Общая позиция - General position

В алгебраическая геометрия и вычислительная геометрия, общая позиция это понятие универсальность для набора точек или других геометрических объектов. Это означает общий случай ситуация, в отличие от некоторых более особых или случайных случаев, которые возможны, что называется особое положение. Его точное значение различается в зависимости от настроек.

Например, как правило, две прямые на плоскости пересекаются в одной точке (они не параллельны и не совпадают). Также говорится, что «две общие прямые пересекаются в точке», что формализуется понятием общая точка. Точно так же три общие точки на плоскости не являются коллинеарен; если три точки коллинеарны (даже сильнее, если две совпадают), это вырожденный случай.

Это понятие важно для математики и ее приложений, поскольку вырожденные случаи могут потребовать исключительной обработки; например, когда говорится общее теоремы или дать точные заявления об этом, и при написании компьютерные программы (увидеть общая сложность ).

Общее линейное положение

Набор точек в $d$ -размерный аффинное пространство ( $d$ -размерный Евклидово пространство является распространенным примером) находится в общее линейное положение (или просто общая позиция) если нет $k$ из них лежат в $(k - 2)$ -размерный плоский для $k = 2, 3, ..., d + 1$ . Эти условия содержат значительную избыточность, поскольку, если условие выполняется для некоторого значения $k 0$ тогда это также должно быть справедливо для всех $k$ с участием $2 \leq k \leq k 0$ . Таким образом, для набора, содержащего не менее $d + 1$ указывает в $d$ -мерное аффинное пространство, чтобы быть в общем положении, достаточно знать, что нет гиперплоскость содержит более чем $d$ точки - т.е. точки не удовлетворяют более линейным отношениям, чем должны.^[1]

Набор не более $d + 1$ точки общего линейного положения также называются аффинно независимый (это аффинный аналог линейная независимость векторов, а точнее максимального ранга), и $d + 1$ точки общего линейного положения в аффинном d-пространство аффинный базис. Увидеть аффинное преобразование для большего.

Так же, п векторов в п-мерные векторные пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда точки, которые они определяют в проективное пространство (размерности $п - 1$ ) находятся в общем линейном положении.

Если набор точек не находится в общем линейном положении, он называется вырожденный случай или вырожденная конфигурация, что означает, что они удовлетворяют линейному соотношению, которое не всегда должно выполняться.

Основное приложение состоит в том, что на плоскости пять точек определяют конус, пока точки находятся в общем линейном положении (никакие три не лежат на одной прямой).

В более общем смысле

Это определение может быть дополнительно обобщено: можно говорить о точках общего положения относительно фиксированного класса алгебраических отношений (например, конические секции ). В алгебраическая геометрия такое состояние часто встречается, когда точки должны накладывать независимый условия на проходящих через них кривых.

Например, пять точек определяют конус, но, как правило, шесть точек не лежат на конике, поэтому для того, чтобы быть в общем положении по отношению к коникам, необходимо, чтобы на конике не лежали шесть точек.

Общее положение сохраняется при двурегулярный maps - если точки изображения удовлетворяют отношению, то при бирегулярной карте это отношение может быть возвращено к исходным точкам. Примечательно, что Карта Веронезе бирегулярна; поскольку точки под картой Веронезе соответствуют оценке степени d полиномиальный в этой точке, это формализует представление о том, что точки общего положения накладывают независимые линейные условия на многообразия, проходящие через них.

Основным условием общего положения является то, что точки не попадают на подмногообразия более низкой степени, чем необходимо; на плоскости две точки не должны совпадать, три точки не должны попадать на линию, шесть точек не должны попадать на конику, десять точек не должны попадать на кубику, и то же самое для более высокой степени.

Однако этого недостаточно. Хотя девять точек определяют кубику, существуют конфигурации девяти точек, которые являются особенными по отношению к кубикам, а именно пересечение двух кубик. Пересечение двух кубиков, которое ${ displaystyle 3 times 3 = 9}$ очков (по Теорема Безу ), является особенным тем, что девять точек общего положения содержатся в уникальный кубической, а если они содержатся в двух кубиках, то на самом деле они содержатся в карандаш (1-параметр линейная система ) кубик, уравнения которых являются проективными линейными комбинациями уравнений для двух кубик. Таким образом, такие наборы точек накладывают на кубики, содержащие их, на одно условие меньше, чем ожидалось, и, соответственно, удовлетворяют дополнительному ограничению, а именно: Теорема Кэли – Бахараха что любая кубика, содержащая восемь точек, обязательно содержит девятую. Аналогичные утверждения справедливы и для более высокой степени.

Для точек на плоскости или на алгебраической кривой понятие общего положения становится алгебраически точным с помощью понятия регулярный делитель, и измеряется исчезновением высших когомологии пучков группы ассоциированных линейный пакет (формально, обратимая связка ). Как видно из терминологии, это значительно более технически, чем интуитивно понятная геометрическая картина, подобно тому, как формальное определение понятия номер перекрестка требует сложной алгебры. Это определение обобщается в более высоких измерениях на гиперповерхности (подмногообразия коразмерности 1), а не на множества точек, а регулярные делители противопоставляются сверхизбыточные делители, как обсуждалось в Теорема Римана – Роха для поверхностей..

Обратите внимание, что не все точки общего положения проективно эквивалентны, что является гораздо более сильным условием; например, любой k отдельные точки на прямой находятся в общем положении, но проективные преобразования являются только 3-транзитивными, причем инвариантом 4 точек является перекрестное соотношение.

Различная геометрия

Разная геометрия допускает разные представления о геометрических ограничениях. Например, круг - это понятие, имеющее смысл в Евклидова геометрия, но не в аффинной линейной геометрии или проективной геометрии, где окружности нельзя отличить от эллипсов, так как окружность можно сжать до эллипса. Точно так же парабола - это понятие в аффинной геометрии, но не в проективной геометрии, где парабола - это просто разновидность коники. Геометрия, которая в подавляющем большинстве используется в алгебраической геометрии, является проективной геометрией, а аффинная геометрия находит значительное, но гораздо меньшее применение.

Таким образом, в евклидовой геометрии три неколлинеарные точки определяют окружность (как описанный круг треугольника, который они определяют), но четыре точки в целом нет (они делают это только для циклические четырехугольники ), поэтому понятие «общее положение относительно окружностей», а именно «никакие четыре точки не лежат на окружности», имеет смысл. В проективной геометрии, напротив, окружности неотличимы от коник, а пять точек определяют конику, поэтому нет проективного понятия «общее положение относительно окружностей».

Общий вид

Общее положение - это свойство конфигураций точек или, в более общем смысле, других подмножеств (линии в общем положении, поэтому не может быть трех одновременных и т.п.). Общая позиция - это внешний понятие, которое зависит от вложения как подмногообразия. Неформально подмногообразия находятся в общем положении, если их нельзя описать проще других. An внутренний аналог общего положения общий тип, и соответствует разнообразию, которое не может быть описано более простыми полиномиальными уравнениями, чем другие. Это формализуется понятием Кодаира измерение разнообразия, и по этой мере проективные пространства являются наиболее особыми разновидностями, хотя есть и другие, не менее особенные, то есть имеющие отрицательную размерность Кодаира. Для алгебраических кривых результирующая классификация следующая: проективная прямая, тор, поверхности высшего рода ( ${ displaystyle g geq 2}$ ), и аналогичные классификации встречаются в более высоких измерениях, особенно Классификация Энриквеса-Кодаира из алгебраические поверхности.

Другие контексты

В теория пересечений, как в алгебраической геометрии, так и в геометрическая топология, аналогичное понятие трансверсальность используется: подмногообразия вообще пересекаются поперечно, то есть с кратностью 1, а не касательными или другими пересечениями более высокого порядка.

Общее положение триангуляций Делоне на плоскости

При обсуждении Мозаика Вороного и Триангуляции Делоне в самолете набор точки в самолет считается находящимся в общем положении, только если никакие четыре из них не лежат на одной окружности и никакие три из них не лежат на одной прямой. Обычное преобразование подъема, которое связывает триангуляцию Делоне с нижней половиной выпуклой оболочки (т. Е. Дает каждой точке п дополнительная координата, равная |п|²) показывает связь с планом на плане: четыре точки лежат на окружности или три из них лежат на одной прямой в точности тогда, когда их поднятые точки лежат на одной прямой. не в общем линейном положении.

Абстрактно: конфигурационные пространства

Говоря очень абстрактно, общая позиция это обсуждение общие свойства из конфигурационное пространство; в данном контексте подразумеваются свойства, удерживающие общая точка конфигурационного пространства или, что то же самое, на открытом по Зарискому множеству.

Это понятие совпадает с теоретическая мера понятие общего, значение почти всюду на конфигурационном пространстве, или, что то же самое, случайно выбранные точки будут почти наверняка (с вероятностью 1) находиться в общем положении.

Заметки

^ Йель 1968, п. 164

использованная литература

Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия, Холден-Дэй

[1] Йель 1968, п. 164

[1]