Трубчатый район - Tubular neighborhood - Wikipedia

Кривая синего цвета и несколько перпендикулярных к ней линий зеленого цвета. Небольшие участки этих линий вокруг кривой окрашены в красный цвет.

Крупный план рисунка выше. Кривая синего цвета, а ее трубчатая окрестность Т красный. В обозначениях статьи кривая имеет вид S, пространство, содержащее кривую, есть M, и Т=j(N).

Схематическое изображение нормального пакета N, с нулевым сечением N₀ в синем. Преобразование j карты N₀ к кривой S на рисунке выше, и N в трубчатую окрестность S.

В математика, а трубчатый район из подмногообразие из гладкое многообразие является открытый набор вокруг него, напоминающий нормальный комплект.

Идею трубчатой ​​окрестности можно объяснить на простом примере. Рассмотрим гладкий изгиб в плоскости без самопересечений. В каждой точке кривой проведите линию перпендикуляр к кривой. Если кривая не прямая, эти линии будут довольно сложно пересекаться между собой. Однако, если смотреть только в узкую полосу вокруг кривой, части линий в этой полосе не будут пересекаться и покроют всю полосу без промежутков. Эта полоса представляет собой трубчатую окрестность.

В общем, пусть S быть подмногообразие из многообразие M, и разреши N быть нормальный комплект из S в M. Здесь S играет роль кривой и M роль плоскости, содержащей кривую. Рассмотрим естественную карту

${\displaystyle i:N_{0}\to S}$

который устанавливает биективный переписка между нулевой участок N₀ из N и подмногообразие S из M. Расширение j этого отображения на весь нормальный пучок N со значениями в M такой, что j(N) - открытое множество в M и j это гомеоморфизм между N и j(N) называется трубчатой ​​окрестностью.

Часто называют открытый набор Т = j(N), скорее, чем j сама, трубчатая окрестность S, неявно предполагается, что гомеоморфизм j отображение N к Т существуют.

Обычная трубка

А нормальная трубка к гладкий изгиб это многообразие определяется как союз всех дисков такие, что

• все диски имеют одинаковый фиксированный радиус;
• центр каждого диска лежит на кривой; и
• каждый диск лежит в плоскости нормальный к кривой, где кривая проходит через центр этого диска.

Формальное определение

Позволять S ⊂ M - гладкие многообразия. Трубчатый район S в M это векторный набор ${\displaystyle \pi :E\to S}$ вместе с гладкой картой ${\displaystyle J:E\to M}$ такой, что

• ${\displaystyle J\circ 0_{E}=i}$ куда я это вложение ${\displaystyle S\hookrightarrow M}$ и ${\displaystyle 0_{E}}$ нулевой участок
• ${\displaystyle \exists \ U\subseteq E,V\subseteq M}$ с ${\displaystyle 0_{E}[S]\subseteq U}$ и ${\displaystyle S\subseteq V}$ такой, что ${\displaystyle J|_{U}:U\to V}$ это диффеоморфизм

Нормальное расслоение является трубчатой ​​окрестностью, и из-за условия диффеоморфизма во второй точке все трубчатые окрестности имеют одинаковую размерность, а именно (размерность векторного расслоения, рассматриваемого как многообразие, равна) размерности M.

  E должен быть встроен в M.

Обобщения

Обобщения гладких многообразий дают обобщения трубчатых окрестностей, таких как регулярные окрестности или сферические расслоения за Пространства Пуанкаре.

Эти обобщения используются для создания аналогов обычного пучка или, скорее, стабильный нормальный пакет, являющиеся заменой касательного расслоения (не допускающего прямого описания этих пространств).

Смотрите также

• Параллельная кривая (иначе кривая смещения)

Рекомендации

• Рауль Ботт, Лоринг В. Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90613-4.

• Моррис В. Хирш (1976). Дифференциальная топология. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90148-5.

• Вальдир Мунис Олива (2002). Геометрическая механика. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-44242-1.