Линейный пролет - Linear span

В линейная алгебра, то линейный пролет (также называемый линейный корпус или просто охватывать) из набор S из векторов (из векторное пространство ), обозначенный ${\displaystyle \operatorname {span} (S)}$,^[1] самый маленький линейное подпространство который содержит набор. Его можно охарактеризовать либо как пересечение из всех линейные подпространства которые содержат S, или как набор линейные комбинации элементов S. Таким образом, линейная оболочка набора векторов является векторным пространством. Пролет может быть обобщен на матроиды и модули.

Чтобы выразить это векторное пространство V это часть множества S, обычно используются следующие фразы: S пролеты V; S генерирует V; V охватывает S; V генерируется S; S это набор охвата из V; S это генераторная установка из V.

Определение

Учитывая векторное пространство V через поле K, промежуток набор S векторов (не обязательно бесконечных) определяется как пересечение W из всех подпространства из V которые содержат S. W называется подпространством охватывает S, или векторами в S. Наоборот, S называется набор охвата из W, и мы говорим, что S пролеты W.

В качестве альтернативы диапазон S можно определить как множество всех конечных линейные комбинации элементов (векторов) S, что следует из приведенного выше определения.

${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}\right|k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}$

В частности, если S это конечный подмножество V, то промежуток S - множество всех линейных комбинаций элементов S.^[2][3] В случае бесконечного S, бесконечные линейные комбинации (т. е. когда комбинация может включать бесконечную сумму, предполагая, что такие суммы определены каким-то образом, например, в Банахово пространство ) исключаются по определению; а обобщение что позволяет это не эквивалентно.

Примеры

Заштрихованная плоскость - это линейный промежуток ты и v в р³.

В настоящий векторное пространство р³ имеет {(-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} как остовное множество. Этот конкретный остовный набор также является основа. Если (−1, 0, 0) заменить на (1, 0, 0), это также будет каноническая основа из р³.

Другое остовное множество для того же пространства задается формулами {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,¹⁄₂, 3), (1, 1, 1)}, но этот набор не является базисом, т.к. линейно зависимый.

Набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} не является охватывающим набором р³, поскольку его промежуток - это пространство всех векторов из р³ последний компонент которого равен нулю. Это пространство также охватывает набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) является линейной комбинацией (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Однако он охватывает р². (при интерпретации как подмножество р³).

Пустой набор является охватывающим набором {(0, 0, 0)}, так как пустой набор является подмножеством всех возможных векторных пространств в р³, а {(0, 0, 0)} - пересечение всех этих векторных пространств.

Набор функций Икс^п куда п неотрицательное целое число, охватывающее пространство многочленов.

Теоремы

Теорема 1: Подпространство, натянутое на непустое подмножество S векторного пространства V - множество всех линейных комбинаций векторов из S.

Эта теорема настолько хорошо известна, что иногда ее называют определением диапазона множества.

Теорема 2: Каждый набор покрытий S векторного пространства V должен содержать как минимум столько же элементов, сколько любой линейно независимый набор векторов из V.

Теорема 3: Позволять V - конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, охватывающий V можно свести к основе V, отбрасывая векторы, если необходимо (т.е. если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если аксиома выбора верно, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность.

Это также указывает на то, что базис является минимальным остовным набором, когда V конечномерна.

Обобщения

Обобщая определение диапазона точек в пространстве, подмножество Икс наземного комплекта матроид называется набор охвата, если ранг Икс равняется рангу всего набора оснований^{[нужна цитата ]}.

Определение векторного пространства также может быть обобщено на модули.^[4] Учитывая р-модуль А и набор элементов a₁,…, A_п из A, подмодуль из А охватывает₁,…, A_п это сумма циклические модули

${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\Big |}r_{k}\in R\right\}}$

состоящий из всех р-линейные комбинации элементов a_я. Как и в случае векторных пространств, подмодуль A, натянутый на любое подмножество A, является пересечением всех подмодулей, содержащих это подмножество.

Замкнутый линейный пролет (функциональный анализ)

В функциональный анализ, замкнутая линейная оболочка набор из векторов - минимальное замкнутое множество, которое содержит линейную оболочку этого множества.

Предположим, что Икс является нормированным векторным пространством и пусть E быть любым непустым подмножеством Икс. В замкнутый линейный пролет из E, обозначаемый ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ или же ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$, является пересечением всех замкнутых линейных подпространств Икс которые содержат E.

Одна математическая формулировка этого:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \epsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\epsilon \}.}$

Замкнутая линейная оболочка множества функций Икс^п на интервале [0, 1], где п является целым неотрицательным числом, зависит от используемой нормы. Если L² норма используется замкнутая линейная оболочка Гильбертово пространство из квадратично интегрируемые функции на интервале. Но если максимальная норма замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на интервале. В любом случае замкнутая линейная оболочка содержит функции, которые не являются полиномами, и поэтому не находятся в самой линейной оболочке. Тем не менее мощность множества функций в замкнутой линейной оболочке является мощность континуума, которая имеет ту же мощность, что и множество многочленов.

Примечания

Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как утверждается в следующей лемме, замкнутая линейная оболочка действительно является закрытие линейной оболочки.

Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе очень важны, см. Лемма Рисса ).

Полезная лемма

Позволять Икс быть нормированным пространством и пусть E быть любым непустым подмножеством Икс. потом

1. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ является замкнутым линейным подпространством в Икс который содержит E,
2. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}$, а именно. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$ закрытие ${\displaystyle \operatorname {Sp} (E)}$,
3. ${\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}$

(Таким образом, обычный способ найти замкнутую линейную оболочку - сначала найти линейную оболочку, а затем замыкание этой линейной оболочки.)

Смотрите также

• Аффинная оболочка
• Коническая комбинация
• Выпуклый корпус

Примечания

1. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-07.
2. «Основы линейной алгебры». homepages.rpi.edu. Получено 2020-09-07.
3. Вайсштейн, Эрик В. "Векторный пространственный размах". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-07.
4. Лейн, Сондерс Мак; Биркофф, Гарретт (1999-02-28). Алгебра: Третье издание. EDS Publications Ltd. стр. 168. ISBN  9780821816462.

Рекомендации

• М.И. Войцеховский (2001) [1994], «Линейный корпус», Энциклопедия математики, EMS Press
• Ланкхам, Исайя; Нахтергаэле, Бруно; Шиллинг, Энн (13 февраля 2010 г.). «Линейная алгебра - как введение в абстрактную математику» (PDF). Калифорнийский университет в Дэвисе. Получено 27 сентября 2011.
• Брайан П. Райн и Мартин А. Янгсон (2008). Линейный функциональный анализ, стр. 4, Springer ISBN  978-1848000049.

внешняя ссылка

• Линейные комбинации и промежуток: понимание линейных комбинаций и промежутков векторов, khanacademy.org.
• «Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы». Сущность линейной алгебры. 6 августа 2016 г. - через YouTube.