Внешняя производная - Exterior derivative

На дифференцируемое многообразие, то внешняя производная расширяет концепцию дифференциал функции для дифференциальные формы высшей степени. Внешняя производная была впервые описана в ее нынешнем виде Эли Картан в 1899 году. Это позволяет естественное, независимое от метрики обобщение Теорема Стокса, Теорема Гаусса, и Теорема Грина из векторного исчисления.

Если дифференциал k-форма считается измерением потока через бесконечно малую k-параллелотоп в каждой точке многообразия, то его внешнюю производную можно рассматривать как измерение суммарного потока через границу (k + 1)-параллелотоп в каждой точке.

Определение

Внешняя производная от дифференциальная форма степени k (также дифференциальный k-form, или просто k-форма для краткости) является дифференциальной формой степени k + 1.

Если  ж  это гладкая функция (а 0-form), то внешняя производная  ж  это дифференциал из  ж . Это, df  уникальный 1-форма такой, что для каждого гладкого векторное поле Икс, df (Икс) = d_Икс ж , куда d_Икс ж  это производная по направлению из  ж  в направлении Икс.

Внешний продукт дифференциальных форм (обозначен тем же символом ∧) определяется как их точечно внешний продукт.

Существует множество эквивалентных определений внешней производной общей k-форма.

В терминах аксиом

Внешняя производная определяется как единственная ℝ-линейное отображение из k-формирует в (k + 1)-формы, обладающие следующими свойствами:

1. df  это дифференциал из  ж  для 0-форма  ж .
2. d(df ) = 0 для 0-форма  ж .
3. d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)^п (α ∧ dβ) куда α это п-форма. То есть, d является антидеривация степени 1 на внешняя алгебра дифференциальных форм.

Второе определяющее свойство имеет более общий характер: d(dα) = 0 для любого k-форма α; короче, d² = 0. Третье определяющее свойство как частный случай подразумевает, что если  ж  это функция и α а это k-form, затем d( fα) = d( ж ∧ α) = df  ∧ α +  ж  ∧ dα потому что функция - это 0-форма, скалярное умножение и внешнее произведение эквивалентны, если один из аргументов является скаляром.

По местным координатам

В качестве альтернативы можно работать полностью в местная система координат (Икс¹, ..., Икс^п). Координатные дифференциалы dx¹, ..., dx^п образуют основу пространства единичных форм, каждая из которых связана с координатой. Учитывая мультииндекс я = (я₁, ..., я_k) с 1 ≤ я_п ≤ п за 1 ≤ п ≤ k (и обозначая dx^я₁ ∧ ... ∧ dx^я_k с злоупотребление обозначениями dx^я), внешняя производная (простого) k-форма

${\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

над ℝ^п определяется как

${\displaystyle d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx^{I}}$

(с использованием Соглашение о суммировании Эйнштейна ). Расширено определение внешней производной. линейно генералу k-форма

${\displaystyle \omega =f_{I}dx^{I},}$

где каждый из компонентов мультииндекса я пробежать все значения в {1, ..., п}. Обратите внимание, что всякий раз, когда я равняется одному из компонентов мультииндекса я тогда dx^я ∧ dx^я = 0 (видеть Внешний продукт ).

Определение внешней производной в локальных координатах следует из предыдущего определение в терминах аксиом. Действительно, с k-форма φ как определено выше,

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}}$

Здесь мы интерпретировали грамм как 0-form, а затем применил свойства внешней производной.

Этот результат распространяется непосредственно на общие k-форма ω в качестве

${\displaystyle d{\omega }={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

В частности, для 1-форма ω, компоненты dω в местные координаты находятся

${\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}$

Осторожность: Есть два соглашения относительно значения ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$. Самые современные авторы^{[нужна цитата ]}иметь соглашение, что

${\displaystyle (dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}})({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}})=1.}$

в то время как в более старых текстах, таких как Кобаяши и Номидзу или Хельгасон

${\displaystyle (dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}})({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}})=1/k!.}$

В терминах инвариантной формулы

В качестве альтернативы можно дать явную формулу^{[нужна цитата ]} для внешней производной k-форма ω, в паре с k + 1 произвольная гладкая векторные поля V₀,V₁, ..., V_k:

${\displaystyle d\omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}\left(\omega \left(V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}\right)\right)+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega \left(\left[V_{i},V_{j}\right],V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,{\hat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}\right)}$

куда [V_я, V_j] обозначает Кронштейн лжи^{[требуется дальнейшее объяснение ]} а шляпа означает отсутствие этого элемента:

${\displaystyle \omega \left(V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}\right)=\omega \left(V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}\right).}$

В частности, когда ω это 1-форма у нас есть dω(Икс, Y) = d_Икс(ω(Y)) − d_Y(ω(Икс)) − ω([Икс, Y]).

Примечание: Согласно соглашениям, например, Кобаяши – Номидзу и Хельгасона, формула отличается в раз 1/k + 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},...,V_{k})&={1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}\left(\omega \left(V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}\right)\right)\\&+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega \left(\left[V_{i},V_{j}\right],V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,{\hat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}\right).\end{aligned}}}$

Примеры

Пример 1. Учитывать σ = ты dx¹ ∧ dx² через 1основа формы dx¹, ..., dx^п для скалярного поля ты. Внешняя производная:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}$

Последняя формула легко следует из свойств внешний продукт. А именно, dx^я ∧ dx^я = 0.

Пример 2. Позволять σ = ты dx + v dy быть 1-форма определена над ℝ². Применяя приведенную выше формулу к каждому члену (рассмотрите Икс¹ = Икс и Икс² = у) имеем следующую сумму,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)dx\wedge dy\end{aligned}}}$

Теорема Стокса о многообразиях

Основная статья: Теорема Стокса

Если M компактный гладкий ориентируемый п-мерное многообразие с краем и ω является (п − 1)-форма на M, то обобщенный вид Теорема Стокса утверждает, что:

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega }$

Интуитивно, если думать о M как разделенные на бесконечно малые области, и каждый добавляет поток через границы всех областей, внутренние границы все сокращаются, оставляя общий поток через границу M.

Другие свойства

Закрытые и точные формы

Основная статья: Закрытые и точные формы

А k-форма ω называется закрыто если dω = 0; закрытые формы ядро из d. ω называется точный если ω = dα для некоторых (k − 1)-форма α; точные формы изображение из d. Потому что d² = 0, каждая точная форма закрыта. В Лемма Пуанкаре утверждает, что в стягиваемой области верно обратное.

когомологии де Рама

Поскольку внешняя производная d имеет свойство, что d² = 0, его можно использовать как дифференциал (кограница) для определения когомологии де Рама на коллекторе. В k-я когомология (группа) де Рама - векторное пространство замкнутых k-формирует по модулю точного k-формы; как отмечалось в предыдущем разделе, лемма Пуанкаре утверждает, что эти векторные пространства тривиальны для стягиваемой области для k > 0. За гладкие многообразия, интегрирование форм дает естественный гомоморфизм когомологий де Рама сингулярным когомологиям над ℝ. Теорема де Рама показывает, что это отображение на самом деле является изоморфизмом, далеко идущим обобщением леммы Пуанкаре. Как предполагает обобщенная теорема Стокса, внешняя производная является «двойственной» карта границ на особых симплексах.

Натуральность

Внешняя производная естественна в техническом смысле: если  ж : M → N гладкая карта и Ω^k контравариантный гладкий функтор который ставит в соответствие каждому многообразию пространство k-форм на многообразии, то следующая диаграмма коммутирует

так d( ж^∗ω) =  ж^∗dω, куда  ж^∗ обозначает откат из  ж . Это следует из того, что  ж^∗ω(·)по определению ω( ж_∗(·)),  ж_∗ будучи продвигать из  ж . Таким образом d это естественная трансформация из Ω^k к Ω^k+1.

Внешняя производная в векторном исчислении

Наиболее векторное исчисление Операторы являются частными случаями понятия внешней дифференциации или имеют с ним тесную связь.

Градиент

А гладкая функция  ж : M → ℝ на реальном дифференцируемом многообразии M это 0-форма. Внешняя производная от этого 0-форма - это 1-форма df.

Когда внутренний продукт ⟨·,·⟩ определено, градиент ∇ж  функции  ж  определяется как единственный вектор в V так что его внутренний продукт с любым элементом V является производной по направлению от  ж  вдоль вектора, то есть так, что

${\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

Это,

${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,(dx^{i})^{\sharp },}$

куда ♯ обозначает музыкальный изоморфизм ♯ : V^∗ → V упоминалось ранее, что вызвано внутренним продуктом.

В 1-форма df  это раздел котангенсный пучок, что дает локальную линейную аппроксимацию  ж  в котангенсном пространстве в каждой точке.

Расхождение

Векторное поле V = (v₁, v₂, ... v_п) на ℝ^п имеет соответствующий (п − 1)-форма

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}$ обозначает отсутствие этого элемента.

(Например, когда п = 3, т.е. в трехмерном пространстве 2-форма ω_V является местным скалярное тройное произведение с V.) Интеграл от ω_V над гиперповерхностью поток из V над этой гиперповерхностью.

Внешняя производная от этого (п − 1)-форма - это п-форма

${\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}$

Завиток

Векторное поле V на ℝ^п также имеет соответствующий 1-форма

${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}dx^{1}+v_{2}dx^{2}+\cdots +v_{n}dx^{n}.}$,

Локально, η_V скалярное произведение с V. Интеграл η_V по пути работай сделано против −V по этому пути.

Когда п = 3в трехмерном пространстве внешняя производная 1-форма η_V это 2-форма

${\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}$

Инвариантные формулировки операторов в векторном исчислении

Стандарт векторное исчисление операторы могут быть обобщены для любых псевдориманово многообразие, и записаны в безкоординатных обозначениях следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }(F^{\flat })}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d(F^{\flat })\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }(F^{\flat })-{\star }d{\star }d(F^{\flat })\right)^{\sharp },\\\end{array}}}$

куда ⋆ это Звездный оператор Ходжа, ♭ и ♯ являются музыкальные изоморфизмы,  ж  это скалярное поле и F это векторное поле.

Обратите внимание, что выражение для завиток требует ♯ действовать на ⋆d(F^♭), которая является формой степени п − 2. Естественное обобщение ♯ к k-форм произвольной степени позволяет этому выражению иметь смысл для любых п.

Смотрите также

• Внешняя ковариантная производная
• комплекс де Рама
• Дискретный внешний расчет
• Теорема Грина
• Производная Ли
• Теорема Стокса
• Фрактальная производная

Примечания

Рекомендации

• Картан, Эли (1899). "Sur Определенные выражения différentielles et le problème de Pfaff". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. Série 3 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. 16: 239–332. ISSN  0012-9593. JFM  30.0313.04. Получено 2 февраля 2016.
• Конлон, Лоуренс (2001). Дифференцируемые многообразия. Базель, Швейцария: Birkhäuser. п. 239. ISBN  0-8176-4134-3.
• Дарлинг, Р. В. Р. (1994). Дифференциальные формы и связи. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 35. ISBN  0-521-46800-0.
• Фландрия, Харлей (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Нью-Йорк: Dover Publications. п. 20. ISBN  0-486-66169-5.
• Лумис, Линн Х .; Штернберг, Шломо (1989). Расширенный расчет. Бостон: Джонс и Бартлетт. стр.304 –473 (гл. 7–11). ISBN  0-486-66169-5.
• Раманан, С. (2005). Глобальное исчисление. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 54. ISBN  0-8218-3702-8.
• Спивак Михаил (1971). Исчисление на многообразиях. Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN  9780805390216.
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Спрингер, ISBN  0-387-90894-3