пусть T^р(V) - пространство однородных тензоров степени р. Это натянуто на разложимые тензоры

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

В антисимметризация (или иногда кососимметризация) разложимого тензора определяется равенством

${\displaystyle \operatorname {Alt} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

где сумма берется по симметричная группа перестановок символов {1, ..., р}. Это продолжается посредством линейности и однородности до операции, также обозначаемой Alt, на полной тензорной алгебре T (V). Изображение Alt (T (V)) это переменная тензорная алгебра, обозначим A (V). Это векторное подпространство в T (V), и оно наследует структуру градуированного векторного пространства от такового на T (V). Он несет ассоциативно оцененный продукт ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ определяется

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Хотя это произведение отличается от тензорного произведения, ядро Alt это именно идеал я (опять же, предполагая, что K имеет характеристику 0), и существует канонический изоморфизм

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Обозначение индекса

Предположим, что V имеет конечную размерность п, и это основа е₁, ..., е_п из V дано. то любой знакопеременный тензор т ∈ A^р(V) ⊂ Т^р(V) можно записать в индексное обозначение в качестве

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

куда т^{я₁⋅⋅⋅я_р} является полностью антисимметричный в его индексах.

Внешнее произведение двух чередующихся тензоров т и s рангов р и п дан кем-то

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Компоненты этого тензора - это в точности скошенная часть компонент тензорного произведения s ⊗ т, обозначаемые квадратными скобками на индексах:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

Предмет интерьера также может быть описан в индексных обозначениях следующим образом. Позволять ${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ - антисимметричный тензор ранга р. Тогда для α ∈ V^∗, я_αт знакопеременный тензор ранга р − 1, данный

${\displaystyle (i_{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

куда п это размер V.

Двойственность

Альтернативные операторы

Учитывая два векторных пространства V и Икс и натуральное число k, альтернативный оператор из V^k к Икс это многолинейная карта

${\displaystyle f\colon V^{k}\to X}$

так что всякий раз, когда v₁, ..., v_k находятся линейно зависимый векторов в V, тогда

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

Карта

${\displaystyle w\colon V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

который ассоциируется с k векторов из V их внешний продукт, т.е. их соответствующий k-вектор, тоже чередующийся. Фактически, это отображение является «самым общим» альтернативным оператором, определенным на V^k; учитывая любой другой альтернативный оператор ж : V^k → Икс, существует единственный линейная карта φ : Λ^k(V) → Икс с ж = φ ∘ ш. Этот универсальная собственность характеризует пространство Λ^k(V) и может служить его определением.

Чередующиеся полилинейные формы

Геометрическая интерпретация для внешний продукт из п 1-формы (ε, η, ω) для получения п-form ("сетка" координатные поверхности, вот самолеты),^[12] за п = 1, 2, 3. Шоу "тиражи" ориентация.^[13][14]

Приведенное выше обсуждение специализируется на случае, когда Икс = K, базовое поле. В этом случае переменная полилинейная функция

${\displaystyle f:V^{k}\to K\ }$

называется переменная полилинейная форма. Набор всех чередование полилинейные формы является векторным пространством, так как сумма двух таких отображений или произведение такого отображения на скаляр снова чередуются. В силу универсального свойства внешней силы пространство переменных форм степени k на V является естественно изоморфен двойное векторное пространство (Λ^kV)^∗. Если V конечномерна, то последняя естественно изоморфна Λ^k(V^∗). В частности, если V является п-мерный, размерность пространства чередующихся отображений из V^k к K это биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

Под этой идентификацией внешний продукт принимает конкретную форму: он производит новую антисимметричную карту из двух данных. Предполагать ω : V^k → K и η : V^м → K два антисимметричных отображения. Как и в случае с тензорные произведения мультилинейных карт количество переменных в их внешнем произведении равно сумме номеров их переменных. Это определяется следующим образом:^[15]

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

где чередование Alt полилинейной карты определяется как среднее значение скорректированных по знаку значений по всем перестановки его переменных:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Это определение внешнего продукта четко определено, даже если поле K имеет конечная характеристика, если рассматривать эквивалентную версию вышеперечисленного, в которой не используются факториалы или какие-либо константы:

${\displaystyle {\omega \wedge \eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in Sh_{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

где здесь Ш_k,м ⊂ S_k+м это подмножество (k,м) перемешивает: перестановки σ из набора {1, 2, ..., k + м} такой, что σ(1) < σ(2) < ... < σ(k), и σ(k + 1) < σ(k + 2) < ... < σ(k + м).

Интерьерный продукт

Смотрите также: Интерьерный продукт

Предположим, что V конечномерна. Если V^∗ обозначает двойное пространство в векторное пространство V, то для каждого α ∈ V^∗, можно определить антидеривация на алгебре Λ (V),

${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{k}V\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k-1}V.}$

Этот вывод называется интерьерный продукт с α, или иногда оператор вставки, или же сокращение к α.

Предположим, что ш ∈ Λ^kV. потом ш является полилинейным отображением V^∗ к K, поэтому он определяется своими значениями на k-складывать Декартово произведение V^∗ × V^∗ × ... × V^∗. Если ты₁, ты₂, ..., ты_k−1 находятся k − 1 элементы V^∗, затем определим

${\displaystyle (i_{\alpha }{\mathbf {w} })(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})={\mathbf {w} }(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Кроме того, пусть я_αж = 0 в любое время ж является чистым скаляром (т. е. принадлежащим Λ⁰V).

Аксиоматическая характеристика и свойства

Изделие для интерьера обладает следующими свойствами:

1. Для каждого k и каждый α ∈ V^∗,

   ${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{k}V\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k-1}V.}$

   (Условно, Λ⁻¹V = {0}.)

2. Если v является элементом V (= Λ¹V), тогда я_αv = α(v) является двойным спариванием между элементами V и элементы V^∗.
3. Для каждого α ∈ V^∗, я_α это дифференцированный вывод степени −1:

   ${\displaystyle i_{\alpha }(a\wedge b)=(i_{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (i_{\alpha }b).}$

Этих трех свойств достаточно, чтобы охарактеризовать продукт интерьера, а также определить его в общем бесконечномерном случае.

К другим свойствам предмета интерьера относятся:

• ${\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\beta }=-i_{\beta }\circ i_{\alpha }.}$

Двойственность Ходжа

Основная статья: Звездный оператор Ходжа

Предположим, что V имеет конечную размерность п. Тогда внутреннее произведение индуцирует канонический изоморфизм векторных пространств

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V)}$

по рекурсивному определению

${\displaystyle i_{\alpha \wedge \beta }=i_{\beta }\circ i_{\alpha }.}$

В геометрической постановке ненулевой элемент верхней внешней мощности Λ^п(V) (которое является одномерным векторным пространством) иногда называют объемная форма (или же форма ориентации, хотя этот термин иногда может приводить к двусмысленности). Форма ориентации имени происходит из того факта, что выбор предпочтительного верхнего элемента определяет ориентацию всей внешней алгебры, поскольку это равносильно фиксации упорядоченного базиса векторного пространства. Относительно предпочтительной формы объема σ, изоморфизм между элементом ${\displaystyle \alpha \in \wedge ^{k}(V^{*})}$и его двойственный по Ходжу явно задается формулой

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V):\alpha \mapsto i_{\alpha }\sigma .}$

Если, помимо формы объема, векторное пространство V оснащен внутренний продукт идентификация V с V^∗, то полученный изоморфизм называется Звездный оператор Ходжа, который отображает элемент в его Ходж Дуал:

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V).}$

Состав ${\displaystyle \star }$ с собой карты Λ^k(V) → Λ^k(V) и всегда является скалярным кратным карте идентичности. В большинстве случаев объемная форма совместима с внутренним продуктом в том смысле, что это внешний продукт ортонормированный базис из V. В этом случае,

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

где id - отображение идентичности, а внутренний продукт имеет метрическая подпись (п, q) — п плюсы и q минусы.

Внутренний продукт

За V конечномерное пространство, внутренний продукт (или псевдоевклидов внутренний продукт) на V определяет изоморфизм V с V^∗, а значит, и изоморфизм Λ^kV с (Λ^kV)^∗. Соединение этих двух пространств также принимает форму внутреннего продукта. О разложимых k-векторы,

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det(\langle v_{i},w_{j}\rangle ),}$

определитель матрицы внутренних продуктов. В частном случае v_я = ш_я, внутренний продукт - это квадратная норма k-вектор, заданный определителем Матрица грамиана (⟨v_я, v_j⟩). Затем это продолжается билинейно (или полуторалинейно в комплексном случае) до невырожденного скалярного произведения на Λ^kV. Если е_я, я = 1, 2, ..., п, для мужчин ортонормированный базис из V, то векторы вида

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

составляют ортонормированный базис для Λ^k(V).

Нетрудно показать, что для векторов v₁, v₂, ... v_k в R^п, ‖V₁∧v₂∧ ... ∧v_k‖ - объем параллелепипеда, натянутого на эти векторы.

Что касается внутреннего произведения, внешнее умножение и внутреннее произведение взаимно сопряжены. В частности, для v ∈ Λ^k−1(V), ш ∈ Λ^k(V), и Икс ∈ V,

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,i_{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

куда Икс^♭ ∈ V^∗ это музыкальный изоморфизм, линейный функционал, определяемый формулой

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

для всех у ∈ V. Это свойство полностью характеризует внутреннее произведение на внешней алгебре.

Действительно, в более общем плане для v ∈ Λ^k−л(V), ш ∈ Λ^k(V), и Икс ∈ Λ^л(V), итерация указанных выше сопряженных свойств дает

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,i_{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где сейчас Икс^♭ ∈ Λ^л(V^∗) ≃ (Λ^л(V))^∗ дуальный л-вектор, определяемый

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

для всех у ∈ Λ^л(V).

Клиффорд продукт

Смотрите также: Алгебра Клиффорда § Скалярное произведение Клиффорда

Для внешней алгебры, снабженной внутренним произведением, как указано выше, Клиффорд продукт вектора Икс ∈ V и ш ∈ Λ^п(V) определяется

${\displaystyle x\mathbf {w} =x\wedge \mathbf {w} +i_{x^{\flat }}\mathbf {w} }$

Этот продукт делает нет уважать ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ градуировка внешней алгебры, в которой ${\displaystyle x\wedge \mathbf {w} \in \Lambda ^{n+1}}$ пока ${\displaystyle i_{x^{\flat }}\mathbf {w} \in \Lambda ^{n-1};}$ продукт как повышает, так и понижает степень. Произведение Клиффорда поднимается на всю внешнюю алгебру, так что для Икс ∈ Λ^k(V), это дается

${\displaystyle \mathbf {xw} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {w} +(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }i_{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} }$

куда ${\displaystyle \lfloor m\rfloor }$ обозначает функция пола, целая часть ${\displaystyle m}$. Подъем выполняется так же, как описано в предыдущем разделе. Более абстрактно, можно использовать лемму, применимую к бесплатные объекты: любой гомоморфизм, определенный на подмножестве свободная алгебра можно поднять на всю алгебру; внешняя алгебра свободна, поэтому лемма применима. Внешняя алгебра, снабженная произведением Клиффорда, называется Алгебра Клиффорда. Это соответствует тому же определению, что и в статье о Алгебры Клиффорда можно проверить, взяв билинейная форма ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )}$ другой статьи будет ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle .}$ При соответствующей артикуляции элементы алгебры Клиффорда можно понимать как спиноры, а произведение Клиффорда используется для определения действия вектора на спинор.

Внешняя алгебра также имеет ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ оценка, которую продукт Clifford уважает. В тензорная алгебра имеет антиавтоморфизм, называется реверсией или транспонировать, что задается картой

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}}$

за ${\displaystyle v_{i}\in V.}$ Изучая конструкцию внешней алгебры через альтернированную тензорную алгебру ${\displaystyle \operatorname {Alt} (V)}$ Как указано выше, реверсия, применяемая к чередующемуся продукту, является «просто» изменением знака или нет, в зависимости от степени:

${\displaystyle \mathbf {w} ^{t}=(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }\mathbf {w} =(-1)^{k(k-1)/2}\mathbf {w} }$

Транспонирование разбивает внешнюю алгебру на четную и нечетную части. Эта классификация разделяет внутренний продукт на два отдельных продукта. Левое сокращение определяется как

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \lrcorner \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} ^{t}\wedge \mathbf {w} \rangle }$

пока правильное сокращение дан кем-то

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \llcorner \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \wedge \mathbf {w} ^{t}\rangle }$

Эти два сокращения связаны как

${\displaystyle \mathbf {x} \lrcorner \mathbf {v} =-\mathbf {v} ^{t}\llcorner \mathbf {x} }$

Тогда произведение Клиффорда можно записать как

${\displaystyle \mathbf {xw} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {w} +\mathbf {x} \lrcorner \mathbf {w} }$

В физике чередующиеся тензоры четной степени соответствуют (вейлевским) спинорам (эта конструкция подробно описана в Алгебра Клиффорда ), из которых построены спиноры Дирака. Когда спиноры записываются с использованием записи столбец / строка, транспонирование становится просто обычным транспонированием; левое и правое сокращение можно интерпретировать как левое и правое сокращение Матрицы Дирака против спиноров Дирака. Основная полезность градуировки состоит в том, чтобы классифицировать алгебраические свойства относительно ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ выставление оценок; например, в Картановское разложение, где, грубо говоря, сопряжение Клиффорда соответствует Инволюция Картана.

Структура биалгебры

Существует соответствие между градуированными двойственными градуированными алгебрами Λ (V) и чередующиеся полилинейные формы на V. Внешняя алгебра (а также симметрическая алгебра ) наследует структуру биалгебры, и, действительно, Алгебра Хопфа структура, из тензорная алгебра. См. Статью о тензорные алгебры для детального рассмотрения темы.

Определенное выше внешнее произведение полилинейных форм двойственно сопродукт определенный на Λ (V), давая структуру коалгебра. В сопродукт является линейной функцией Δ: Λ (V) → Λ (V) ⊗ Λ (V) который дается

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

на элементах v∈V. Символ 1 обозначает единичный элемент поля. K. Напомним, что K ⊂ Λ (V), так что вышесказанное действительно лежит в Λ (V) ⊗ Λ (V). Это определение копроизведения поднимается до полного пространства Λ (V) по (линейному) гомоморфизму. Правильная форма этого гомоморфизма - это не то, что можно наивно написать, но она должна быть тщательно определена в коалгебра статья. В этом случае получаем

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Подробно раскрывая это, мы получаем следующее выражение для разложимых элементов:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p+1,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (0)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

где второе суммирование ведется по всем (п+1, k−п)-тасовка. Вышеупомянутое написано с помощью нотации, чтобы отслеживать элемент поля 1: трюк состоит в том, чтобы написать ${\displaystyle x_{0}=1}$, и это перетасовывается в различные места во время расширения суммы путем перемешивания. Перемешивание следует непосредственно из первой аксиомы коалгебры: относительный порядок элементов ${\displaystyle x_{k}}$ является сохранился в случайном порядке: при случайном воспроизведении упорядоченная последовательность просто разбивается на две упорядоченные последовательности, одну слева и одну справа.

Заметим, что копроизведение сохраняет градуировку алгебры. Продолжая до полного пространства Λ (V), надо

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

Символ тензора ⊗, используемый в этом разделе, следует понимать с некоторой осторожностью: это нет тот же символ тензора, который используется в определении чередующегося произведения. Интуитивно, пожалуй, проще всего представить его просто еще одним, но другим тензорным произведением: оно все еще (би-) линейное, каким должно быть тензорное произведение, но это произведение, подходящее для определения биалгебры, которое есть для создания объекта Λ (V) ⊗ Λ (V). Любые сохраняющиеся сомнения можно развеять, если поразмыслить над равенствами (1 ⊗ v) ∧ (1 ⊗ ш) = 1 ⊗ (v ∧ ш) и (v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ ш) = v ⊗ ш, которые следуют из определения коалгебры, в отличие от наивных манипуляций с использованием символов тензора и клина. Более подробно это различие раскрывается в статье о тензорные алгебры. Здесь проблема гораздо меньше, поскольку знакопеременное произведение Λ явно соответствует умножению в биалгебре, оставляя символ ⊗ свободным для использования в определении биалгебры. На практике это не представляет особой проблемы, если избежать фатальной ловушки замены чередующихся сумм символом клина, за одним исключением. Из ⊗ можно построить чередующийся продукт, понимая, что он работает в другом пространстве. Сразу ниже приведен пример: чередующийся продукт для двойное пространство может быть дано в терминах сопродукта. Конструкция биалгебры здесь параллельна конструкции в тензорная алгебра статья почти точно, за исключением того, что нужно правильно отслеживать знакопеременность внешней алгебры.

С точки зрения копродукта, внешний продукт в двойном пространстве является просто градуированным двойственным продуктом:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

где тензорное произведение в правой части представляет собой полилинейные линейные отображения (расширенные нулем на элементы несовместимой однородной степени: точнее, α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ, куда ε это округ, как определено в настоящее время).

В графство гомоморфизм ε : Λ (V) → K который возвращает компонент своего аргумента с нулевой оценкой. Совместный продукт и продукт вместе с внешним продуктом определяют структуру биалгебра по внешней алгебре.

С антипод определяется на однородных элементах ${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$, внешняя алгебра, кроме того, Алгебра Хопфа.^[16]

Функциональность

Предположим, что V и W являются парой векторных пространств и ж : V → W это линейная карта. Тогда по универсальному свойству существует единственный гомоморфизм градуированных алгебр

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

такой, что

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{1}(W).}$

В частности, Λ (ж) сохраняет однородную степень. В k-градуированные компоненты Λ (ж) задаются на разложимых элементах

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Позволять

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k}(W).}$

Компоненты преобразования Λ^k(ж) относительно основы V и W матрица k × k несовершеннолетние ж. В частности, если V = W и V имеет конечную размерность п, то Λ^п(ж) является отображением одномерного векторного пространства Λ^пV самому себе, и поэтому задается скаляром: детерминант из ж.

Точность

Если ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$ это короткая точная последовательность векторных пространств, то

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

- точная последовательность градуированных векторных пространств,^[17] как есть

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[18]

Прямые суммы

В частности, внешняя алгебра прямой суммы изоморфна тензорному произведению внешних алгебр:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Это градуированный изоморфизм; т.е.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{q}(W).}$

В более общем плане, если ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$ короткая точная последовательность векторных пространств, то Λ^k(V) имеет фильтрация

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{k}(V)}$

с частными

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}={\textstyle \bigwedge }^{k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{p}(W).}$

В частности, если U одномерно, то

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(W)\to 0}$

точно, и если W одномерно, то

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k-1}(U)\otimes W\to 0}$

точно.^[19]

Приложения

Линейная алгебра

В приложениях к линейная алгебра, внешний продукт обеспечивает абстрактный алгебраический способ описания детерминант и несовершеннолетние из матрица. Например, хорошо известно, что определитель квадратной матрицы равен объему параллелоэдра, стороны которого являются столбцами матрицы (со знаком для отслеживания ориентации). Это говорит о том, что определитель может быть определенный в терминах внешнего произведения векторов-столбцов. Точно так же k × k миноры матрицы можно определить, глядя на внешние произведения выбранных векторов-столбцов k вовремя. Эти идеи можно распространить не только на матрицы, но и на линейные преобразования а также: детерминант линейного преобразования - это коэффициент, с помощью которого он масштабирует ориентированный объем любого заданного эталонного параллелоэдра. Таким образом, детерминант линейного преобразования может быть определен в терминах того, что преобразование делает с высшей внешней мощностью. Действие трансформации на меньшие внешние силы дает основа -независимый способ рассказать о несовершеннолетних трансформации.

Технические детали: Определения

Позволять^[20] ${\displaystyle V}$ быть п-мерное векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ с основанием ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$.

• За ${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$, определять ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$ на простых тензорах

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k})=Av_{1}\wedge \cdots \wedge Av_{k}}$

и расширим определение линейно на все тензоры. В более общем плане мы можем определить ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{p}V),(p\geq k)}$ на простых тензорах

${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}\right)(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{p})=\sum _{0\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq p}v_{1}\wedge \cdots \wedge Av_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge Av_{i_{k}}\wedge \cdots \wedge v_{p}}$

т.е. выбрать k компоненты, на которых А будет действовать, а затем суммировать все результаты, полученные в результате различных выборов. Если ${\displaystyle p<k}$, определять ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}=0}$. С ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}V}$ одномерно с базисом ${\displaystyle e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$, мы можем идентифицировать ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$ с уникальным номером ${\displaystyle \kappa \in K}$ удовлетворение

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=\kappa (e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}).}$

• За ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{p}V)}$определить внешний транспонировать ${\displaystyle \varphi ^{\mathrm {T} }\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{n-p}V)}$ быть единственным оператором, удовлетворяющим

${\displaystyle \forall \omega _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{p}V,\omega _{n-p}\in {\textstyle \bigwedge }^{n-p}V,(\varphi ^{\mathrm {T} }\omega _{n-p})\wedge \omega _{p}=\omega _{n-p}\wedge (\varphi \omega _{p})}$

• За ${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$, определять ${\displaystyle \det A={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n},\operatorname {Tr} (A)={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{1},\operatorname {adj} A=({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-1})^{\mathrm {T} }}$. Эти определения эквивалентны другим версиям.

Основные свойства

Все результаты, полученные из других определений определителя, следа и сопряженного, могут быть получены из этого определения (поскольку эти определения эквивалентны). Вот некоторые основные свойства, связанные с этими новыми определениями:

• ${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {T} }}$ является ${\displaystyle K}$-линейный.

• ${\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}$

• У нас есть канонический изоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :\operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)\cong \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{n-k}V)\\A\mapsto A^{\mathrm {T} }\end{cases}}}$

Однако канонического изоморфизма между ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$ и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-k}V.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}A\right)={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}.}$ Элементы транспонированной матрицы ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A}$ находятся ${\displaystyle k\times k}$-миноры ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle \forall k\leqslant n-1,p\leqslant k,A\in \operatorname {End} (V),}$

${\displaystyle \sum _{q=0}^{p}\left({\textstyle \bigwedge }^{n-k}A^{p-q}\right)^{\mathrm {T} }\left({\textstyle \bigwedge }^{k}A^{q}\right)=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}\right)\operatorname {Id} \in \operatorname {End} (V).}$

Особенно,

${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p-1}\right)^{\mathrm {T} }A+\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}\right)\operatorname {Id} }$

и поэтому

${\displaystyle (\operatorname {adj} A)A=\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-1}\right)^{\mathrm {T} }A=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n}\right)\operatorname {Id} =(\det A)\operatorname {Id} .}$

• ${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }=\sum _{q=0}^{p}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p-q}\right)(-A)^{q}=\sum _{q=0}^{p}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{p-q}A\right)(-A)^{q}.}$

Особенно,

${\displaystyle \operatorname {adj} A=\sum _{q=0}^{n-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-q-1}\right)(-A)^{q}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}\operatorname {adj} A\right)={\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}=(\det A)^{k-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\right)=(\det A)^{k-1}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{n-k}A\right).}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{k}\right)^{\mathrm {T} }\right)=(n-k){\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}=(n-k)\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{p}A\right).}$

• Характеристический многочлен ${\displaystyle \operatorname {ch} _{A}(t)}$ из ${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$ может быть дан

${\displaystyle \operatorname {ch} _{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}A\right)(-t)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}\right)(-t)^{n-k}.}$

По аналогии,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\operatorname {adj} A}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}\right)(-t)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(\det A)^{k-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\right)(-t)^{n-k}}$

Алгоритм Леверье

Смотрите также: Алгоритм Фаддеева – Леверье

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$ - коэффициенты при ${\displaystyle (-t)^{n-k}}$ члены характеристического полинома. Они также появляются в выражениях ${\textstyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }}$ и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}}$. Алгоритм Леверье^[21] это экономичный способ вычисления ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$ и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{k}}$:

Набор ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{0}=1}$;

За ${\displaystyle k=n-1,n-2,\ldots ,1,0}$,

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}={\frac {1}{n-k}}\operatorname {Tr} (A\circ {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k-1});}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k}={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\cdot \operatorname {Id} -A\circ {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k-1}.}$

Физика

Основная статья: Электромагнитный тензор

В физике многие величины естественно представлены знакопеременными операторами. Например, если движение заряженной частицы описывается векторами скорости и ускорения в четырехмерном пространстве-времени, то нормализация вектора скорости требует, чтобы электромагнитная сила была переменным оператором скорости. Его шесть степеней свободы отождествляются с электрическим и магнитным полями.

Линейная геометрия

Разложимый k-векторы имеют геометрическую интерпретацию: бивектор ты ∧ v представляет собой плоскость, натянутую на векторы, «взвешенные» числом, заданным площадью ориентированного параллелограмм с боками ты и v. Аналогично, 3-вектор ты ∧ v ∧ ш представляет собой натянутое 3-мерное пространство, взвешенное по объему ориентированного параллелепипед с краями ты, v, и ш.

Проективная геометрия

Разлагаемый k-векторы в Λ^kV соответствуют взвешенным k-размерный линейные подпространства из V. В частности, Грассманиан из k-мерные подпространства V, обозначенный Gr_k(V), можно естественным образом отождествить с алгебраическое подмногообразие из проективное пространство п(Λ^kV). Это называется Плюккеровское вложение.

Дифференциальная геометрия

Внешняя алгебра имеет заметные приложения в дифференциальная геометрия, где он используется для определения дифференциальные формы.^[22] Дифференциальные формы - это математические объекты, которые оценивают длину векторов, площади параллелограммов и объемы многомерные тела, так что они могут быть интегрированный над кривыми, поверхностями и многомерными коллекторы таким образом, чтобы обобщить линейные интегралы и поверхностные интегралы из исчисления. А дифференциальная форма в точке дифференцируемое многообразие - знакопеременная полилинейная форма на касательное пространство в точку. Эквивалентно дифференциальная форма степени k это линейный функционал на k-я внешняя степень касательного пространства. Как следствие, внешний продукт полилинейных форм определяет естественный внешний продукт дифференциальных форм. Дифференциальные формы играют важную роль в различных областях дифференциальной геометрии.

В частности, внешняя производная дает внешней алгебре дифференциальных форм на многообразии структуру дифференциальная градуированная алгебра. Внешняя производная коммутирует с откат вдоль гладких отображений между многообразиями, и поэтому естественный дифференциальный оператор. Внешняя алгебра дифференциальных форм, снабженная внешней производной, является коцепьевой комплекс когомологии которых называются когомологии де Рама нижележащего многообразия и играет жизненно важную роль в алгебраическая топология дифференцируемых многообразий.

Теория представлений

В теория представлений, внешняя алгебра является одной из двух фундаментальных Функторы Шура на категории векторных пространств, другой - симметрическая алгебра. Вместе эти конструкции используются для создания неприводимые представления из общая линейная группа; видеть фундаментальное представление.

Суперпространство

Внешняя алгебра над комплексными числами - архетипический пример супералгебра, который играет фундаментальную роль в физических теориях, относящихся к фермионы и суперсимметрия. Отдельный элемент внешней алгебры называется сверхчисло^[23] или же Число Грассмана. Сама внешняя алгебра тогда будет просто одномерной суперпространство: это просто набор всех точек внешней алгебры. Топология на этом пространстве по сути слабая топология, то открытые наборы будучи комплекты цилиндров. An п-мерное суперпространство - это просто п-кратное произведение внешних алгебр.

Гомологии алгебр Ли

Позволять L - алгебра Ли над полем K, то можно определить структуру цепной комплекс на внешней алгебре L. Это K-линейное отображение

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{p+1}L\to {\textstyle \bigwedge }^{p}L}$

определяется на разложимых элементах

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

В Личность Якоби выполняется тогда и только тогда, когда ∂∂ = 0, так что это необходимое и достаточное условие для антикоммутативной неассоциативной алгебры L быть алгеброй Ли. Более того, в этом случае ΛL это цепной комплекс с граничным оператором ∂. В гомология с этим комплексом связана Гомологии алгебр Ли.

Гомологическая алгебра

Внешняя алгебра - главный ингредиент в построении Кошульский комплекс, фундаментальный объект в гомологическая алгебра.

История

Внешняя алгебра была впервые введена Герман Грассманн в 1844 г. под общим сроком Ausdehnungslehre, или же Теория расширения.^[24]В более общем смысле это относилось к алгебраической (или аксиоматической) теории расширенных величин и было одним из первых предшественников современного понятия векторное пространство. Сен-Венан также опубликовал аналогичные идеи внешнего исчисления, для которых он претендовал на приоритет перед Грассманом.^[25]

Сама алгебра была построена из набора правил или аксиом, отражающих формальные аспекты теории многовекторов Кэли и Сильвестра. Таким образом, это был исчисление, как и пропозициональное исчисление, за исключением сосредоточенного исключительно на задаче формального рассуждения в геометрических терминах.^[26]В частности, эта новая разработка позволила аксиоматический характеристика размера, свойство, которое ранее исследовалось только с координатной точки зрения.

Значение этой новой теории векторов и многовекторы был утерян для математиков середины 19 века,^[27]пока не будет тщательно проверен Джузеппе Пеано в 1888 году. Работы Пеано также оставались несколько неясными до начала века, когда этот предмет был объединен членами французской школы геометрии (особенно Анри Пуанкаре, Эли Картан, и Гастон Дарбу ), который применил идеи Грассмана к исчислению дифференциальные формы.

Некоторое время спустя Альфред Норт Уайтхед, заимствуя идеи Пеано и Грассмана, представил свой универсальная алгебра. Это затем проложило путь к развитию 20-го века абстрактная алгебра поставив аксиоматическое понятие алгебраической системы на прочную логическую основу.

Смотрите также

• Тождества внешнего исчисления
• Симметричная алгебра, симметричный аналог
• Алгебра Клиффорда, обобщение внешней алгебры с ненулевым квадратичная форма
• Алгебра Вейля, а квантовая деформация симметрической алгебры на симплектическая форма
• Полилинейная алгебра
• Тензорная алгебра
• Геометрическая алгебра
• Кошульский комплекс
• Сумма клина

Примечания

1. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4.
2. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. стр. 83. ISBN  0-7167-0344-0.
3. Строго говоря, величина зависит от некоторой дополнительной структуры, а именно от того, что векторы находятся в Евклидово пространство. Обычно мы не предполагаем, что эта структура доступна, за исключением тех случаев, когда она помогает развить интуицию по этому вопросу.
4. Грассманн (1844) представил их как расширенный алгебры (ср. Клиффорд 1878 ). Он использовал слово äußere (дословно переводится как внешний, или же внешний вид) только для обозначения продукт он определил, что в наши дни условно называют внешний продукт, наверное, чтобы отличить его от внешний продукт как определено в современном линейная алгебра.
5. Период, термин k-вектор не эквивалентен и не должен путаться с подобными терминами, такими как 4-вектор, что в другом контексте может означать 4-мерный вектор. Меньшая часть авторов использует термин k-мультивектор вместо k-vector, который позволяет избежать этой путаницы.
6. Эта аксиоматизация площадей обусловлена Леопольд Кронекер и Карл Вейерштрасс; видеть Бурбаки (1989b, Историческая справка). Для современного лечения см. Мак Лейн и Биркгоф (1999), Теорема IX.2.2). Для элементарного лечения см. Стрэнг (1993), Глава 5).
7. Мак Лейн и Биркофф (1999)
8. Доказательство этого можно найти в более общем виде в Бурбаки (1989).
9. Видеть Штернберг (1964 г., §III.6).
10. Видеть Бурбаки (1989 г., §III.7.1), и Мак Лейн и Биркофф (1999), Теорема XVI.6.8). Более подробную информацию об универсальных свойствах в целом можно найти в Мак Лейн и Биркгоф (1999), Глава VI), и во всех произведениях Бурбаки.
11. Видеть Бурбаки (1989 г., §III.7.5) для обобщений.
12. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4.
13. Примечание: Показанная здесь ориентация неверна; диаграмма просто дает ощущение, что ориентация определена для каждого k-форма.
14. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 58–60, 83, 100–109, 115–119. ISBN  0-7167-0344-0.
15. Некоторые соглашения, особенно в физике, определяют внешний продукт как

    ${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ).}$

    Это соглашение не принято здесь, но обсуждается в связи с переменные тензоры.
16. Действительно, внешняя алгебра V это обволакивающая алгебра абелева Супералгебра Ли структура на V.
17. Эта часть утверждения имеет место и в большей общности, если V и W являются модулями над коммутативным кольцом: Λ переводит эпиморфизмы в эпиморфизмы. Видеть Бурбаки (1989 г., Предложение 3, §III.7.2).
18. Это утверждение обобщается только на случай, когда V и W являются проективными модулями над коммутативным кольцом. В противном случае, как правило, Λ не переводит мономорфизмы в мономорфизмы. Видеть Бурбаки (1989 г., Следствие из предложения 12, §III.7.9).
19. Такая фильтрация верна и для векторные пакеты, и проективные модули над коммутативным кольцом. Таким образом, это более общий результат, чем приведенный выше результат для прямых сумм, поскольку не каждая короткая точная последовательность разбивается на другие абелевы категории.
20. С.Виницки, Lineaer Algebra через внешние продукты, https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
21. В. Кахан (2009), Нормальная форма Джордана. https://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/jordan.pdf
22. Джеймс, А. Т. (1983). «Продукт на клине». В Карлине, Самуэль; Амемия, Такеши; Гудман, Лео А. (ред.). Исследования в области эконометрики, временных рядов и многомерной статистики. Академическая пресса. С. 455–464. ISBN  0-12-398750-4.
23. Брайс ДеВитт, Супермногообразия, (1984) Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-42377-5. (См. Главу 1, стр. 1.)
24. Канненберг (2000) опубликовал перевод работы Грассмана на английский язык; он перевел Ausdehnungslehre в качестве Теория расширений.
25. Дж. Итард, Биография в Словаре научной биографии (Нью-Йорк, 1970–1990).
26. В прошлом авторы называли это исчисление исчисление расширения (Уайтхед 1898; Фордер 1941 ), или же обширная алгебра (Клиффорд 1878 ), а недавно как расширенная векторная алгебра (Браун 2007 ).
27. Бурбаки 1989, п. 661.

Рекомендации

Математические ссылки

• Бишоп, Р.; Гольдберг, С. И. (1980), Тензорный анализ на многообразиях, Дувр, ISBN  0-486-64039-6

Включает рассмотрение чередующихся тензоров и чередующихся форм, а также подробное обсуждение двойственности Ходжа с точки зрения, принятой в этой статье.

• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебра I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9

Это основной математический справочник для статьи. Он вводит внешнюю алгебру модуля над коммутативным кольцом (хотя эта статья специализируется в первую очередь на случае, когда кольцо является полем), включая обсуждение универсального свойства, функториальности, двойственности и структуры биалгебры. См. §III.7 и §III.11.

• Брайант, Р.Л.; Черн, С.С.; Gardner, R. B .; Goldschmidt, H.L .; Гриффитс, П.А. (1991), Внешние дифференциальные системы, Springer-Verlag

Эта книга содержит приложения внешних алгебр к задачам уравнения в частных производных. Ранг и связанные с ним концепции развиты в первых главах.

• Мак-Лейн, С.; Биркгоф, Г. (1999), Алгебра, AMS Челси, ISBN  0-8218-1646-2

В разделах 6–10 главы XVI дается более элементарное описание внешней алгебры, включая двойственность, детерминанты и миноры, а также альтернативные формы.

• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Прентис Холл

Содержит классическое рассмотрение внешней алгебры как переменных тензоров и приложений к дифференциальной геометрии.

Исторические ссылки

• Бурбаки (1989 г., Историческая справка по главам II и III)
• Клиффорд, В. (1878), "Приложения обширной алгебры Грассмана", Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 1 (4): 350–358, Дои:10.2307/2369379, JSTOR  2369379
• Фордер, Х. Г. (1941), Исчисление расширения, Издательство Кембриджского университета
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком) (Теория линейного расширения - новый раздел математики) альтернативная ссылка
• Канненберг, Ллойд (2000), Теория расширений (перевод работы Грассмана Ausdehnungslehre), Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2031-1
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Канненберг, Ллойд (1999), Геометрическое исчисление: согласно Ausdehnungslehre Х. Грассмана, Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4126-9.
• Уайтхед, Альфред Норт (1898), Трактат по универсальной алгебре с приложениями, Кембридж

Другие ссылки и дополнительная литература

• Браун, Дж. М. (2007), Алгебра Грассмана - Изучение приложений расширенной векторной алгебры с Mathematica

Введение во внешнюю алгебру и геометрическая алгебра, с упором на приложения. Также включает раздел истории и библиографию.

• Спивак Михаил (1965), Исчисление на многообразиях, Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-8053-9021-6

Включает приложения внешней алгебры к дифференциальным формам, специально ориентированные на интеграция и Теорема Стокса. Обозначение Λ^kV в этом тексте используется для обозначения пространства чередования k-форма на V; т.е. для Спивака Λ^kV в этой статье мы бы назвали Λ^kV^∗. Спивак обсуждает это в Приложении 4.

• Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру, Wellesley-Cambridge Press, ISBN  978-0-9614088-5-5

Включает элементарное рассмотрение аксиоматизации детерминант как знаковых областей, объемов и многомерных объемов.

• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Внешняя алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Венделл Х. Флеминг (1965) Функции нескольких переменных, Эддисон-Уэсли.

Глава 6: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление, страницы 205–38. Этот учебник в многомерное исчисление искусно вводит внешнюю алгебру дифференциальных форм в последовательность исчислений для колледжей.

• Виницки, С. (2010), Линейная алгебра через внешние продукты

Введение в безкоординатный подход в базовой конечномерной линейной алгебре с использованием внешних произведений.

• Шафаревич, И.; Ремизов, А. О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer. ISBN  978-3-642-30993-9.

Глава 10.Внешнее произведение и внешние алгебры

• «Метод Грассмана в проективной геометрии» Сборник английских переводов трех заметок Чезаре Бурали-Форти о применении внешней алгебры к проективной геометрии
• К. Бурали-Форти, "Введение в дифференциальную геометрию по методу Х. Грассмана" Английский перевод ранней книги о геометрических приложениях внешних алгебр.
• «Механика по принципам теории растяжения» Английский перевод одной из работ Грассмана о приложениях внешней алгебры.