Дифференцируемое многообразие - Differentiable manifold

Недифференцируемый атлас карт земного шара. Результаты расчетов могут быть несовместимы между диаграммами, если атлас не дифференцируемый. На центральном и правом графиках Тропик Рака представляет собой плавную кривую, тогда как на левом графике имеет острый угол. Понятие дифференцируемого многообразия уточняет понятие многообразия, требуя, чтобы функции, которые преобразуются между картами, были дифференцируемыми.

В математике дифференцируемое многообразие (также дифференциальный коллектор) является разновидностью многообразие который локально достаточно похож на линейное пространство позволить сделать исчисление. Любое многообразие можно описать набором диаграмм, также известным как атлас. Затем можно применять идеи из исчисления, работая с отдельными диаграммами, поскольку каждая диаграмма находится в линейном пространстве, к которому применяются обычные правила исчисления. Если графики достаточно совместимы (а именно, переход от одного графика к другому дифференцируемый ), то вычисления, выполненные на одной карте, действительны для любой другой дифференцируемой карты.

Формально дифференцируемое многообразие это топологическое многообразие с глобально определенным дифференциальная структура. Любому топологическому многообразию можно придать дифференциальную структуру локально используя гомеоморфизмы в его атласе и стандартной дифференциальной структуре на линейном пространстве. Чтобы индуцировать глобальную дифференциальную структуру на локальных системах координат, индуцированную гомеоморфизмами, их сочинение на пересечениях карт в атласе должны быть дифференцируемые функции на соответствующем линейном пространстве. Другими словами, там, где области диаграмм перекрываются, координаты, определенные каждой картой, должны быть дифференцируемыми по отношению к координатам, определенным каждой картой в атласе. Карты, которые связывают координаты, определенные различными картами друг с другом, называются карты переходов.

Дифференцируемость означает разные вещи в разных контекстах, включая: непрерывно дифференцируемый, k дифференцируемые раз, гладкий, и голоморфный. Более того, способность индуцировать такую ​​дифференциальную структуру в абстрактном пространстве позволяет расширить определение дифференцируемости на пространства без глобальных систем координат. Дифференциальная структура позволяет определить глобально дифференцируемую касательное пространство, дифференцируемые функции и дифференцируемые тензор и вектор поля. Дифференцируемые многообразия очень важны в физика. Особые виды дифференцируемых многообразий составляют основу физических теорий, таких как классическая механика, общая теория относительности, и Теория Янга – Миллса. Можно разработать исчисление для дифференцируемых многообразий. Это приводит к такому математическому аппарату, как внешнее исчисление. Изучение исчисления на дифференцируемых многообразиях известно как дифференциальная геометрия.

История

Основная статья: История многообразий и разновидностей

Появление дифференциальной геометрии как отдельной дисциплины обычно приписывают Карл Фридрих Гаусс и Бернхард Риманн. Риман впервые описал многообразия в своей знаменитой абилитация лекция перед факультетом на Гёттинген.^[1] Он мотивировал идею многообразия интуитивным процессом изменения данного объекта в новом направлении и дальновидно описал роль систем координат и диаграмм в последующих формальных разработках:

Построив понятие многообразия n измерений и обнаружив, что его истинный характер состоит в том свойстве, что определение положения в нем может быть сведено к n определениям величины ... - Б. Риманн

Работы таких физиков, как Джеймс Клерк Максвелл,^[2] и математики Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита^[3] привело к развитию тензорный анализ и понятие ковариация, который идентифицирует внутреннее геометрическое свойство как свойство, инвариантное относительно преобразования координат. Эти идеи нашли ключевое применение в Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности и лежащие в основе принцип эквивалентности. Современное определение двумерного многообразия было дано Герман Вейль в его книге 1913 года о Римановы поверхности.^[4] Широко принятое общее определение многообразия в терминах атлас связано с Хасслер Уитни.^[5]

Определение

Атласы

Позволять M быть топологическое пространство. А Диаграмма (U, φ) на M состоит из открытого подмножества U из M, а гомеоморфизм φ из U к открытому подмножеству некоторых Евклидово пространство ℝ^п. Несколько неформально можно сослаться на диаграмму φ: U → ℝ^п, что означает, что изображение φ открытое подмножество ℝ^п, и это φ является гомеоморфизмом на свой образ; в использовании некоторых авторов это может вместо этого означать, что φ: U → ℝ^п сам по себе является гомеоморфизмом.

Наличие графика предполагает возможность выполнения дифференциальное исчисление на M; например, если задана функция ты : M → ℝ и диаграмма (U, φ) на Mможно было бы рассмотреть композицию ты ∘ φ⁻¹, которая является вещественной функцией, область определения которой является открытым подмножеством евклидова пространства; как таковой, если он является дифференцируемым, можно рассматривать его частные производные.

Эта ситуация не является полностью удовлетворительной по следующей причине. Рассмотрим второй график (V, ψ) на M, и предположим, что U и V содержат некоторые общие черты. Две соответствующие функции ты ∘ φ⁻¹ и ты ∘ ψ⁻¹ связаны в том смысле, что они могут быть преобразованы друг в друга:

${\displaystyle u\circ \varphi ^{-1}={\big (}u\circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ \varphi ^{-1}{\big )},}$

естественная область определения правой части φ (U ∩ V). С φ и ψ являются гомеоморфизмами, отсюда следует, что ψ ∘ φ⁻¹ является гомеоморфизмом из φ (U ∩ V) к ψ (U ∩ V). Следовательно, даже если обе функции ты ∘ φ⁻¹ и ты ∘ ψ⁻¹ дифференцируемы, их дифференциальные свойства не обязательно будут сильно связаны друг с другом, так как ψ ∘ φ⁻¹ не обязательно достаточно дифференцируем для Правило цепи быть применимо. Та же проблема обнаруживается, если вместо этого рассматривать функции c : ℝ → M; приводит к формуле репараметризации

${\displaystyle \varphi \circ c={\big (}\varphi \circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ c{\big )},}$

в этот момент можно сделать то же наблюдение, что и раньше.

Эта проблема решается введением «дифференцируемого атласа» диаграмм, который определяет набор диаграмм на M для чего карты переходов ψ ∘ φ⁻¹ все дифференцируемы. Это делает ситуацию довольно чистой: если ты ∘ φ⁻¹ дифференцируема, то в силу формулы репараметризации отображение ты ∘ ψ⁻¹ также дифференцируема по региону ψ (U ∩ V). Более того, производные этих двух карт связаны друг с другом правилом цепочки. По сравнению с данным атласом, это облегчает понятие дифференцируемых отображений, область или диапазон которых M, а также понятие производной таких отображений.

Формально слово «дифференцируемый» несколько двусмысленно, поскольку разные авторы понимают его как разное; иногда это означает наличие первых производных, иногда существование непрерывных первых производных, а иногда существование бесконечного числа производных. Ниже дается формальное определение различных (однозначных) значений «дифференцируемого атласа». Как правило, «дифференцируемый» будет использоваться как всеобъемлющий термин, включающий все эти возможности, при условии, что k ≥ 1.

Учитывая топологическое пространство M...
а Ck атлас	это коллекция диаграмм	{φα : Uα → ℝп}α∈А	такой, что {Uα}α∈А охватывает M, и такой, что для всех α и β в А, то карта перехода φα ∘ φ^−1 β является	а Ck карта
гладкий или C^∞ атлас		{φα : Uα → ℝп}α∈А		а гладкий карта
аналитик или C^ω атлас		{φα : Uα → ℝп}α∈А		а аналитический карта
голоморфный атлас		{φα : Uα → ℂп}α∈А		а голоморфный карта

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta \alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Карта переходов двух графиков. φ_αβ обозначает φ_α ∘ φ⁻¹
_β и φ_βα обозначает φ_β ∘ φ⁻¹
_α

Поскольку каждая вещественно-аналитическая карта является гладкой, и каждая гладкая карта является C^k для любого k, можно видеть, что любой аналитический атлас также можно рассматривать как гладкий атлас, а каждый гладкий атлас можно рассматривать как C^k атлас. Эту цепочку можно расширить, включив в нее голоморфные атласы, при том понимании, что любое голоморфное отображение между открытыми подмножествами ℂ^п можно рассматривать как реально-аналитическую карту между открытыми подмножествами ℝ^2п.

Имея дифференцируемый атлас на топологическом пространстве, говорят, что карта дифференцированно совместимый с атласом, или дифференцируемый относительно данного атласа, если включение карты в набор карт, составляющих данный дифференцируемый атлас, приводит к дифференцируемому атласу. Дифференцируемый атлас определяет максимальный дифференцируемый атлас, состоящий из всех карт, дифференцированно совместимых с данным атласом. Максимальный атлас всегда очень большой. Например, для любой карты в максимальном атласе ее ограничение на произвольное открытое подмножество ее области также будет содержаться в максимальном атласе. Максимальный гладкий атлас также известен как гладкая структура; максимальный голоморфный атлас также известен как сложная структура.

Альтернативное, но эквивалентное определение, избегающее прямого использования максимальных атласов, заключается в рассмотрении классов эквивалентности дифференцируемых атласов, в которых два дифференцируемых атласа считаются эквивалентными, если каждая карта одного атласа дифференцируемо совместима с другим атласом. Неформально это означает, что, имея дело с гладким многообразием, можно работать с одним дифференцируемым атласом, состоящим всего из нескольких диаграмм, при неявном понимании того, что многие другие диаграммы и дифференцируемые атласы одинаково законны.

Согласно неизменность домена, каждая связная компонента топологического пространства, имеющего дифференцируемый атлас, имеет четко определенную размерность п. Это вызывает небольшую двусмысленность в случае голоморфного атласа, поскольку соответствующее измерение будет составлять половину значения его размерности, если рассматривать его как аналитический, гладкий или C^k атлас. По этой причине отдельно упоминаются «реальная» и «комплексная» размерности топологического пространства с голоморфным атласом.

Коллекторы

А дифференцируемое многообразие это Хаусдорф и второй счетный топологическое пространство Mвместе с максимальным дифференцируемым атласом на M. Большая часть основной теории может быть разработана без необходимости в условиях Хаусдорфа и второй счетности, хотя они жизненно важны для большей части продвинутой теории. По сути, они эквивалентны общему существованию функции удара и разделы единства, оба из которых используются повсеместно.

Понятие о C⁰ коллектор идентичен тому из топологическое многообразие. Однако необходимо сделать заметное различие. Учитывая топологическое пространство, имеет смысл спросить, является ли оно топологическим многообразием. Напротив, не имеет смысла спрашивать, является ли данное топологическое пространство (например) гладким многообразием, поскольку понятие гладкого многообразия требует спецификации гладкого атласа, который является дополнительной структурой. Однако имеет смысл сказать, что определенному топологическому пространству нельзя придать структуру гладкого многообразия. Можно переформулировать определения таким образом, чтобы не было такого дисбаланса; можно начать с набора M (а не топологическое пространство M), используя естественный аналог гладкого атласа в этом контексте, чтобы определить структуру топологического пространства на M.

Собираем евклидовы части вместе, чтобы образовать многообразие

Можно реконструировать приведенные выше определения, чтобы получить одну точку зрения на построение коллекторов. Идея состоит в том, чтобы начать с изображений диаграмм и карт переходов и построить многообразие исключительно на основе этих данных. Как и в предыдущем обсуждении, мы используем «плавный» контекст, но все работает так же хорошо в других настройках.

Учитывая набор индексации ${\displaystyle A,}$ позволять ${\displaystyle V_{\alpha }}$ быть набором открытых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и для каждого ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ позволять ${\displaystyle V_{\alpha \beta }}$ быть открытым (возможно, пустым) подмножеством ${\displaystyle V_{\beta }}$ и разреши ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }:V_{\alpha \beta }\to V_{\beta \alpha }}$ быть гладкой картой. Предположим, что ${\displaystyle \varphi _{\alpha \alpha }}$ тождественная карта, что ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }\circ \varphi _{\beta \alpha }}$ это тождественная карта, и что ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }\circ \varphi _{\beta \gamma }\circ \varphi _{\gamma \alpha }}$ это тождественная карта. Затем определим отношение эквивалентности на несвязном объединении ${\displaystyle \textstyle {\bigsqcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }}}$ объявив ${\displaystyle p\in V_{\alpha \beta }}$ быть эквивалентным ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.}$ Проделав некоторую техническую работу, можно показать, что набору классов эквивалентности можно естественным образом придать топологическую структуру и что используемые при этом диаграммы образуют гладкий атлас.

Дифференцируемые функции

Действительная функция ж на п-мерное дифференцируемое многообразие M называется дифференцируемый в какой-то момент п ∈ M если он дифференцируемый в любой координатной карте, определенной вокруг п. Точнее, если ${\displaystyle (U,\varphi )}$ дифференцируемая карта, где ${\displaystyle U}$ это открытый набор в ${\displaystyle M}$ содержащий п и ${\displaystyle \varphi :U\to {\mathbf {R} }^{n}}$ карта, определяющая диаграмму, тогда ж дифференцируема в п если и только если

${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}\colon \varphi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }}$

дифференцируема в ${\displaystyle \varphi (p)}$, то есть ж - дифференцируемая функция из открытого множества ${\displaystyle \varphi (U)}$, рассматриваемый как подмножество ${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$, к ${\displaystyle \mathbf {R} }$. В общем, будет много доступных графиков; однако определение дифференцируемости не зависит от выбора карты при п. Это следует из Правило цепи применяется к функциям перехода между одной диаграммой и другой, что если ж дифференцируема в любой конкретной карте в точке п, то он дифференцируется на всех графиках на п. Аналогичные соображения применимы к определению C^k функции, гладкие функции и аналитические функции.

Дифференциация функций

Есть разные способы определить производная функции на дифференцируемом многообразии, наиболее фундаментальной из которых является производная по направлению. Определение производной по направлению усложняется тем, что в многообразии не будет подходящего аффинный структура для определения векторов. Следовательно, производная по направлению смотрит на кривые в многообразии, а не на векторы.

Направленная дифференциация

Учитывая действительную функцию ж на п размерное дифференцируемое многообразие M, производная по направлению ж в какой-то момент п в M определяется следующим образом. Предположим, что γ (т) - кривая в M с γ(0) = п, который дифференцируемый в том смысле, что его композиция с любой картой является дифференцируемая кривая в р^п. Тогда производная по направлению из ж в п вдоль γ

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}$

Если γ₁ и γ₂ две кривые такие, что γ₁(0) = γ₂(0) = п, и в любой координатной карте φ,

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\varphi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\varphi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}$

тогда по цепному правилу ж имеет такую ​​же производную по направлению при п вдоль γ₁ как вместе γ₂. Это означает, что производная по направлению зависит только от касательный вектор кривой на п. Таким образом, более абстрактное определение дифференцирования по направлениям, адаптированное к случаю дифференцируемых многообразий, в конечном итоге захватывает интуитивные особенности дифференцирования по направлениям в аффинном пространстве.

Касательный вектор и дифференциал

А касательный вектор в п ∈ M является класс эквивалентности дифференцируемых кривых γ с γ(0) = п, по модулю отношения эквивалентности первого порядка контакт между кривыми. Следовательно,

${\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\iff \left.{\frac {d}{dt}}\varphi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\varphi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}$

в каждой координатной карте φ. Следовательно, классы эквивалентности являются кривыми через п с предписанным вектор скорости в п. Совокупность всех касательных векторов в точке п образует векторное пространство: the касательное пространство к M в п, обозначенный Т_пM.

Если Икс является касательным вектором в точке п и ж дифференцируемая функция, определенная около п, то дифференцируя ж вдоль любой кривой в классе эквивалентности, определяющей Икс дает четко определенную производную по направлению вдоль Икс:

${\displaystyle Xf(p):=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}$

И снова цепное правило устанавливает, что это не зависит от свободы выбора γ из класса эквивалентности, поскольку любая кривая с одним и тем же контактом первого порядка будет давать одинаковую производную по направлению.

Если функция ж фиксировано, то отображение

${\displaystyle X\mapsto Xf(p)}$

это линейный функционал на касательном пространстве. Этот линейный функционал часто обозначают как df(п) и называется дифференциал из ж в п:

${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to {\mathbf {R} }.}$

Определение касательного пространства и дифференцирование в локальных координатах

Позволять ${\displaystyle M}$ быть топологическим ${\displaystyle n}$-многообразие с гладким атласом ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$ Данный ${\displaystyle p\in M}$ позволять ${\displaystyle A_{p}}$ обозначать ${\displaystyle \{\alpha \in A:p\in U_{\alpha }\}.}$ Касательный вектор в точке ${\displaystyle p\in M}$"это отображение ${\displaystyle v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n},}$ здесь обозначено ${\displaystyle \alpha \mapsto v_{\alpha },}$ такой, что

${\displaystyle v_{\alpha }=D{\Big |}_{\varphi _{\beta }(p)}(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})(v_{\beta })}$

для всех ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A_{p}.}$ Пусть набор касательных векторов в точке ${\displaystyle p}$ обозначать ${\displaystyle T_{p}M.}$ Для гладкой функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$, определять ${\displaystyle df_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$ отправив касательный вектор ${\displaystyle v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n}}$ к числу, данному

${\displaystyle D{\Big |}_{\varphi _{\alpha }(p)}(f\circ \varphi _{\alpha }^{-1})(v_{\alpha }),}$

которое в силу цепного правила и ограничения в определении касательного вектора не зависит от выбора ${\displaystyle \alpha \in A_{p}.}$

Это можно проверить ${\displaystyle T_{p}M}$ естественно имеет структуру ${\displaystyle n}$-мерное вещественное векторное пространство, и что с этой структурой, ${\displaystyle df_{p}}$ является линейным отображением. Ключевое наблюдение состоит в том, что из-за ограничения, появляющегося в определении касательного вектора, значение ${\displaystyle v_{\beta }}$ для одного элемента ${\displaystyle \beta }$ из ${\displaystyle A_{p}}$ автоматически определяет ${\displaystyle v_{\alpha }}$ для всех ${\displaystyle \alpha \in A.}$

Приведенные выше формальные определения точно соответствуют более неформальным обозначениям, которые часто встречаются в учебниках, в частности

${\displaystyle v^{i}={\widetilde {v}}^{j}{\frac {\partial x^{i}}{\partial {\widetilde {x}}^{j}}}}$ и ${\displaystyle df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}v^{i}.}$

С пониманием идеи формальных определений с этой сокращенной записью для большинства целей намного легче работать.

Разделы единства

Одна из топологических особенностей пучка дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии состоит в том, что он допускает разделы единства. Это отличает дифференциальную структуру на многообразии от более сильных структур (таких как аналитические и голоморфные структуры), которые, как правило, не имеют разбиений на единицу.

Предположим, что M является многообразием класса C^k, куда 0 ≤ k ≤ ∞. Позволять {U_α} быть открытым покрытием M. Затем разделение единства подчиняется обложке {U_α} представляет собой набор реальных C^k функции φ_я на M удовлетворяющие следующим условиям:

• В поддерживает из φ_я находятся компактный и локально конечный;
• Поддержка φ_я полностью содержится в U_α для некоторых α;
• В φ_я суммировать по одному в каждой точке M:

${\displaystyle \sum _{i}\varphi _{i}(x)=1.}$

(Обратите внимание, что это последнее условие фактически является конечной суммой в каждой точке из-за локальной конечности носителей φ_я.)

Каждое открытое покрытие C^k многообразие M имеет C^k разделение единства. Это позволяет определенные конструкции из топологии C^k функции на р^п переносится в категорию дифференцируемых многообразий. В частности, можно обсудить интеграцию, выбрав раздел единицы, подчиненный конкретному координатному атласу, и выполнив интегрирование в каждой карте р^п. Таким образом, разделение единства допускает некоторые другие виды функциональные пространства необходимо учитывать: например L^п пробелы, Соболевские пространства, и другие виды пространств, требующие интеграции.

Дифференцируемость отображений между многообразиями

Предполагать M и N - два дифференцируемых многообразия размерностей м и псоответственно и ж это функция от M к N. Поскольку дифференцируемые многообразия являются топологическими пространствами, мы знаем, что это означает для ж быть непрерывным. Но что значит "ж является C^k(M, N)"означает для k ≥ 1? Мы знаем, что это значит, когда ж является функцией между евклидовыми пространствами, поэтому, если мы составим ж с диаграммой M и график N так что мы получаем карту, которая идет из евклидова пространства в M к N в евклидово пространство, мы знаем, что значит для этой карты быть C^k(р^м, р^п). Мы определяем "ж является C^k(M, N)"означать, что все такие композиции ж с диаграммами C^k(р^м, р^п). Еще раз, цепное правило гарантирует, что идея дифференцируемости не зависит от того, какие карты атласов на M и N выбраны. Однако определение самой производной более тонко. Если M или же N само по себе уже является евклидовым пространством, то нам не нужна карта, чтобы сопоставить его с ним.

Связки

Касательная связка

Дальнейшая информация: касательный пучок

В касательное пространство точки состоит из возможных производных по направлению в этой точке и имеет то же измерение п как и коллектор. Для набора (неособых) координат Икс_k локальные в точке, производные по координатам ${\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$ определить голономный базис касательного пространства. Совокупность касательных пространств во всех точках, в свою очередь, может быть преобразована в многообразие, касательный пучок, размерность которого равна 2п. Касательное расслоение - это где касательные векторы ложь, и сама является дифференцируемым многообразием. В Лагранжиан - функция на касательном расслоении. Также можно определить касательное расслоение как расслоение 1-струи из р (в реальная линия ) к M.

Для касательного расслоения можно построить атлас, состоящий из карт на основе U_α × р^п, куда U_α обозначает одну из диаграмм в атласе для M. Каждая из этих новых диаграмм представляет собой касательную связку диаграмм. U_α. Карты переходов в этом атласе определяются из отображений переходов на исходном многообразии и сохраняют исходный класс дифференцируемости.

Котангенсный пучок

Дальнейшая информация: котангенсный пучок

В двойное пространство векторного пространства - это набор действительных линейных функций на векторном пространстве. В котангенс пространство в точке является двойным касательного пространства в этой точке, а котангенсный пучок - совокупность всех котасательных пространств.

Как и касательное расслоение, кокасательное расслоение снова является дифференцируемым многообразием. В Гамильтониан является скаляром на котангенсном расслоении. В общая площадь кокасательного расслоения имеет структуру симплектическое многообразие. Котангенсные векторы иногда называют ковекторы. Котангенсное расслоение можно также определить как расслоение 1-струи функций из M к р.

Элементы котангенсного пространства можно рассматривать как бесконечно малый смещения: если ж дифференцируемая функция, которую мы можем определить в каждой точке п котангенс вектор df_п, который отправляет касательный вектор Икс_п производной от ж связана с Икс_п. Однако не все ковекторные поля можно выразить таким образом. Те, которые могут, называются точные дифференциалы. Для заданного набора локальных координат Икс^k, дифференциалы dx^k
_п составляют основу котангенсного пространства при п.

Тензорный пучок

Дальнейшая информация: тензорное расслоение

Тензорное расслоение - это прямая сумма из всех тензорные произведения касательного расслоения и кокасательного расслоения. Каждый элемент связки представляет собой тензорное поле, который может действовать как полилинейный оператор на векторные поля или на другие тензорные поля.

Тензорное расслоение не является дифференцируемым многообразием в традиционном смысле, поскольку оно бесконечномерно. Однако это алгебра над кольцом скалярных функций. Каждый тензор характеризуется своими рангами, которые указывают, сколько тангенсных и котангенсных факторов он имеет. Иногда эти ранги называют ковариантный и контравариантный разряды, обозначающие тангенс и котангенс, соответственно.

Комплект кадров

Дальнейшая информация: комплект кадров

Фрейм (или, точнее говоря, касательный фрейм) - это упорядоченная основа конкретного касательного пространства. Точно так же касательный репер является линейным изоморфизмом р^п к этому касательному пространству. Движущийся касательный фрейм - это упорядоченный список векторных полей, которые дают основу в каждой точке своего домена. Можно также рассматривать движущуюся раму как часть пучка рам F (M), а GL (п, р) основной пакет состоит из набора всех кадров M. Пакет кадров полезен, потому что тензорные поля на M можно рассматривать как эквивариантный вектор-функции на F (M).

Жиклеры

Дальнейшая информация: связка струй

На достаточно гладком многообразии можно также рассматривать различные виды расслоений струй. Касательное расслоение (первого порядка) к многообразию - это совокупность кривых на многообразии по модулю отношения эквивалентности первого порядка контакт. По аналогии kКасательное расслоение -го порядка - это совокупность кривых по модулю отношения kконтакт -го порядка. Точно так же кокасательное расслоение - это расслоение 1-струй функций на многообразии: k-jet bundle - это связка их k-джеты. Эти и другие примеры общей идеи струйных пучков играют важную роль в изучении дифференциальные операторы на коллекторах.

Понятие каркаса также обобщается на случай струй более высокого порядка. Определить kфрейм -го порядка быть k-джет диффеоморфизм из р^п к M.^[6] Сборник всех kкадры -го порядка, F^k(M), является основным грамм^k связать M, куда грамм^k это группа k-жеты; т.е. группа, состоящая из k-жеты диффеоморфизмов р^п которые фиксируют происхождение. Обратите внимание, что GL (п, р) естественно изоморфен грамм¹, и подгруппа каждого грамм^k, k ≥ 2. В частности, раздел F²(M) дает каркасные компоненты связь на M. Таким образом, фактор-расслоение F²(M) / GL (п, р) это связка симметричный линейные связи по M.

Исчисление на многообразиях

Многие техники из многомерное исчисление также применяются, mutatis mutandis, на дифференцируемые многообразия. Например, можно определить производную по направлению дифференцируемой функции вдоль касательного вектора к многообразию, и это приводит к способу обобщения полная производная функции: дифференциал. С точки зрения исчисления, производная функции на многообразии ведет себя примерно так же, как обычная производная функции, определенной на евклидовом пространстве, по крайней мере, локально. Например, есть версии скрытый и теоремы об обратной функции для таких функций.

Однако есть важные различия в исчислении векторных полей (и тензорных полей в целом). Короче говоря, производная по направлению векторного поля не определена четко или, по крайней мере, не определена прямым образом. Существуют несколько обобщений производной векторного поля (или тензорного поля), которые отражают некоторые формальные особенности дифференцирования в евклидовых пространствах. Основными из них являются:

• В Производная Ли, который однозначно определяется дифференциальной структурой, но не удовлетворяет некоторым обычным особенностям дифференцирования по направлениям.
• An аффинная связь, который не определен однозначно, но более полно обобщает черты обычного дифференцирования по направлениям. Поскольку аффинное соединение не уникально, это дополнительный фрагмент данных, который необходимо указать на коллекторе.

Идеи от интегральное исчисление также переносятся на дифференциальные многообразия. Они естественным образом выражаются на языке внешнее исчисление и дифференциальные формы. Основные теоремы интегрального исчисления многих переменных, а именно Теорема Грина, то теорема расходимости, и Теорема Стокса - обобщить до теоремы (также называемой теоремой Стокса), связывающей внешняя производная и интеграция подмногообразия.

Дифференциальное исчисление функций

Дифференцируемые функции между двумя многообразиями необходимы для того, чтобы сформулировать подходящие понятия подмногообразия, и другие связанные концепции. Если ж : M → N дифференцируемая функция на дифференцируемом многообразии M измерения м на другое дифференцируемое многообразие N измерения п, то дифференциал из ж это отображение df : ТM → ТN. Его также обозначают Tf и назвал касательная карта. В каждой точке M, это линейное преобразование из одного касательного пространства в другое:

${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.}$

В классифицировать из ж в п это классифицировать этого линейного преобразования.

Обычно ранг функции - это поточечное свойство. Однако, если функция имеет максимальный ранг, то ранг останется постоянным в окрестности точки. Дифференцируемая функция «обычно» имеет максимальный ранг в точном смысле, определяемом формулой Теорема Сарда. Функции максимального ранга в точке называются погружения и погружения:

• Если м ≤ п, и ж : M → N имеет звание м в п ∈ M, тогда ж называется погружение в п. Если ж это погружение во все точки M и является гомеоморфизм на его образ, затем ж является встраивание. Вложения формализуют понятие M быть подмногообразие из N. В общем, вложение - это погружение без самопересечений и других видов нелокальных топологических неоднородностей.
• Если м ≥ п, и ж : M → N имеет звание п в п ∈ M, тогда ж называется погружение в п. Теорема о неявной функции утверждает, что если ж это погружение в п, тогда M является местным продуктом N и р^м−п возле п. Формально существуют координаты (у₁, ..., у_п) в районе ж(п) в N, и м − п функции Икс₁, ..., Икс_м−п определен в окрестности п в M такой, что

${\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})}$

система локальных координат M в районе п. Погружения составляют основу теории расслоения и пучки волокон.

Производная Ли

А Производная Ли, названный в честь Софус Ли, это происхождение на алгебра из тензорные поля через многообразие M. В векторное пространство всех производных Ли на M образует бесконечное измерение Алгебра Ли с уважением к Кронштейн лжи определяется

${\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}$

Производные Ли представлены векторные поля, так как бесконечно малые генераторы потоков (активный диффеоморфизмы ) на M. Глядя на это с другой стороны, группа диффеоморфизмов M имеет связанную структуру алгебры Ли производных Ли способом, прямо аналогичным Группа Ли теория.

Внешний камень

Дальнейшая информация: дифференциальная форма

Внешнее исчисление позволяет обобщить градиент, расхождение и завиток операторы.

Связка дифференциальные формы, в каждой точке состоит из всех полностью антисимметричный полилинейный карты на касательном пространстве в этой точке. Естественно делится на п-формы для каждого п самое большее, равное размеру коллектора; ан п-форма - это п-переменная форма, также называемая формой степени п. 1-формы - это котангенс-векторы, а 0-формы - просто скалярные функции. В целом п-form - тензор с котангенсным рангом п и касательный ранг 0. Но не каждый такой тензор является формой, поскольку форма должна быть антисимметричной.

Внешняя производная

Существует карта от скаляров к ковекторам, называемая внешняя производная

${\displaystyle \mathrm {d} \colon {\mathcal {C}}(M)\to \mathrm {T} ^{*}(M):f\mapsto \mathrm {d} f}$

такой, что

${\displaystyle \mathrm {d} f\colon \mathrm {T} (M)\to {\mathcal {C}}(M):V\mapsto V(f).}$

Это карта, которая связывает ковекторы с бесконечно малыми смещениями, упомянутыми выше; некоторые ковекторы являются внешними производными скалярных функций. Его можно обобщить в карту из п-формируется в (п+1) -формы. Применение этой производной дважды даст нулевую форму. Формы с нулевой производной называются замкнутыми формами, а формы, которые сами являются внешними производными, известны как точные формы.

Пространство дифференциальных форм в точке является архетипическим примером внешняя алгебра; таким образом, у него есть произведение клина, отображающее k-форма и л-формировать в (k + л)-форма. Внешняя производная распространяется на эту алгебру и удовлетворяет версии правило продукта:

${\displaystyle \mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge \mathrm {d} \eta ).}$

Из дифференциальных форм и внешней производной можно определить когомологии де Рама коллектора. Звание п группа когомологий - это факторгруппа закрытых форм точными формами.

Топология дифференцируемых многообразий

Связь с топологическими многообразиями

Предположим, что ${\displaystyle M}$ топологический ${\displaystyle n}$-многообразие.

Если дан какой-нибудь гладкий атлас ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$, легко найти гладкий атлас, который определяет другую структуру гладкого многообразия на ${\displaystyle M;}$ рассматривать гомеморфизм ${\displaystyle \Phi :M\to M}$ который не является гладким относительно данного атласа; например, можно изменить локализованный негладкий выступ идентификационной карты. Тогда рассмотрим новый атлас ${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\varphi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A},}$ который легко проверяется как гладкий атлас. Однако карты в новом атласе несовместимы с диаграммами в старом атласе, поскольку для этого потребуется ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \Phi \circ \varphi _{\beta }^{-1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \Phi ^{-1}\circ \varphi _{\beta }^{-1}}$ гладкие для любого ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta ,}$ причем эти условия являются точным определением, что оба ${\displaystyle \Phi }$ и ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ гладкие, в отличие от того, как ${\displaystyle \Phi }$ был выбран.

Используя это наблюдение в качестве мотивации, можно определить отношение эквивалентности на пространстве гладких атласов на ${\displaystyle M}$ заявив, что гладкие атласы ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$ и ${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}}$ эквивалентны, если существует гомеоморфизм ${\displaystyle \Phi :M\to M}$ такой, что ${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\varphi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A}}$ плавно совместим с ${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B},}$ и такой, что ${\displaystyle \{(\Phi (V_{\beta }),\psi _{\beta }\circ \Phi ^{-1})\}_{\beta \in B}}$ плавно совместим с ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$

Короче говоря, можно сказать, что два гладких атласа эквивалентны, если существует диффеоморфизм ${\displaystyle M\to M,}$ в котором один гладкий атлас взят за область, а другой гладкий атлас - за диапазон.

Обратите внимание, что это отношение эквивалентности является уточнением отношения эквивалентности, которое определяет структуру гладкого многообразия, поскольку любые два гладко совместимых атласа также совместимы в данном смысле; можно взять ${\displaystyle \Phi }$ быть картой идентичности.

Если размер ${\displaystyle M}$ равно 1, 2 или 3, то существует гладкая структура на ${\displaystyle M}$, и все различные гладкие структуры эквивалентны в указанном выше смысле. Ситуация более сложная в высших измерениях, хотя до конца не изучена.

• Некоторые топологические многообразия не допускают гладких структур, как было первоначально показано с помощью десятимерный пример к Кервэр (1960). А основное приложение из уравнения в частных производных в дифференциальной геометрии из-за Саймон Дональдсон, в сочетании с результатами Майкл Фридман, показывает, что многие односвязные компактные топологические 4-многообразия не допускают гладких структур. Хорошо известным частным примером является E₈ многообразие.
• Некоторые топологические многообразия допускают множество гладких структур, не эквивалентных в указанном выше смысле. Это было первоначально обнаружено Джон Милнор в виде экзотические 7 сфер.^[7]

Классификация

Всякое одномерное связное гладкое многообразие диффеоморфно либо ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle S^{1},}$ каждый со своей стандартной гладкой структурой.

Для классификации гладких двумерных многообразий см. поверхность. Конкретный результат состоит в том, что каждое двумерное связное компактное гладкое многообразие диффеоморфно одному из следующих: ${\displaystyle S^{2},}$ или же ${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times S^{1}),}$ или же ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}.}$ Ситуация такая более нетривиальный если рассматривать комплексно-дифференцируемую структуру вместо гладкой структуры.

Ситуация в трех измерениях несколько сложнее, а известные результаты более косвенные. Замечательный результат, доказанный в 2002 г. методами уравнения в частных производных, это гипотеза геометризации, в общих чертах утверждая, что любое компактное гладкое 3-многообразие можно разбить на различные части, каждая из которых допускает римановы метрики, обладающие многими симметриями. Существуют также различные «результаты распознавания» геометризуемых трехмерных многообразий, такие как Жесткость Мостова и алгоритм Селы для проблемы изоморфизма гиперболических групп.^[8]

Классификация п-многообразия для п больше трех, как известно, невозможно, даже до гомотопическая эквивалентность. Для любого конечного представлен группы, можно построить замкнутое 4-многообразие, имеющее эту группу как фундаментальную. Поскольку нет алгоритма решать проблема изоморфизма для конечно представленных групп, не существует алгоритма, чтобы решить, имеют ли два 4-многообразия одну и ту же фундаментальную группу. Поскольку описанная ранее конструкция приводит к классу 4-многообразий, гомеоморфных тогда и только тогда, когда их группы изоморфны, проблема гомеоморфизма для 4-многообразий такова. неразрешимый. Кроме того, поскольку даже распознавание тривиальной группы неразрешимо, вообще невозможно даже решить, имеет ли многообразие тривиальную фундаментальную группу, т.е. односвязный.

Просто подключено 4-коллектор были классифицированы до гомеоморфизма Вольноотпущенник с использованием форма пересечения и Инвариант Кирби – Зибенмана. Теория гладких 4-многообразий, как известно, намного сложнее, так как экзотические гладкие структуры на р⁴ продемонстрировать.

Однако ситуация становится более управляемой для односвязных гладких многообразий размерности ≥ 5, где теорема о h-кобордизме может использоваться для сведения классификации к классификации с точностью до гомотопической эквивалентности, и теория хирургии может быть применено.^[9] Это было сделано для обеспечения явной классификации односвязных 5-коллекторы пользователя Деннис Барден.

Структуры на гладких многообразиях

(Псевдо) римановы многообразия

А Риманово многообразие состоит из гладкого многообразия вместе с положительно определенным внутренний продукт на каждом из отдельных касательных пространств. Эта коллекция внутренних продуктов называется Риманова метрика, и, естественно, является симметричным 2-тензорным полем. Эта «метрика» идентифицирует естественный изоморфизм векторного пространства ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}^{\ast }M}$ для каждого ${\displaystyle p\in M.}$ На римановом многообразии можно определить понятия длины, объема и угла. Любое гладкое многообразие может иметь множество различных римановых метрик.

А псевдориманово многообразие является обобщением понятия Риманово многообразие где внутренним продуктам разрешено иметь неопределенная подпись, в отличие от положительно определенный; они по-прежнему должны быть невырожденными. Каждое гладкое псевдориманово и риманово многообразие определяет ряд ассоциированных тензорных полей, таких как Тензор кривизны Римана. Псевдоримановы многообразия сигнатуры (3, 1) имеют основополагающее значение в общая теория относительности. Не всякому гладкому многообразию можно дать (нериманову) псевдориманову структуру; на это накладываются топологические ограничения.

А Финслеровский коллектор представляет собой другое обобщение риманова многообразия, в котором скалярное произведение заменяется на векторная норма; как таковой, это позволяет определять длину, но не угол.

Симплектические многообразия

Дальнейшая информация: симплектическое многообразие

А симплектическое многообразие многообразие, снабженное закрыто, невырожденный 2-форма. Это условие заставляет симплектические многообразия быть четномерными из-за того, что кососимметричные ${\displaystyle (2n+1)\times (2n+1)}$ все матрицы имеют нулевой определитель. Вот два основных примера:

• Котангенсные расслоения, возникающие как фазовые пространства в Гамильтонова механика, являются мотивирующим примером, поскольку они признают естественная симплектическая форма.
• Все ориентированные двумерные римановы многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ являются, естественно, симплектическими, определяя вид ${\displaystyle \omega (u,v)=g(u,J(v))}$ где для любого ${\displaystyle v\in T_{p}M,}$ ${\displaystyle J(v)}$ обозначает вектор такой, что ${\displaystyle v,J(v)}$ ориентированный ${\displaystyle g_{p}}$-ортонормальный базис ${\displaystyle T_{p}M.}$

Группы Ли

Дальнейшая информация: Группа Ли

А Группа Ли состоит из C^∞ многообразие ${\displaystyle G}$ вместе с группа структура на ${\displaystyle G}$ такие, что произведение и инверсия отображаются ${\displaystyle m:G\times G\to G}$ и ${\displaystyle i:G\to G}$ гладкие, как отображения многообразий. Эти объекты часто возникают естественным образом при описании (непрерывных) симметрий, и они образуют важный источник примеров гладких многообразий.

Однако многие известные в остальном примеры гладких многообразий не могут иметь структуру группы Ли, поскольку для данной группы Ли ${\displaystyle G}$ и любой ${\displaystyle g\in G}$, можно было бы рассмотреть карту ${\displaystyle m(g,\cdot ):G\to G}$ который отправляет элемент идентичности ${\displaystyle e}$ к ${\displaystyle g}$ а значит, рассматривая дифференциал ${\displaystyle T_{e}G\to T_{g}G,}$ дает естественное отождествление между любыми двумя касательными пространствами группы Ли. В частности, рассматривая произвольный ненулевой вектор в ${\displaystyle T_{e}G,}$ можно использовать эти отождествления, чтобы получить гладкое ненулевое векторное поле на ${\displaystyle G.}$ Это показывает, например, что нет четномерная сфера может поддерживать структуру группы Ли. Тот же аргумент показывает, в более общем смысле, что каждая группа Ли должна быть распараллеливаемый.

Альтернативные определения

Псевдогруппы

Понятие о псевдогруппа^[10] обеспечивает гибкое обобщение атласов, что позволяет единообразно определять множество различных структур на многообразиях. А псевдогруппа состоит из топологического пространства S и набор Γ, состоящий из гомеоморфизмов из открытых подмножеств S к другим открытым подмножествам S такой, что

1. Если ж ∈ Γ, и U является открытым подмножеством области ж, то ограничение ж|_U также принадлежит Γ.
2. Если ж является гомеоморфизмом из объединения открытых подмножеств S, ${\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}$, к открытому подмножеству S, тогда ж ∈ Γ при условии ${\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }$ для каждого я.
3. Для каждого открытого U ⊂ S, преобразование идентичности U находится в Γ.
4. Если ж ∈ Γ, тогда ж⁻¹ ∈ Γ.
5. Композиция двух элементов графа Γ лежит в Γ.

Эти последние три условия аналогичны определению группа. Отметим, что Γ не обязательно должна быть группой, поскольку функции не определены глобально на S. Например, сбор всех местных C^k диффеоморфизмы на р^п образуют псевдогруппу. Все биголоморфизмы между открытыми сетами в C^п образуют псевдогруппу. Другие примеры включают: сохраняющие ориентацию карты р^п, симплектоморфизмы, Преобразования Мебиуса, аффинные преобразования, и так далее. Таким образом, псевдогруппы определяются множеством функциональных классов.

Атлас (U_я, φ_я) гомеоморфизмов φ_я из U_я ⊂ M открыть подмножества топологического пространства S как говорят совместимый с псевдогруппой Γ при условии, что переходные функции φ_j ∘ φ_я⁻¹ : φ_я(U_я ∩ U_j) → φ_j(U_я ∩ U_j) все находятся в Γ.

Тогда дифференцируемое многообразие является атласом, совместимым с псевдогруппой C^k функции на р^п. Комплексное многообразие - это атлас, совместимый с биголоморфными функциями на открытых множествах в C^п. И так далее. Таким образом, псевдогруппы обеспечивают единую основу для описания многих структур на многообразиях, важных для дифференциальной геометрии и топологии.

Структурная связка

Иногда может быть полезно использовать альтернативный подход, чтобы снабдить многообразие C^k-структура. Здесь k = 1, 2, ..., ∞ или ω для вещественно аналитических многообразий. Вместо рассмотрения координатных диаграмм можно начать с функций, определенных на самом многообразии. В структурная связка из M, обозначенный C^k, это своего рода функтор что определяет для каждого открытого набора U ⊂ M, алгебра C^k(U) непрерывных функций U → р. Связка конструкции C^k говорят, что дает M структура C^k многообразие размеров п при условии, что для любого п ∈ M, существует окрестность U из п и п функции Икс¹, ..., Икс^п ∈ C^k(U) так что карта ж = (Икс¹, ..., Икс^п) : U → р^п является гомеоморфизмом на открытое множество в р^п, и такой, что C^k|_U это откат связки k-кратно непрерывно дифференцируемые функции на р^п.^[11]

В частности, это последнее условие означает, что любая функция час в C^k(V), за V, можно записать однозначно как час(Икс) = ЧАС(Икс¹(Икс), ..., Икс^п(Икс)), куда ЧАС это k-кратно дифференцируемая функция на ж(V) (открытый набор в р^п). Таким образом, теоретико-пучковая точка зрения состоит в том, что функции на дифференцируемом многообразии могут быть выражены в локальных координатах как дифференцируемые функции на р^п, и a fortiori этого достаточно, чтобы охарактеризовать дифференциальную структуру на многообразии.

Связки местных колец

Аналогичный, но более технический подход к определению дифференцируемых многообразий может быть сформулирован с использованием понятия окольцованное пространство. Этот подход находится под сильным влиянием теории схемы в алгебраическая геометрия, но использует местные кольца из микробы дифференцируемых функций. Это особенно популярно в контексте сложный коллекторы.

Начнем с описания основного структурного пучка на р^п. Если U это открытый набор в р^п, позволять

О(U) = C^k(U, р)

состоят из всех реальных k-кратно непрерывно дифференцируемые функции на U. В качестве U варьируется, это определяет связку колец на р^п. Стебель О_п за п ∈ р^п состоит из микробы функций рядом п, и является алгеброй над р. В частности, это местное кольцо чей уникальный максимальный идеал состоит из тех функций, которые обращаются в нуль при п. Пара (р^п, О) является примером локально окольцованное пространство: это топологическое пространство, снабженное пучком, каждый из стеблей которого является локальным кольцом.

Дифференцируемое многообразие (класса C^k) состоит из пары (M, О_M) куда M это второй счетный Пространство Хаусдорфа, и О_M это куча местных р-алгебры, определенные на M, такая, что локально окольцованное пространство (M, О_M) локально изоморфен (р^п, О). Таким образом, дифференцируемые многообразия можно рассматривать как схемы по образцу р^п. Это означает, что ^[12] за каждую точку п ∈ M, есть район U из п, и пара функций (ж, ж^#), куда

1. ж : U → ж(U) ⊂ р^п является гомеоморфизмом на открытое множество в р^п.
2. ж^#: О|_ж(U) → ж_∗ (О_M|_U) является изоморфизмом пучков.
3. Локализация ж^# является изоморфизмом локальных колец

ж^#_ж(п) : О_ж(п) → О_M,п.

Есть ряд важных причин для изучения дифференцируемых многообразий в рамках этой абстрактной структуры. Во-первых, нет априори причина того, что пространство модели должно быть р^п. Например, (в частности, в алгебраическая геометрия ), можно было бы принять это за пространство комплексных чисел C^п оснащенный связкой голоморфные функции (таким образом достигнув пространства комплексная аналитическая геометрия ), или пучок многочлены (таким образом, достигая интересующих пространств в сложных алгебраический геометрия). В более широком смысле эту концепцию можно адаптировать к любому подходящему понятию схемы (см. теория топоса ). Во-вторых, координаты больше не нужны для конструкции. Аналогом системы координат является пара (ж, ж^#), но они просто количественно определяют идею локальный изоморфизм вместо того, чтобы быть центральным элементом обсуждения (как в случае диаграмм и атласов). В-третьих, связка О_M явно не является набором функций. Скорее, он возникает как связка функций как последствие конструкции (через факторы локальных колец по их максимальным идеалам). Следовательно, это более примитивное определение структуры (см. синтетическая дифференциальная геометрия ).

Последним преимуществом этого подхода является то, что он позволяет естественным образом описывать многие фундаментальные объекты исследования дифференциальной геометрии и топологии.

• В котангенс пространство в какой-то момент я_п/я_п², куда я_п это максимальный идеал стебля О_M,п.
• В общем, вся котангенсный пучок можно получить с помощью родственной техники (см. котангенсный пучок подробнее).
• Серия Тейлор (и струи ) можно подойти независимо от координат с помощью я_п-адическая фильтрация на О_M,п.
• В касательный пучок (точнее, его пучок секций) можно отождествить с пучком морфизмов О_M в кольцо двойные числа.

Обобщения

В категория гладких многообразий с гладкими отображениями не хватает некоторых желаемых свойств, и люди пытались обобщить гладкие многообразия, чтобы исправить это. Диффеологические пространства используйте другое понятие диаграммы, известное как «сюжет». Пространства Фрелихера и орбифолды другие попытки.

А выпрямляемый набор обобщает идею кусочно-гладкой или выпрямляемая кривая в более высокие измерения; однако спрямляемые множества не являются общими многообразиями.

Банаховы многообразия и Многообразия Фреше, особенно многообразия отображений - бесконечномерные дифференцируемые многообразия.

Некоммутативная геометрия

Для C^k многообразие M, то набор реальных C^k функции на многообразии образуют алгебра при поточечном сложении и умножении, называемом алгебра скалярных полей или просто алгебра скаляров. Эта алгебра имеет постоянную функцию 1 в качестве мультипликативного тождества и является дифференцируемым аналогом кольца регулярные функции в алгебраической геометрии.

Можно восстановить многообразие по его алгебре скаляров, сначала как множество, но также и как топологическое пространство - это приложение Теорема Банаха – Стоуна, и более формально известен как спектр C * -алгебры. Во-первых, существует взаимно однозначное соответствие между точками M и гомоморфизмы алгебр φ: C^k(M) → р, как такой гомоморфизм φ соответствует идеалу коразмерности один в C^k(M) (а именно ядро φ), который обязательно является максимальным идеалом. Напротив, каждый максимальный идеал в этой алгебре является идеалом функций, обращающихся в нуль в одной точке, что демонстрирует, что MSpec (Max Spec) C^k(M) восстанавливает M как набор точек, хотя на самом деле он восстанавливает M как топологическое пространство.

Можно определить различные геометрические структуры алгебраически в терминах алгебры скаляров, и эти определения часто обобщаются на алгебраическую геометрию (геометрическая интерпретация колец) и теория операторов (геометрическая интерпретация банаховых пространств). Например, касательное расслоение к M можно определить как дифференцирование алгебры гладких функций на M.

Эта «алгебраизация» многообразия (замена геометрического объекта алгеброй) приводит к понятию C * -алгебра - коммутативная C * -алгебра, являющаяся в точности кольцом скаляров многообразия, Банаха – Стоуна, и позволяет рассматривать некоммутативные C * -алгебры как некоммутативные обобщения многообразий. Это основа области некоммутативная геометрия.

Смотрите также

• Аффинная связь
• Атлас (топология)
• Символы Кристоффеля
• Введение в математику общей теории относительности
• Список формул в римановой геометрии
• Риманова геометрия
• Космос (математика)

Примечания

Рекомендации

1. Б. Риман (1867).
2. Сам Максвелл работал с кватернионы вместо тензоров, но его уравнения для электромагнетизма использовались как ранний пример тензорного формализма; видеть Димитриенко, Юрий И. (2002), Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции, Springer, стр. xi, ISBN  9781402010156.
3. См. G. Ricci (1888), G. Ricci и T. Levi-Civita (1901), T. Levi-Civita (1927).
4. См. H. Weyl (1955).
5. Х. Уитни (1936).
6. См. С. Кобаяши (1972).
7. Дж. Милнор (1956).
8. З. Села (1995). Однако 3-многообразия классифицируются только в том смысле, что существует (непрактичный) алгоритм генерации неизбыточного списка всех компактных 3-многообразий.
9. См. A. Ranicki (2002).
10. Кобаяси и Номидзу (1963), Том 1.
11. Это определение можно найти у MacLane and Moerdijk (1992). Для эквивалента для этого случая определение см. Sternberg (1964), глава II.
12. Хартсхорн (1997)

Библиография

• Дональдсон, Саймон (1983). «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии». Журнал дифференциальной геометрии. 18 (2): 279–315. Дои:10.4310 / jdg / 1214437665.
• Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90244-9.
• «Дифференцируемое многообразие», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Кервер, Мишель А. (1960). «Многообразие, не допускающее дифференцируемой структуры». Комментарии Mathematici Helvetici. 34 (1): 257–270. Дои:10.1007 / BF02565940. S2CID  120977898..
• Кобаяси, Шошичи (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии. Springer.
• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия, Аспирантура по математике, 107, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  9780821848159 .
• Леви-Чивита, Туллио (1927). «Абсолютное дифференциальное исчисление (тензорное исчисление)». Природа. 120 (3024): 542–543. Bibcode:1927Натура.120..542Б. Дои:10.1038 / 120542a0. S2CID  4109613.
• Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992). Пучки в геометрии и логике. Springer. ISBN  0-387-97710-4.
• Милнор, Джон (1956). «О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере». Анналы математики. 64 (2): 399–405. Дои:10.2307/1969983. JSTOR  1969983.
• Раники, Андрей (2002). Алгебраическая и геометрическая хирургия. Оксфордские математические монографии, Clarendon Press. ISBN  0-19-850924-3.
• Риччи-Курбастро, Грегорио; Леви-Чивита, Туллио (1901). Die Methoden des Absoluten Differentialkalkuls.
• Риччи-Курбастро, Грегорио (1888). «Delle Derivazioni covarianti e controvarianti e del loro uso nella analisi Applicata» (на итальянском языке).
• Риман, Бернхард (1867). "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (О гипотезах, лежащих в основе геометрии)". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 13.
• Села, Злиль (1995). «Проблема изоморфизма гиперболических групп. I». Анналы математики. 141 (2): 217–283. Дои:10.2307/2118520. JSTOR  2118520.
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис-Холл.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гладкий коллектор». Получено 2008-03-04.

• Вейль, Германн (1955). Die Idee der Riemannschen Fläche. Teubner.
• Уитни, Хасслер (1936). «Дифференцируемые многообразия». Анналы математики. 37 (3): 645–680. Дои:10.2307/1968482. JSTOR  1968482.