Гомоморфизм алгебры - Algebra homomorphism

В математика, гомоморфизм алгебр является гомоморфизм между двумя ассоциативные алгебры. Точнее, если А и B находятся алгебры через поле (или же коммутативное кольцо ) K, это функция ${\displaystyle F\colon A\to B}$ такой, что для всех k в K и Икс, у в А,^[1][2]

• ${\displaystyle F(kx)=kF(x)}$
• ${\displaystyle F(x+y)=F(x)+F(y)}$
• ${\displaystyle F(xy)=F(x)F(y)}$

Первые два условия говорят, что F это K-линейная карта (или же K-модульный гомоморфизм если K коммутативное кольцо), а последнее условие говорит, что F является (неединичным) кольцевой гомоморфизм.

Если F признает обратный гомоморфизм, или, что то же самое, если он биективный, F считается изоморфизм между А и B.

Гомоморфизмы унитальной алгебры

Если А и B две унитальные алгебры, то гомоморфизм алгебр ${\displaystyle F:A\rightarrow B}$ как говорят единый если он отображает единство А к единству B. Часто слова «гомоморфизм алгебры» фактически используются для обозначения «гомоморфизма алгебры с единицей», и в этом случае неунитальные гомоморфизмы алгебры исключаются.

Гомоморфизм унитальной алгебры - это (унитальный) кольцевой гомоморфизм.

Примеры

• Каждое кольцо - это ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгебра, поскольку всегда существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$. Видеть Ассоциативная алгебра # Примеры для объяснения.
• Любой гомоморфизм коммутативных колец ${\displaystyle R\to S}$ дает ${\displaystyle S}$ структура коммутативный р-алгебра. Наоборот, если S коммутативный р-алгебра, карта ${\displaystyle r\mapsto r\cdot 1_{S}}$ является гомоморфизмом коммутативных колец. Несложно сделать вывод, что сверхкатегория коммутативных колец над р совпадает с категорией коммутативных ${\displaystyle R}$-алгебры.
• Если А это подалгебра из B, то для каждого обратимый б в B функция, которая принимает каждый а в А к б⁻¹ а б является гомоморфизмом алгебр (в случае ${\displaystyle A=B}$, это называется внутренним автоморфизмом B). Если А это также просто и B это центральная простая алгебра, то всякий гомоморфизм из А к B дано таким образом некоторыми б в B; это Теорема Сколема – Нётер.

Смотрите также

• Морфизм
• Универсальная алгебра § Основные конструкции
• Спектр кольца
• Увеличение (алгебра)

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN  0-387-95385-X.