Дифференцируемая кривая - Differentiable curve

Эта статья о кривых в евклидовом пространстве. Для кривых в произвольном топологическом пространстве см. Изгиб.

Дифференциальная геометрия кривых это филиал геометрия что имеет дело с гладкими кривые в самолет и Евклидово пространство методами дифференциал и интегральное исчисление.

Много конкретные кривые были тщательно исследованы с использованием синтетический подход. Дифференциальная геометрия идет по другому пути: кривые представлены в параметризованная форма, а также их геометрические свойства и различные связанные с ними величины, такие как кривизна и длина дуги, выражаются через производные и интегралы с помощью векторное исчисление. Одним из наиболее важных инструментов, используемых для анализа кривой, является Рамка Frenet, подвижная рамка, которая обеспечивает систему координат в каждой точке кривой, которая «лучше всего приспособлена» к кривой около этой точки.

Теория кривых намного проще и уже по своему охвату, чем теория кривых. теория поверхностей и его многомерные обобщения, потому что регулярная кривая в евклидовом пространстве не имеет внутренней геометрии. Любая регулярная кривая может быть параметризована длиной дуги ( естественная параметризация). С точки зрения теоретическая точечная частица на кривой, которая ничего не знает об окружающем пространстве, все кривые выглядят одинаково. Различные кривые пространства отличаются только тем, как они изгибаются и скручиваются. Количественно это измеряется дифференциально-геометрическими инвариантами, называемыми кривизна и кручение кривой. В основная теорема кривых утверждает, что знание этих инвариантов полностью определяет кривую.

Определения

Основная статья: Изгиб

А параметрический C^р-изгиб или C^р-параметризация это вектор-функция

${\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}$

то есть р-раз непрерывно дифференцируемый (то есть составляющие функции γ непрерывно дифференцируемы), где п ∈ ℕ, р ∈ ℕ ∪ {∞}, и я быть непустым интервал реальных чисел. В изображение параметрической кривой γ[я] ⊆ ℝ^п. Параметрическая кривая γ и его образ γ[я] необходимо различать, потому что данное подмножество ℝ^п может быть изображением нескольких различных параметрических кривых. Параметр т в γ(т) можно рассматривать как представление времени, и γ в траектория движущейся точки в пространстве. Когда я это закрытый интервал [а,б], γ(а) называется отправной точкой и γ(б) это конечная точка γ. Если начальная и конечная точки совпадают (т. Е. γ(а) = γ(б)), тогда γ это замкнутая кривая или петля. За то, что C^р-loop, функция γ должно быть р-кратно дифференцируемые и удовлетворяют γ^(k)(а) = γ^(k)(б) за 0 ≤ k ≤ р.

Параметрическая кривая просто если

${\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}$

является инъективный. это аналитический если каждая функция компонента γ является аналитическая функция, то есть классная C^ω.

Кривая γ является регулярный заказ м (куда м ≤ р) если для каждого т ∈ я,

${\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}$

это линейно независимый подмножество ℝ^п. В частности, параметрический C¹-изгиб γ является обычный если и только если γ′(т) ≠ 0 для любого т ∈ я.

Репараметризация и отношение эквивалентности

Смотрите также: Вектор положения и Вектор-функция

Для изображения параметрической кривой существует несколько различных параметризаций параметрической кривой. Дифференциальная геометрия направлена ​​на описание свойств параметрических кривых, инвариантных при определенных репараметризациях. Подходящий отношение эквивалентности на множестве всех параметрических кривых должны быть определены. Дифференциально-геометрические свойства параметрической кривой (например, ее длина, Рамка Frenet, и его обобщенная кривизна) инвариантны относительно репараметризации и, следовательно, свойства класс эквивалентности сам. Классы эквивалентности называются C^р-кривые и являются центральными объектами, изучаемыми в дифференциальной геометрии кривых.

Два параметрических C^р-кривые, γ₁ : я₁ → ℝ^п и γ₂ : я₂ → ℝ^п, как говорят, эквивалент тогда и только тогда, когда существует биективный C^р-карта φ : я₁ → я₂ такой, что

${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}$

и

${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}$

γ₂ тогда говорят, что это повторная параметризация из γ₁.

Повторная параметризация определяет отношение эквивалентности на множестве всех параметрических C^р-кривые класса C^р. Класс эквивалентности этого отношения просто a C^р-изгиб.

Даже тоньше отношение эквивалентности ориентированных параметрических C^р-кривые можно определить, потребовав φ удовлетворить φ′(т) > 0.

Эквивалентный параметрический C^р-кривые имеют одинаковое изображение и эквивалентно ориентированные параметрические C^р-кривые даже пересекают изображение в одном направлении.

Длина и естественная параметризация

Основная статья: Длина дуги

Смотрите также: Кривая § Длина кривой

Длина л параметрического C¹-изгиб γ : [а,б] → ℝ^п определяется как

${\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}$

Длина параметрической кривой инвариантна при повторной параметризации и, следовательно, является дифференциально-геометрическим свойством параметрической кривой.

Для каждого штатного параметрического C^р-изгиб γ : [а,б] → ℝ^п, куда р ≥ 1, функция определяется

${\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}$

Письмо γ(s) = γ(т(s)), куда т(s) является обратной функцией s(т). Это повторная параметризация γ из γ это называется параметризация длины дуги, естественная параметризация, параметризация единичной скорости. Параметр s(т) называется естественный параметр из γ.

Эта параметризация предпочтительна, поскольку естественный параметр s(т) пересекает образ γ на единичной скорости, так что

${\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}$

На практике часто очень трудно вычислить естественную параметризацию параметрической кривой, но это полезно для теоретических рассуждений.

Для заданной параметрической кривой γ, естественная параметризация единственна с точностью до сдвига параметра.

Количество

${\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$

иногда называют энергия или же действие кривой; это название оправдано, потому что геодезический уравнения являются Уравнения Эйлера – Лагранжа. движения для этого действия.

Рамка Frenet

Основная статья: Формулы Френе – Серре

Иллюстрация рамки Френе для точки на пространственной кривой. Т - единичная касательная, п блок нормальный, и B единица бинормали.

Фрейм Френета - это движущаяся система отсчета из п ортонормированный векторов е_я(т) которые используются для локального описания кривой в каждой точке γ(т). Это основной инструмент дифференциально-геометрической обработки кривых, потому что гораздо проще и естественнее описывать локальные свойства (например, кривизну, кручение) в терминах локальной системы отсчета, чем с использованием глобальной, такой как евклидовы координаты.

Учитывая C^{п + 1}-изгиб γ в ℝ^п что регулярно по порядку п фрейм Френе для кривой - это набор ортонормированных векторов

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

называется Векторы Френета. Они построены из производных от γ(т) с использованием Алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта с

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[8px]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)\end{aligned}}}$

Действительные функции χ_я(т) называются обобщенными кривизнами и определяются как

${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}$

Система отсчета Френе и обобщенные кривизны инвариантны относительно репараметризации и, следовательно, являются дифференциально-геометрическими свойствами кривой.

Кривая Бертрана

Кривая Бертрана - это кривая Френе в ℝ³ с дополнительным свойством, что есть вторая кривая в ℝ³ так что векторы главных нормалей эти две кривые идентичны в каждой соответствующей точке. Другими словами, если р→₁(т) и р→₂(т) две кривые в ℝ³ такой, что для любого т, N→₁ = N→₂, тогда р→₁ и р→₂ - кривые Бертрана. По этой причине принято говорить о паре кривых Бертрана (например, р→₁ и р→₂ в предыдущем примере). Согласно проблеме 25 в книге Кюнеля «Кривые дифференциальной геометрии - поверхности - многообразия» также верно, что две кривые Бертрана, которые не лежат в одной и той же двумерной плоскости, характеризуются существованием линейной зависимости aκ + bτ = 1 куда а и б реальные константы и а ≠ 0.^[1] Кроме того, продукт кручения пар кривых Бертрана постоянны.^[2]

Специальные векторы Френе и обобщенные кривизны

Основная статья: Формулы Френе – Серре

Первые три вектора Френе и обобщенные кривизны могут быть визуализированы в трехмерном пространстве. У них есть дополнительные имена и дополнительная семантическая информация.

Касательный вектор

Если кривая γ представляет собой путь частицы, тогда мгновенное скорость частицы в данной точке п выражается вектор, называемый касательным вектором к кривой в точке п. Математически, учитывая параметризованный C¹ изгиб γ = γ(т), для каждого значения т = т₀ параметра, вектор

${\displaystyle \gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\ {\text{at}}\ t=t_{0}}$

касательный вектор в точке п = γ(т₀). Вообще говоря, касательный вектор может быть нуль. Величина касательного вектора

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}$

скорость в то время т₀.

Первый вектор Френета е₁(т) единичный касательный вектор в том же направлении, определенный в каждой регулярной точке γ:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$

Если т = s - натуральный параметр, то касательный вектор имеет единичную длину. Формула упрощается:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)}$.

Единичный касательный вектор определяет ориентацию кривой или прямое направление, соответствующее возрастающим значениям параметра. Единичный касательный вектор, взятый в качестве кривой, отслеживает сферическое изображение исходной кривой.

Вектор нормали или кривизны

Вектор нормали, иногда называемый вектором кривизны, указывает отклонение кривой от прямой линии.

Он определяется как

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).}$

Его нормализованная форма, единичный вектор нормали, является вторым вектором Френе. е₂(т) и определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}$

Касательная и нормальный вектор в точке т определить соприкасающаяся плоскость в точке т.

Можно показать, что ē₂(т) ∝ е′₁(т). Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}$

Кривизна

Основная статья: Кривизна пространственных кривых

Первая обобщенная кривизна χ₁(т) называется кривизной и измеряет отклонение γ быть прямой линией относительно соприкасающейся плоскости. Он определяется как

${\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$

и называется кривизна из γ в точке т. Можно показать, что

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$

В взаимный кривизны

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}$

называется радиус кривизны.

Круг с радиусом р имеет постоянную кривизну

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}$

тогда как линия имеет кривизну 0.

Бинормальный вектор

Единичный бинормальный вектор - это третий вектор Френе. е₃(т). Он всегда ортогонален единичным касательным и нормальным векторам в точке т. Он определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}$

В трехмерном пространстве уравнение упрощается до

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}$

или чтобы

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}$

То, что может иметь место любой знак, иллюстрируется примерами правой спирали и левой спирали.

Кручение

Основная статья: Кручение кривой

Вторая обобщенная кривизна χ₂(т) называется кручение и измеряет отклонение γ от плоской кривой. Другими словами, если кручение равно нулю, кривая полностью лежит в одной и той же соприкасающейся плоскости (для каждой точки существует только одна соприкасающаяся плоскость. т). Он определяется как

${\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$

и называется кручение из γ в точке т.

Основная теорема теории кривых

Основная статья: Основная теорема кривых

Данный п − 1 функции:

${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$

то существует единственное (с точностью до преобразований с использованием Евклидова группа ) C^{п + 1}-изгиб γ что регулярно по порядку п и имеет следующие свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}$

где набор

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

- рамка Френе для кривой.

Дополнительно предоставив начало т₀ в я, отправная точка п₀ в ℝ^п и начальный положительный ортонормированный фрейм Френе {е₁, …, е_{п − 1}} с

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}$

Евклидовы преобразования исключаются для получения единственной кривой γ.

Формулы Френе – Серре

Основная статья: Формулы Френе – Серре

Формулы Френе – Серре представляют собой набор обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение представляет собой набор векторов Френе, описывающих кривую, заданную обобщенными функциями кривизны χ_я.

2 измерения

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}$

3 измерения

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

п размеры (общая формула)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Список тем кривых

Рекомендации

1. Кюнель, Вольфганг (2005). Дифференциальная геометрия: кривые, поверхности, многообразия. Провиденс: AMS. п. 53. ISBN  0-8218-3988-8.
2. http://mathworld.wolfram.com/BertrandCurves.html

дальнейшее чтение

• Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-66721-9. Глава II - это классическая трактовка Теория кривых в 3-х измерениях.