Параллельная кривая - Parallel curve

Не путать с параллельный транспорт.

Параллельные кривые графика ${\displaystyle y=1.5\sin(x)}$ на расстояния ${\displaystyle d=0.25,\dots ,1.5}$

Два определения параллельной кривой: 1) огибающая семейства конгруэнтных окружностей, 2) фиксированное нормальное расстояние

Параллельные кривые круга (красный) тоже круги

А параллельно из изгиб это

• конверт семьи конгруэнтных круги по центру кривой.

Это обобщает понятие параллельные линии. Его также можно определить как

• кривая, точки которой находятся в фиксированное нормальное расстояние от заданной кривой.^[1]

Эти два определения не полностью эквивалентны, поскольку последнее предполагает гладкость, тогда как в первом нет.^[2]

В системы автоматизированного проектирования предпочтительный термин для параллельной кривой кривая смещения.^[2][3][4] (В других геометрических контекстах термин смещение также может относиться к перевод.^[5]) Кривые смещения важны, например, в с числовым программным управлением механическая обработка, где они описывают, например, форму реза, сделанного круглым режущим инструментом двухкоординатного станка. Форма реза смещена от траектории фрезы на постоянное расстояние в направлении, нормальном к траектории фрезы в каждой точке.^[6]

В области 2D компьютерная графика известный как векторная графика, (приблизительное) вычисление параллельных кривых участвует в одной из основных операций рисования, называемой штриховкой, которая обычно применяется к полилинии или же полибезье (сами называемые путями) в этом поле.^[7]

За исключением случая линии или круг, параллельные кривые имеют более сложную математическую структуру, чем кривая-предшественница.^[1] Например, даже если кривая предшественника гладкий, его смещения могут быть не такими; это свойство проиллюстрировано на верхнем рисунке с использованием синусоида как кривая-предшественница.^[2] В общем, даже если кривая рациональный, его смещения могут и не быть. Например, смещения параболы - рациональные кривые, но смещения параболы эллипс или из гипербола не рациональны, хотя сами эти кривые-прародители рациональны.^[3]

Это понятие также распространяется на 3D. поверхности, где он называется смещенная поверхность.^[8] Увеличение твердого объема за счет (постоянного) смещения расстояния иногда называют расширение.^[9] Противоположную операцию иногда называют артобстрел.^[8] Смещенные поверхности важны в с числовым программным управлением механическая обработка, где описывается форма реза, выполненного концевой фрезой со сферической головкой трехосного станка.^[10] Другие формы режущих коронок можно моделировать математически с помощью общих поверхностей смещения.^[11]

Параллельная кривая параметрически заданной кривой

Если существует регулярное параметрическое представление ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$ данной доступной кривой, второе определение параллельной кривой (см. выше) приводит к следующему параметрическому представлению параллельной кривой с расстоянием ${\displaystyle |d|}$:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$ с блоком нормальный ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$.

В декартовых координатах:

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

Параметр расстояния ${\displaystyle d}$ тоже может быть отрицательным. В этом случае получается параллельная кривая на противоположной стороне кривой (см. Диаграмму на параллельных кривых окружности). Легко проверить: параллельная кривая прямой - это параллельная линия в обычном смысле, а параллельная кривая окружности - это концентрическая окружность.

Геометрические свойства:^[12]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$ это означает: касательные векторы для фиксированного параметра параллельны.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }$ с ${\displaystyle k(t)}$ то кривизна данной кривой и ${\displaystyle k_{d}(t)}$ кривизна параллельной кривой для параметра ${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$ с ${\displaystyle R(t)}$ то радиус кривизны данной кривой и ${\displaystyle R_{d}(t)}$ радиус кривизны параллельной кривой для параметра ${\displaystyle t}$.

• Что касается параллельные линии, нормальная линия к кривой также нормальна к ее параллелям.
• При построении параллельных кривых они будут иметь куспиды когда расстояние от кривой совпадает с радиусом кривизна. Это точки, где кривая касается эволюционировать.
• Если кривая-предшественница является границей плоского множества, а ее параллельная кривая не имеет самопересечений, то последняя является границей плоского множества. Сумма Минковского плоского набора и диска заданного радиуса.

Если данная кривая полиномиальна (то есть ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ являются полиномами), то параллельные кривые обычно не являются полиномами. В области САПР это недостаток, поскольку в САПР используются полиномы или рациональные кривые. Чтобы получить хотя бы рациональные кривые, квадратный корень из представления параллельной кривой должен быть разрешимым. Такие кривые называются кривые годографа пифагора и были исследованы Р. Фаруки.^[13]

Параллельные кривые неявной кривой

Параллельные кривые неявной кривой (красные) с уравнением ${\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0}$

Как правило, аналитическое представление параллельной кривой неявная кривая это невозможно. Только для простых случаев прямых и окружностей можно легко описать параллельные кривые, например:

Линия ${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$ → функция расстояния: ${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$ (Нормальная форма Гессе)

Круг ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$ → функция расстояния: ${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

Вообще говоря, предполагая определенные условия, можно доказать существование функция ориентированного расстояния ${\displaystyle h(x,y)}$. На практике приходится относиться к этому численно.^[14] Если рассматривать параллельные кривые, верно следующее:

• Параллельная кривая для расстояния d - это набор уровней ${\displaystyle h(x,y)=d}$ соответствующей ориентированной функции расстояния ${\displaystyle h}$.

Свойства функции расстояния:^{[12] [15]}

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

Пример:
На схеме показаны параллельные кривые неявной кривой с уравнением ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$
Замечание:Кривые ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$ не являются параллельными кривыми, потому что ${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$ не соответствует действительности в интересующей области.

Дальнейшие примеры

Эвволы круга

• В эвольвенты данной кривой - это набор параллельных кривых. Например: эвольвенты окружности - это параллельные спирали (см. Диаграмму).

И:^[16]

• А парабола имеет как (двусторонние) смещения рациональные кривые степени 6.
• А гипербола или эллипс имеет как (двусторонние) смещения алгебраическая кривая степени 8.
• А Кривая Безье степени п имеет как (двусторонние) смещения алгебраические кривые степени 4п − 2. В частности, кубическая кривая Безье имеет в качестве (двусторонних) смещений алгебраические кривые степени 10.

Параллельная кривая кривой с углом

Параллельные кривые кривой с прерывистой нормалью вокруг угла

При определении траектории резания детали с острым углом для механическая обработка необходимо определить кривую, параллельную (смещенной) заданной кривой, имеющей прерывистую нормаль в углу. Несмотря на то, что данная кривая не является гладкой в ​​остром углу, ее параллельная кривая может быть гладкой с непрерывной нормалью или может иметь куспиды когда расстояние от кривой совпадает с радиусом кривизна в остром углу.

Обычные вентиляторы

Как описано над, параметрическое представление параллельной кривой, ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$, по заданной кривой, ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, с расстоянием ${\displaystyle |d|}$ является:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$ с блоком нормальный ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$.

В остром углу (${\displaystyle t=t_{c}}$) нормаль к ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$ данный ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ прерывистый, то есть односторонний предел нормального слева ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ не равняется до предела справа ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$. Математически,

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$.

Обычный веер для определения параллельных кривых вокруг острого угла

Однако мы можем определить нормальный вентилятор^[11] ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ что обеспечивает интерполянт между ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ и ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$, и используйте ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ на месте ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ в остром углу:

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$куда ${\displaystyle 0<\alpha <1}$.

Полученное определение параллельной кривой ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$ обеспечивает желаемое поведение:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

Алгоритмы

Эффективным алгоритмом компенсации является уровневый подход, описанныйКимел и Брукштейн (1993).^[17]

Для этой задачи существует множество приближенных алгоритмов. Обзор 1997 г. см. В книге Элбера, Ли и Кима «Сравнение методов аппроксимации кривой смещения».^[18]

Параллельные (смещенные) поверхности

Офсетная поверхность сложной неправильной формы

Смещенные поверхности важны в с числовым программным управлением механическая обработка, где описывается форма реза, выполненного концевой фрезой со сферическим концом трехкоординатной фрезы.^[10] Если существует регулярное параметрическое представление ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ данной доступной поверхности, второе определение параллельной кривой (см. выше) обобщается на следующее параметрическое представление параллельной поверхности с расстоянием ${\displaystyle |d|}$:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$ с блоком нормальный ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$.

Параметр расстояния ${\displaystyle d}$ тоже может быть отрицательным. В этом случае получается параллельная поверхность на противоположной стороне поверхности (см. Аналогичную диаграмму на параллельных кривых окружности). Легко проверить: параллельная поверхность плоскости - это параллельная плоскость в обычном смысле, а параллельная поверхность сферы - это концентрическая сфера.

Геометрические свойства:^[19]

• ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$ это означает: касательные векторы для фиксированных параметров параллельны.
• ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$ это означает: векторы нормали для фиксированных параметров совпадают с направлением.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$ куда ${\displaystyle S_{d}}$ и ${\displaystyle S}$ являются операторы формы за ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ и ${\displaystyle {\vec {x}}}$, соответственно.

Основные изгибы - это собственные значения из оператор формы, главными направлениями кривизны являются ее собственные векторы, то Гауссова кривизна это его детерминант, а средняя кривизна вдвое меньше след.

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$ куда ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$ и ${\displaystyle S^{-1}}$ являются обратными операторы формы за ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ и ${\displaystyle {\vec {x}}}$, соответственно.

Основные радиусы кривизны - это собственные значения инверсии оператор формы, главными направлениями кривизны являются ее собственные векторы, обратная Гауссова кривизна это его детерминант, а средний радиус кривизны вдвое меньше след.

Обратите внимание на сходство с геометрическими свойствами параллельные кривые.

Обобщения

Проблема довольно очевидно обобщается на более высокие измерения, например. для смещения поверхностей, и немного менее тривиально для поверхности трубы.^[20] Обратите внимание, что терминология для многомерных версий варьируется даже шире, чем в плоском случае, например другие авторы говорят о параллельных волокнах, лентах и ​​трубках.^[21] Для кривых, встроенных в 3D-поверхности, смещение может производиться по геодезический.^[22]

Другой способ обобщить это (даже в 2D) - рассмотреть переменное расстояние, например параметризованный другой кривой.^[19] Например, обводку (конверт) можно использовать эллипсом вместо круга.^[19] как это возможно например в МЕТАФОНТ.^[23]

Огибающая эллипсов, образующая две общие кривые смещения выше и ниже заданной кривой

В последнее время Adobe Illustrator добавил несколько аналогичных возможностей в версии CS5, хотя контрольные точки для переменной ширины указаны визуально.^[24] В контекстах, где важно различать постоянное и переменное смещение расстояния, иногда используются аббревиатуры CDO и VDO.^[9]

Общие кривые смещения

Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление кривой, ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$, и у вас есть вторая кривая, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, где нормаль ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ (эта параметризация нормалью существует для кривых, кривизна которых строго положительна или отрицательна и, следовательно, выпуклая, гладкая и непрямая). Параметрическое представление общей кривой смещения ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ компенсируется ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ является:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$ куда ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ единица нормали ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$.

Обратите внимание, что тривиальное смещение, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$, дает вам обычные параллельные (иначе говоря, смещенные) кривые.

Геометрические свойства:^[19]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$ это означает: касательные векторы для фиксированного параметра параллельны.
• Что касается параллельные линии, нормаль к кривой также нормальна к ее общим смещениям.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$ с ${\displaystyle k_{d}(t)}$ то кривизна общей кривой смещения, ${\displaystyle k(t)}$ кривизна ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, и ${\displaystyle k_{n}(t)}$ кривизна ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ для параметра ${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$ с ${\displaystyle R_{d}(t)}$ то радиус кривизны общей кривой смещения, ${\displaystyle R(t)}$ радиус кривизны ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, и ${\displaystyle R_{n}(t)}$ радиус кривизны ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ для параметра ${\displaystyle t}$.
• При построении общих кривых смещения они будут иметь куспиды когда кривизна кривой соответствует кривизне смещения. Это точки, где кривая касается эволюционировать.

Поверхности общего смещения

Общие смещенные поверхности описывают форму разрезов, выполненных различными режущими коронками, используемыми трехосными концевыми фрезами в с числовым программным управлением механическая обработка.^[11] Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление поверхности, ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$, и у вас есть вторая поверхность, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, где нормаль ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ (эта параметризация нормалью существует для поверхностей, Гауссова кривизна строго положительна и, следовательно, выпуклая, гладкая, а не плоская). Параметрическое представление общей офсетной поверхности ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ компенсируется ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ является:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$ куда ${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$ единица нормали ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$.

Обратите внимание, что тривиальное смещение, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$, дает вам обычные параллельные (иначе говоря, смещенные) поверхности.

Геометрические свойства:^[19]

• Что касается параллельные линии касательная плоскость к поверхности параллельна касательной плоскости ее общих смещений.
• Что касается параллельные линии, нормаль к поверхности также нормальна к ее общим выносам.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$ куда ${\displaystyle S_{d},S,}$ и ${\displaystyle S_{n}}$ являются операторы формы за ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ и ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, соответственно.

Основные изгибы - это собственные значения из оператор формы, главными направлениями кривизны являются ее собственные векторы, то Гауссова кривизна это его детерминант, а средняя кривизна вдвое меньше след.

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$ куда ${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$ и ${\displaystyle S_{n}^{-1}}$ являются обратными операторы формы за ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ и ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, соответственно.

Основные радиусы кривизны - это собственные значения инверсии оператор формы, главными направлениями кривизны являются ее собственные векторы, обратная Гауссова кривизна это его детерминант, а средний радиус кривизны вдвое меньше след.

Обратите внимание на сходство с геометрическими свойствами общие кривые смещения.

Вывод геометрических свойств для общих выносов

Геометрические свойства, перечисленные выше для общих кривых и поверхностей смещения, могут быть получены для смещений произвольного размера. Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление n-мерной поверхности, ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$, где размерность ${\displaystyle {\vec {u}}}$ это n-1. Также предположим, что у вас есть вторая n-мерная поверхность, которая может быть параметризована ее единичной нормалью, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, где нормаль ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ (эта параметризация нормалью существует для поверхностей, Гауссова кривизна строго положительный, а значит, выпуклый, гладкий, а не плоский). Параметрическое представление общей офсетной поверхности ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ компенсируется ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ является:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$ куда ${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$ единица нормали ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$. (Тривиальное смещение, ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$, дает обычные параллельные поверхности.)

Во-первых, обратите внимание, что нормальный ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$ нормальный ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$ по определению. Теперь применим дифференциал по отношению к ${\displaystyle {\vec {u}}}$ к ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$, что дает нам его касательные векторы, охватывающие его касательную плоскость.

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Обратите внимание, касательные векторы для ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ являются суммой касательных векторов для ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ и его смещение ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$, которые используют одну и ту же единицу нормально. Таким образом, общая поверхность смещения имеет ту же касательную плоскость и нормаль с ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ и ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$. Это соответствует природе конвертов.

Теперь рассмотрим Уравнения Вейнгартена для оператор формы, который можно записать как ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$. Если ${\displaystyle S}$ обратимо, ${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$. Напомним, что главные кривизны поверхности - это собственные значения оператора формы основными направлениями кривизны являются его собственные векторы кривизна Гаусса - это его детерминант, а средняя кривизна вдвое меньше след. Обратный к оператору формы сохраняет те же значения для радиусов кривизны.

Подставляя в уравнение для дифференциала ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$, мы получили:

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$ куда ${\displaystyle S_{n}}$ это оператор формы для ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$.

Далее мы используем Уравнения Вейнгартена снова заменить ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$:

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$ куда ${\displaystyle S}$ это оператор формы для ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$.

Затем мы решаем для ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$ и умножить обе стороны на ${\displaystyle -S}$ вернуться к Уравнения Вейнгартена на этот раз для ${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$:

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

Таким образом, ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$, и инвертирование обеих сторон дает нам, ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$.

Смотрите также

• Отображение рельефа
• Функция расстояния и знаковая функция расстояния
• Поле расстояния
• Офсетная печать
• Трубчатый район

Рекомендации

1. Уилсон, Фредерик Ньютон (1898). Теоретическая и практическая графика. Макмиллан. п.66. ISBN  978-1-113-74312-1.
2. Девадосс, Сатьян Л.; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия. Издательство Принстонского университета. С. 128–129. ISBN  978-1-4008-3898-1.
3. Сендра, Дж. Рафаэль; Винклер, Франц; Перес Диас, Соня (2007). Рациональные алгебраические кривые: подход компьютерной алгебры. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN  978-3-540-73724-7.
4. Агостон, Макс К. (2005). Компьютерная графика и геометрическое моделирование: математика. Springer Science & Business Media. п. 586. ISBN  978-1-85233-817-6.
5. Винс, Джон (2006). Геометрия для компьютерной графики: формулы, примеры и доказательства. Springer Science & Business Media. п. 293. ISBN  978-1-84628-116-7.
6. Марш, Дункан (2006). Прикладная геометрия для компьютерной графики и САПР (2-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 107. ISBN  978-1-84628-109-9.
7. http://www.slideshare.net/Mark_Kilgard/22pathrender, п. 28
8. Агостон, Макс К. (2005). Компьютерная графика и геометрическое моделирование. Springer Science & Business Media. С. 638–645. ISBN  978-1-85233-818-3.
9. http://www.cc.gatech.edu/~jarek/papers/localVolume.pdf, п. 3
10. Faux, I.D .; Пратт, Майкл Дж. (1979). Вычислительная геометрия для проектирования и производства. Холстед Пресс. ISBN  978-0-47026-473-7. OCLC  4859052.
11. Брехнер, Эрик (1990). Огибающие и траектории инструмента для трехкоординатного торцевого фрезерования (Кандидат наук). Политехнический институт Ренсселера.
12. Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования. С. 30.
13. Рида Т. Фаруки:Кривые Пифагора-Годографа: алгебра и геометрия неразделимы (геометрия и вычисления). Springer, 2008 г., ISBN  978-3-540-73397-3.
14. Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования. С. 81, С. 30, 41, 44.
15. J.A. Торп: Элементарные темы в дифференциальной геометрии, Springer-Verlag, 1979, ISBN  0-387-90357-7.
16. http://faculty.engineering.ucdavis.edu/farouki/wp-content/uploads/sites/41/2013/02/Introduction-to-PH-curves.pdf, п. 16 «Таксономия офсетных кривых»
17. Киммел и Брукштейн (1993) Смещения формы через наборы уровней САПР (автоматизированное проектирование) 25 (3): 154–162.
18. http://www.computer.org/csdl/mags/cg/1997/03/mcg1997030062.pdf
19. Брехнер, Эрик Л. (1992). «5. Общие кривые смещения и поверхности». В Барнхилле, Роберт Э. (ред.). Обработка геометрии для проектирования и производства. СИАМ. С. 101–. ISBN  978-0-89871-280-3.
20. Поттманн, Гельмут; Валлнер, Йоханнес (2001). Расчетная геометрия линии. Springer Science & Business Media. С. 303–304. ISBN  978-3-540-42058-3.
21. Чирикджян, Грегори С. (2009). Стохастические модели, теория информации и группы Ли, Том 1: Классические результаты и геометрические методы. Springer Science & Business Media. С. 171–175. ISBN  978-0-8176-4803-9.
22. Сарфраз, Мухаммад, изд. (2003). Успехи в геометрическом моделировании. Вайли. п. 72. ISBN  978-0-470-85937-7.
23. https://www.tug.org/TUGboat/tb16-3/tb48kinc.pdf
24. http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 применение обобщенной версии в Adobe Illustrator CS5 (также видео )

• Йозеф Хошек: Смещение кривых на плоскости. В: CAD. 17 (1985), S. 77–81.
• Такаши Маэкава: Обзор смещенных кривых и поверхностей. В: CAD. 31 (1999), S. 165–173.

дальнейшее чтение

• Farouki, R.T .; Нефф, К. А. (1990). «Аналитические свойства кривых смещения плоскости». Компьютерный геометрический дизайн. 7 (1–4): 83–99. Дои:10.1016 / 0167-8396 (90) 90023-К.
• Пигль, Лес А. (1999). «Вычисление смещений NURBS-кривых и поверхностей». Системы автоматизированного проектирования. 31 (2): 147–156. CiteSeerX  10.1.1.360.2793. Дои:10.1016 / S0010-4485 (98) 00066-9.
• Портеус, Ян Р. (2001). Геометрическая дифференциация: для анализа кривых и поверхностей (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 1–25. ISBN  978-0-521-00264-6.
• Патрикалакис, Николай М .; Маэкава, Такаши (2010) [2002]. Запрос формы для компьютерного проектирования и производства. Springer Science & Business Media. Глава 11. Кривые и поверхности смещения. ISBN  978-3-642-04074-0. Бесплатная онлайн-версия.
• Антон, Франсуа; Эмирис, Иоаннис З .; Моррен, Бернар; Тейо, Моник (Май 2005 г.). «Набор O к алгебраической кривой и приложение к коникам». Международная конференция по вычислительной науке и ее приложениям. Сингапур: Springer Verlag. С. 683–696.
• Фаруки, Рида Т. (2008). Кривые Пифагора-Годографа: алгебра и геометрия неразделимы. Springer Science & Business Media. С. 141–178. ISBN  978-3-540-73397-3. Перечисленные страницы являются общим и вводным материалом.
• Au, C.K .; Ма, Ю.-С. (2013). «Расчет кривых смещения с использованием функции расстояния: решение ключевой проблемы при создании траектории режущего инструмента». В Ма, Ю.-С. (ред.). Семантическое моделирование и взаимодействие в разработке продуктов и процессов: технология для инженерной информатики. Springer Science & Business Media. С. 259–273. ISBN  978-1-4471-5073-2.

внешняя ссылка

• Параллельные кривые в MathWorld
• Визуальный словарь плоских кривых Кса Ли
• http://library.imageworks.com/pdfs/imageworks-library-offset-curve-deformation-from-Skeletal-Anima.pdf приложение к анимации; запатентовано как http://www.google.com/patents/US8400455
• http://www2.uah.es/fsegundo/Otros/Offset/16-SanSegundoSendraSendra-1532.pdf