Стабильный нормальный комплект - Stable normal bundle

В теория хирургии, филиал математика, то стабильный нормальный пакет из дифференцируемое многообразие - инвариант, кодирующий стабильные нормальные (двойные, тангенциальные) данные. Есть аналоги для обобщений многообразия, в частности PL-коллекторы и топологические многообразия. Также есть аналог в теория гомотопии за Пространства Пуанкаре, то Сферическое расслоение Спивака, названный в честь Михаил Спивак.^[1]

Строительство с помощью вложений

Для вложения многообразия в Евклидово пространство (обеспечивается теоремой Хасслер Уитни ), оно имеет нормальный комплект. Вложение не уникально, но для большой размерности евклидова пространства оно уникально с точностью до изотопия, таким образом, расслоение (класс) уникально и называется стабильный нормальный пакет.

Эта конструкция подходит для любых Пространство Пуанкаре Икс: конечный CW-комплекс допускает стабильно единственное (с точностью до гомотопии) вложение в Евклидово пространство, через общая позиция, и это вложение дает сферическое расслоение над Икс. Для более ограниченных пространств (особенно PL-многообразий и топологических многообразий) получаются более сильные данные.

Подробности

Два вложения ${displaystyle i,i'colon Xhookrightarrow mathbb {R} ^{m}}$ находятся изотопический если они гомотопный через вложения. Учитывая коллектор или другое подходящее пространство ИКС, с двумя вложениями в евклидово пространство ${displaystyle icolon Xhookrightarrow mathbb {R} ^{m},}$ ${displaystyle jcolon Xhookrightarrow mathbb {R} ^{n},}$ они, как правило, не будут изотопными и даже не будут отображаться в одном и том же пространстве (${displaystyle m}$ не обязательно равняться ${displaystyle n}$). Однако их можно встроить в большее пространство. ${displaystyle mathbf {R} ^{N}}$ позволяя последним ${displaystyle N-m}$ координаты равны 0:

${displaystyle icolon Xhookrightarrow mathbb {R} ^{m}cong mathbb {R} ^{m} imes left{(0,dots ,0)ight}subset mathbb {R} ^{m} imes mathbb {R} ^{N-m}cong mathbb {R} ^{N}}$.

Этот процесс присоединения тривиальных копий евклидова пространства называется стабилизация.Таким образом, можно организовать отображение любых двух вложений в евклидово пространство в одно и то же евклидово пространство (принимая ${displaystyle N=max(m,n)}$), и, далее, если ${displaystyle N}$ достаточно велико, эти вложения изотопны, что является теоремой.

Таким образом, существует единственный стабильный изотопический класс вложения: это не конкретное вложение (поскольку существует много вложений), ни изотопический класс (поскольку целевое пространство не фиксировано: это просто «достаточно большое евклидово пространство»), а скорее стабильный изотопический класс отображений. Нормальное расслоение, связанное с этим (стабильным классом) вложений, тогда является стабильным нормальным расслоением.

Этот класс стабильной изотопии можно заменить фактическим классом изотопии, зафиксировав целевое пространство, либо используя Гильбертово пространство в качестве целевого пространства или (для фиксированного размера многообразия ${displaystyle n}$) с фиксированным ${displaystyle N}$ достаточно большой, так как N зависит только от п, а не рассматриваемое многообразие.

Говоря более абстрактно, вместо стабилизации вложения можно взять любое вложение, а затем взять прямую сумму векторного расслоения с достаточным количеством тривиальных линейных расслоений; это в точности соответствует нормальному расслоению стабилизированного вложения.

Строительство через классификация пространств

An п-многообразие M имеет касательное расслоение, которое имеет классифицирующее отображение (с точностью до гомотопии)

${displaystyle au _{M}colon M o B{ extrm {O}}(n).}$

Составление с включением ${displaystyle B{ extrm {O}}(n) o B{ extrm {O}}}$ дает (гомотопический класс классифицирующего отображения) стабильное касательное расслоение. Нормальное расслоение вложения ${displaystyle Msubset mathbb {R} ^{n+k}}$ (${displaystyle k}$ большой) является обратным ${displaystyle u _{M}colon M o B{ extrm {O}}(k)}$ за ${displaystyle au _{M}}$, так что Сумма Уитни ${displaystyle au _{M}oplus u _{M}colon M o B{ extrm {O}}(n+k)}$ тривиально. Гомотопический класс композиции${displaystyle u _{M}colon M o B{ extrm {O}}(k) o B{ extrm {O}}}$ не зависит от выбора инверсии, классифицируя стабильное нормальное расслоение ${displaystyle u _{M}}$.

Мотивация

Не существует внутреннего понятия вектора нормали к многообразию, в отличие от касательных или кокасательных векторов - например, нормальное пространство зависит от того, в какое измерение он встраивается, - поэтому стабильное нормальное расслоение вместо этого обеспечивает понятие стабильного нормального пространства: нормальное пространство (и нормальные векторы) с точностью до тривиальных слагаемых.

Почему стабильная нормальная, а не стабильная касательная? Стабильные нормальные данные используются вместо нестабильных тангенциальных данных, потому что обобщения многообразий имеют естественные устойчивые структуры нормального типа, происходящие из трубчатые кварталы и обобщения, но не неустойчивые касательные, поскольку локальная структура не является гладкой.

Сферические расслоения над пространством Икс классифицируются по гомотопическим классам отображений ${displaystyle X o BG}$ кклассификация пространства ${displaystyle BG}$, с гомотопические группы то стабильные гомотопические группы сфер

${displaystyle pi _{*}(BG)=pi _{*-1}^{S}}$.

Забывающая карта ${displaystyle B{ extrm {O}} o BG}$ распространяется на расслоение последовательность

${displaystyle B{ extrm {O}} o BG o B(G/{ extrm {O}})}$.

А Пространство Пуанкаре Икс не имеет касательного пучка, но имеет четко определенную стабильную сферическую расслоение, которое для дифференцируемого многообразия является сферическим расслоением, ассоциированным со стабильным нормальным расслоением; таким образом, основное препятствие для Икс гомотопический тип дифференцируемого многообразия состоит в том, что сферическое расслоение поднимается до векторного расслоения, т. е. сферического расслоения Спивака ${displaystyle X o BG}$ должен подняться до ${displaystyle X o B{ extrm {O}}}$, что эквивалентно отображению ${displaystyle X o B(G/{ extrm {O}})}$ существование нулевой гомотопный Таким образом, расслоение препятствует существованию (гладкой) структуры многообразия класс ${displaystyle X o B(G/{ extrm {O}})}$Второстепенное препятствие - стена. обструкция хирургии.

Приложения

Стабильное нормальное расслоение является фундаментальным в теория хирургии в качестве основного препятствия:

• Для Пространство Пуанкаре Икс чтобы иметь гомотопический тип гладкого многообразия, отображение ${displaystyle X o B(G/{ extrm {O}})}$ должно быть нулевой гомотопный
• Для гомотопической эквивалентности ${displaystyle fcolon M o N}$ между двумя многообразиями, чтобы быть гомотопным диффеоморфизму, оно должно тянуть назад стабильное нормальное расслоение на N в стабильный нормальный пакет на M.

В более общем смысле, его обобщения служат заменой (нестабильного) касательного пучка.

Рекомендации

1. Спивак Михаил (1967), "Пространства, удовлетворяющие двойственности Пуанкаре", Топология (6): 77–101, Дои:10.1016 / 0040-9383 (67) 90016-Х, МИСТЕР  0214071