Алгоритм Фаддеева – Леверье - Faddeev–LeVerrier algorithm

Урбен Леверье (1811–1877)
Первооткрыватель Нептун.

По математике (линейная алгебра ), Алгоритм Фаддеева – Леверье это рекурсивный метод расчета коэффициентов характеристический многочлен ${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$ квадрата матрица, А, названный в честь Дмитрий Константинович Фаддеев и Урбен Леверье. Вычисление этого полинома дает собственные значения из А как его корни; как матричный полином от матрицы А сам по себе он исчезает из-за фундаментального Теорема Кэли – Гамильтона. Однако вычисление детерминант является громоздким в вычислительном отношении, тогда как этот эффективный алгоритм вычислительно значительно более эффективен (в Класс сложности ЧПУ ).

Алгоритм был независимо открыт несколько раз в той или иной форме. Впервые он был опубликован в 1840 г. Урбен Леверье, впоследствии переработанный П. Хорстом, Жан-Мари Сурьо, в его нынешнем виде здесь Фаддеев и Соминский, а затем Дж. С. Фрейм и другие.^{[1][2][3][4][5]} (Исторические сведения см. В разделе Householder.^[6] Элегантный ярлык к доказательству в обход Полиномы Ньютона, был представлен Хоу.^[7] Основная часть презентации здесь следует за Gantmacher, p. 88.^[8])

Алгоритм

Цель состоит в том, чтобы вычислить коэффициенты c_k характеристического полинома п×п матрица А,

${\displaystyle p(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}~,}$

где, очевидно, c_п = 1 и c₀ = (−1)^п Det А.

Коэффициенты определяются рекурсивно сверху вниз с помощью вспомогательных матриц M,

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&\equiv 0&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\M_{k}&\equiv AM_{k-1}+c_{n-k+1}I\qquad \qquad &c_{n-k}&=-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (AM_{k})\qquad &k=1,\ldots ,n~.\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle M_{1}=I~,\quad c_{n-1}=-\mathrm {tr} A=-c_{n}\mathrm {tr} A;}$

${\displaystyle M_{2}=A-I\mathrm {tr} A,\quad c_{n-2}=-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}=-{\frac {1}{2}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-1}\mathrm {tr} A);}$

${\displaystyle M_{3}=A^{2}-A\mathrm {tr} A-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}I,}$

${\displaystyle c_{n-3}=-{\tfrac {1}{6}}{\Bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\Bigr )}=-{\frac {1}{3}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{3}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-2}\mathrm {tr} A);}$

так далее.,^[9][10]  ...;

${\displaystyle M_{m}=\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}A^{k-1}~,}$

${\displaystyle c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{m}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{m-1}+...+c_{n-m+1}\mathrm {tr} A)=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\mathrm {tr} A^{k}~;...}$

Наблюдать А⁻¹ = - M_п / c₀ = (−1)^п−1M_п/ detА завершает рекурсию на λ. Это может быть использовано для получения обратного или определителя А.

Вывод

Доказательство опирается на режимы сопряженная матрица, B_k ≡ M_{n − k}, встречающиеся вспомогательные матрицы. Эта матрица определяется как

${\displaystyle (\lambda I-A)B=I~p(\lambda )}$

и, таким образом, пропорционален противовоспалительное средство

${\displaystyle B=(\lambda I-A)^{-1}I~p(\lambda )~.}$

Очевидно, это матричный многочлен от λ степени п-1. Таким образом,

${\displaystyle B\equiv \sum _{k=0}^{n-1}\lambda ^{k}~B_{k}=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}~M_{n-k},}$

где можно определить безобидный M₀≡0.

Подставляя явные полиномиальные формы в определяющее уравнение для сопряженного, выше,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k+1}M_{n-k}-\lambda ^{k}(AM_{n-k}+c_{k}I)=0~.}$

Теперь, в самом высоком порядке, первый член обращается в нуль на M₀= 0; тогда как в нижнем порядке (константа в λ, из определяющего уравнения адъюгата выше),

${\displaystyle M_{n}A=B_{0}A=c_{0}~,}$

так что сдвиг фиктивных индексов первого члена дает

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\lambda ^{k}{\Big (}M_{1+n-k}-AM_{n-k}+c_{k}I{\Big )}=0~,}$

что, таким образом, диктует рекурсию

${\displaystyle \therefore \qquad M_{m}=AM_{m-1}+c_{n-m+1}I~,}$

за м=1,...,п. Обратите внимание, что возрастающий индекс равен убыванию по степеням λ, а полиномиальные коэффициенты c еще предстоит определить с точки зрения Mпесок А.

Проще всего этого добиться с помощью следующего вспомогательного уравнения (Hou, 1998),

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial p(\lambda )}{\partial \lambda }}-np=\operatorname {tr} AB~.}$

Это всего лишь след определяющего уравнения для B посредством Формула Якоби,

${\displaystyle {\frac {\partial p(\lambda )}{\partial \lambda }}=p(\lambda )\sum _{m=0}^{\infty }\lambda ^{-(m+1)}\operatorname {tr} A^{m}=p(\lambda )~\operatorname {tr} {\frac {I}{\lambda I-A}}\equiv \operatorname {tr} B~.}$

Подставляя формы полиномиальных мод в это вспомогательное уравнение, получаем

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\lambda ^{k}{\Big (}kc_{k}-nc_{k}-\operatorname {tr} AM_{n-k}{\Big )}=0~,}$

так что

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}\lambda ^{n-m}{\Big (}mc_{n-m}+\operatorname {tr} AM_{m}{\Big )}=0~,}$

и наконец

${\displaystyle \therefore \qquad c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\operatorname {tr} AM_{m}~.}$

Это завершает рекурсию предыдущего раздела, развернутую в убывающих степенях λ.

Далее отметьте в алгоритме, что, более конкретно,

${\displaystyle M_{m}=AM_{m-1}-{\frac {1}{m-1}}(\operatorname {tr} AM_{m-1})I~,}$

и, в соответствии с Теорема Кэли – Гамильтона,

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(-)^{n-1}M_{n}=(-)^{n-1}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+...+c_{2}A+c_{1}I)=(-)^{n-1}\sum _{k=1}^{n}c_{k}A^{k-1}~.}$

Окончательное решение можно было бы более удобно выразить в терминах полной экспоненциальной Полиномы Белла в качестве

${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{n-k}}{k!}}{\mathcal {B}}_{k}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}.}$

Пример

${\displaystyle {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}3&1&5\\3&3&1\\4&6&4\end{array}}\right]}}$

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&=\left[{\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]\quad &&&c_{3}&&&&&=&1\\M_{\mathbf {\color {blue}1} }&=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]&A~M_{1}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}3} &1&5\\3&\mathbf {\color {red}3} &1\\4&6&\mathbf {\color {red}4} \end{array}}\right]&c_{2}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}1} }}\mathbf {\color {red}10} &&=&-10\\M_{\mathbf {\color {blue}2} }&=\left[{\begin{array}{rrr}-7&1&5\\3&-7&1\\4&6&-6\end{array}}\right]\qquad &A~M_{2}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}2} &26&-14\\-8&\mathbf {\color {red}-12} &12\\6&-14&\mathbf {\color {red}2} \end{array}}\right]\qquad &c_{1}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}2} }}\mathbf {\color {red}(-8)} &&=&4\\M_{\mathbf {\color {blue}3} }&=\left[{\begin{array}{rrr}6&26&-14\\-8&-8&12\\6&-14&6\end{array}}\right]\qquad &A~M_{3}&=\left[{\begin{array}{rrr}\mathbf {\color {red}40} &0&0\\0&\mathbf {\color {red}40} &0\\0&0&\mathbf {\color {red}40} \end{array}}\right]\qquad &c_{0}&&&=-{\frac {1}{\mathbf {\color {blue}3} }}\mathbf {\color {red}120} &&=&-40\end{aligned}}}}$

Более того, ${\displaystyle {\displaystyle M_{4}=A~M_{3}+c_{0}~I=0}}$, что подтверждает приведенные выше расчеты.

Характеристический многочлен матрицы А таким образом ${\displaystyle {\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{3}-10\lambda ^{2}+4\lambda -40}}$; детерминант А является ${\displaystyle {\displaystyle \det(A)=(-1)^{3}c_{0}=40}}$; след 10 = -c₂; и обратное А является

${\displaystyle {\displaystyle A^{-1}=-{\frac {1}{c_{0}}}~M_{3}={\frac {1}{40}}\left[{\begin{array}{rrr}6&26&-14\\-8&-8&12\\6&-14&6\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}0{.}15&0{.}65&-0{.}35\\-0{.}20&-0{.}20&0{.}30\\0{.}15&-0{.}35&0{.}15\end{array}}\right]}}$.

Эквивалентное, но отличное выражение

Компактный определитель м×м-матричное решение для приведенной выше формулы Якоби может альтернативно определять коэффициенты c,^[11][12]

${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$

Смотрите также

• Внешняя алгебра § Алгоритм Леверье
• Формула Якоби
• Определитель Фредгольма

Рекомендации

1. Урбен Леверье: Sur leschanges séculaires des éléments des orbites pour les sept planètes Principales, J. de Math. (1) 5, 230 (1840), В сети
2. Пол Хорст: Метод определения коэффициентов характеристического уравнения. Анна. Математика. Стат. 6 83-84 (1935), Дои:10.1214 / aoms / 1177732612
3. Жан-Мари Сурьо, Метод для спектрального декомпозиции и инверсии матриц, Comptes Rend. 227, 1010-1011 (1948).
4. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский, Сборник задач по вышей алгебре (Задачи по высшей алгебре, Мир, 1972), Москва-Ленинград (1949). Проблема 979.
5. Дж. С. Фрейм: Простая формула рекурсии для обращения матрицы (аннотация), Бык. Являюсь. Математика. Soc. 55 1045 (1949), Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09310-2
6. Домохозяин, Алстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе. Дуврские книги по математике. ISBN  0486449726.
7. Хоу, С. Х. (1998). "Классная записка: простое доказательство алгоритма характеристического полинома Леверье - Фаддеева" Обзор SIAM 40(3) 706-709, Дои:10.1137 / S003614459732076X .
8. Гантмахер, Ф. (1960). Теория матриц. NY: Chelsea Publishing. ISBN  0-8218-1376-5.
9. Заде, Лотфи А. и Десоэр, Чарльз А. (1963, 2008). Теория линейных систем: подход пространства состояний (Мак Гроу-Хилл; Дуврское гражданское строительство и машиностроение) ISBN  9780486466637 , pp 303–305;
10. Абдельжауед, Джунаиди и Ломбарди, Анри (2004). Méthodes matricielles - Введение à la complexité algébrique, (Mathématiques et Applications, 42) Springer, ISBN  3540202471 .
11. Браун, Лоуэлл С. (1994). Квантовая теория поля, Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46946-3, п. 54; Также см. Curtright, T. L., Fairlie, D. B. and Alshal, H. (2012). "A Galileon Primer", arXiv: 1212.6972, раздел 3.
12. Рид, М .; Саймон Б. (1978). Методы современной математической физики. Vol. 4 Анализ операторов. США: ACADEMIC PRESS, INC. Стр. 323–333, 340, 343. ISBN  0-12-585004-2.