Номер перекрестка - Intersection number

Эта статья об алгебраической геометрии. Для концепции теории графов см. Число пересечений (теория графов).

В математика, и особенно в алгебраическая геометрия, то номер перекрестка обобщает интуитивное понятие подсчета количества пересечений двух кривых на более высокие измерения, множественные (более 2) кривые и надлежащий учет касание. Требуется определение номера перекрестка, чтобы сформулировать такие результаты, как Теорема Безу.

Номер пересечения очевиден в некоторых случаях, например, пересечение Икс- и у- оси, которые должны быть одними. Сложность возникает при вычислении пересечений в точках касания и пересечений вдоль множеств положительной размерности. Например, если плоскость касается поверхности вдоль линии, число пересечений вдоль этой линии должно быть не менее двух. Эти вопросы систематически обсуждаются в теория пересечений.

Определение для римановых поверхностей

Основная статья: Дифференциальные формы на римановой поверхности § Двойственность между 1-формами и замкнутыми кривыми

Позволять Икс быть Риманова поверхность. Тогда число пересечения двух замкнутых кривых на Икс имеет простое определение в терминах интеграла. Для каждой замкнутой кривой c на Икс (т.е. гладкая функция ${\displaystyle c:S^{1}\to X}$) можно сопоставить дифференциальная форма ${\displaystyle \eta _{c}}$ компактного носителя, обладающего тем свойством, что интегралы по c можно вычислить интегралами по Икс:

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$, для каждого замкнутого (1-) дифференциала ${\displaystyle \alpha }$ на Икс,

куда ${\displaystyle \wedge }$ это клин дифференциалов и ${\displaystyle *}$ это Ходжа звезда. Тогда число пересечения двух замкнутых кривых, а и б, на Икс определяется как

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$.

В ${\displaystyle \eta _{c}}$ имеют следующее интуитивное определение. Они своего рода дельта Дирака по кривой c, выполненного путем взятия дифференциала функция шага единицы который падает с 1 до 0 по c. Более формально, мы начнем с определения простой замкнутой кривой c на Икс, функция ж_c позволяя ${\displaystyle \Omega }$ быть небольшой полосой вокруг c в виде кольца. Назовите левую и правую части ${\displaystyle \Omega \setminus c}$ в качестве ${\displaystyle \Omega ^{+}}$ и ${\displaystyle \Omega ^{-}}$. Затем возьмите меньшую полоску вокруг c, ${\displaystyle \Omega _{0}}$, с левой и правой частями ${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$ и ${\displaystyle \Omega _{0}^{+}}$. Затем определите ж_c к

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

Затем определение расширяется до произвольных замкнутых кривых. Каждая замкнутая кривая c на Икс является гомологичный к ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$ для некоторых простых замкнутых кривых c_я, то есть,

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$, для каждого дифференциала ${\displaystyle \omega }$.

Определить ${\displaystyle \eta _{c}}$ к

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$.

Определение алгебраических многообразий

Обычное конструктивное определение в случае алгебраических многообразий проводится поэтапно. Приведенное ниже определение относится к числу пересечений делители на неособой разновидности Икс.

1. Единственное число пересечений, которое можно вычислить непосредственно из определения, - это пересечение гиперповерхностей (подмногообразий Икс коразмерности один), находящихся в общем положении в Икс. В частности, предположим, что у нас есть неособое многообразие Икс, и п гиперповерхности Z₁, ..., Z_п которые имеют локальные уравнения ж₁, ..., ж_п возле Икс для многочленов ж_я(т₁, ..., т_п) такие, что имеют место следующие условия:

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$ для всех я. (т.е. Икс находится в пересечении гиперповерхностей.)
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$ (т.е. дивизоры находятся в общем положении.)
• В ${\displaystyle f_{i}}$ неособые в Икс.

Тогда номер пересечения в точке Икс (называется кратность пересечения в Икс) является

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$,

куда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ это местное кольцо Икс в Икс, а размер - это размер k-векторное пространство. Его можно рассчитать как локализация ${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ - максимальный идеал многочленов, обращающихся в нуль в Икс, и U открытое аффинное множество, содержащее Икс и не содержит ни одной особенности ж_я.

2. Число пересечений гиперповерхностей общего положения затем определяется как сумма чисел пересечения в каждой точке пересечения.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. Расширить определение на эффективный делители по линейности, т. е.

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$ и ${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$.

4. Распространите определение на произвольные делители общего положения, заметив, что каждый дивизор имеет уникальное выражение как D = п - N для некоторых эффективных делителей п и N. Так что давайте D_я = п_я - N_я, и используйте правила формы

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

преобразовать перекресток.

5. Затем определяется число пересечений произвольных делителей с помощью символа "Лемма Чоу о движении "что гарантирует, что мы можем найти линейно эквивалентные дивизоры общего положения, которые мы можем затем пересечь.

Обратите внимание, что определение числа пересечения не зависит от порядка, в котором делители появляются при вычислении этого числа.

Формула Тора Серра

Позволять V и W - два подмногообразия неособый проективное разнообразие Икс такой, что тусклый (V) + тусклый (W) = тусклый (Икс). Затем ожидаем пересечения V∩W быть конечным множеством точек. Если мы попытаемся их посчитать, могут возникнуть проблемы двух видов. Во-первых, даже если ожидаемый размер V∩W равен нулю, фактическое пересечение может иметь большие размеры. Например, мы могли бы попытаться найти число самопересечения проективная линия в проективная плоскость. Вторая потенциальная проблема заключается в том, что даже если пересечение нульмерно, оно может быть нетрансверсальным. Например, V может быть касательная линия к плоской кривой W.

Первая проблема требует машинного теория пересечений, подробно обсуждалось выше. Основная идея - заменить V и W более удобными подмногообразиями с помощью подвижная лемма. С другой стороны, вторую проблему можно решить напрямую, не двигаясь. V или же W. В 1965 г. Жан-Пьер Серр описал, как найти кратность каждой точки пересечения методами коммутативная алгебра и гомологическая алгебра.^[1] Эта связь между геометрическим понятием пересечения и гомологическим понятием производное тензорное произведение оказал влияние и привел, в частности, к нескольким гомологические гипотезы коммутативной алгебры.

В Формула Тора Серра это следующий результат. Позволять Икс быть обычный разнообразие, V и W два подмногообразия дополнительной размерности такие, что V∩W нульмерна. Для любой точки Икс∈V∩W, позволять А быть местное кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ из Икс. В структурные шкивы из V и W в Икс соответствуют идеалам я, J⊆А. Тогда кратность V∩W в момент Икс является

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

где длина длина модуля над локальным кольцом, а Tor - Функтор Tor. Когда V и W можно переместить в поперечное положение, эта гомологическая формула дает ожидаемый ответ. Так, например, если V и W встретиться поперек в Икс, кратность равна 1. Если V касательная линия в точке Икс к парабола W в самолете в точке Икс, то кратность при Икс равно 2.

Если оба V и W локально вырезаны регулярные последовательности, например, если они неособый, то в формуле выше все высшие значения Tor равны нулю, следовательно, кратность положительна. Положительность в произвольном случае одна из Гипотезы Серра о множественности.

Дополнительные определения

Определение может быть значительно обобщено, например, на пересечения вдоль подмногообразий, а не только в точках, или на произвольные полные многообразия.

В алгебраической топологии число пересечения появляется как двойственное по Пуанкаре чашка продукта. В частности, если два коллектора, Икс и Y, поперечно пересекаются в многообразии Mклассом гомологии пересечения является Пуанкаре двойственный чашки продукта ${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$ двойников Пуанкаре к Икс и Y.

Определение числа пересечения Снаппера – Клеймана

Существует подход к количеству пересечений, введенный Снаппером в 1959-60 гг. И развитый позже Картье и Клейманом, который определяет количество пересечений как характеристику Эйлера.

Позволять Икс быть схемой над схемой S, Рис (Икс) Группа Пикард из Икс и грамм группа Гротендика категории когерентные пучки на Икс чья поддержка правильный над Артинианская подсхема из S.

Для каждого L в рис (Икс), определим эндоморфизм c₁(L) из грамм (называется первый класс Черна из L) к

${\displaystyle c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.}$

Добавка на грамм так как тензор с линейным пучком точен. Также есть:

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$; особенно, ${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$ и ${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$ ездить.
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$ (это нетривиально и следует из аргумент dévissage.)

Номер перекрестка

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

линейных пакетов L_я's определяется следующим образом:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

где χ обозначает Эйлерова характеристика. В качестве альтернативы можно по индукции:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Каждый раз F фиксированный, ${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$ является симметричным функционалом от L_яс.

Если L_я = О_Икс(D_я) для некоторых Делители Картье D_яs, тогда напишем ${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$ для номера перекрестка.

Позволять ${\displaystyle f:X\to Y}$ быть морфизмом S-схемы, ${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$ линейные пакеты на Икс и F в грамм с ${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$. потом

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$.^[2]

Кратности пересечений для плоских кривых

Каждому триплету присваивается уникальная функция. ${\displaystyle (P,Q,p)}$ состоящий из пары проективных кривых, ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, в ${\displaystyle K[x,y]}$ и точка ${\displaystyle p\in K^{2}}$, число ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ называется кратность пересечения из ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ в ${\displaystyle p}$ который удовлетворяет следующим свойствам:

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$ если и только если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ имеют общий множитель, равный нулю при ${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$ если и только если один из ${\displaystyle P(p)}$ или же ${\displaystyle Q(p)}$ отлична от нуля (т.е. точка ${\displaystyle p}$ не на одной из кривых)
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$ куда ${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$ для любого ${\displaystyle R\in K[x,y]}$

Хотя эти свойства полностью характеризуют множественность пересечений, на практике это реализуется несколькими разными способами.

Одной из реализаций кратности пересечений является размерность некоторого фактор-пространства кольца степенных рядов ${\displaystyle K[[x,y]]}$. Сделав при необходимости замену переменных, можно считать, что ${\displaystyle p=(0,0)}$. Позволять ${\displaystyle P(x,y)}$ и ${\displaystyle Q(x,y)}$ - многочлены, определяющие интересующие нас алгебраические кривые. Если исходные уравнения даны в однородной форме, их можно получить, положив ${\displaystyle z=1}$. Позволять ${\displaystyle I=(P,Q)}$ обозначают идеал ${\displaystyle K[[x,y]]}$ создано ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$. Кратность пересечения - это размерность ${\displaystyle K[[x,y]]/I}$ как векторное пространство над ${\displaystyle K}$.

Другая реализация множественности пересечений исходит из результирующий двух полиномов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$. В координатах где ${\displaystyle p=(0,0)}$, кривые не имеют других пересечений с ${\displaystyle y=0}$, а степень из ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна общей степени ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ можно определить как высшую степень ${\displaystyle y}$ который делит результат ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ (с ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ рассматривается как многочлены от ${\displaystyle K[x]}$).

Кратность пересечения также может быть определена как количество различных пересечений, которые существуют, если кривые слегка возмущены. В частности, если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ определить кривые, которые пересекаются только один раз в закрытие открытого набора ${\displaystyle U}$, то для плотного набора ${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$, ${\displaystyle P-\epsilon }$ и ${\displaystyle Q-\delta }$ гладкие и трансверсально пересекаются (т. е. имеют разные касательные) ровно в каком-то числе ${\displaystyle n}$ указывает в ${\displaystyle U}$. Мы говорим тогда, что ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$.

Пример

Рассмотрим пересечение Икс-ось с параболой

${\displaystyle y=x^{2}.\ }$

потом

${\displaystyle P=y,\ }$

и

${\displaystyle Q=y-x^{2},\ }$

так

${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

Таким образом, степень пересечения равна двум; это обычный касание.

Самопересечения

Некоторые из наиболее интересных чисел пересечения для вычисления: числа самопересечения. Это не следует воспринимать наивно. Имеется в виду, что в классе эквивалентности делители определенного вида пересекаются два представителя, которые находятся в общая позиция по отношению друг к другу. Таким образом, числа самопересечения могут стать четко определенными и даже отрицательными.

Приложения

Номер перекрестка частично мотивирован желанием определить перекресток, чтобы удовлетворить Теорема Безу.

Число пересечения возникает при изучении фиксированные точки, который можно определить как пересечения функции графики с диагонали. При вычислении числа пересечений в фиксированных точках учитываются фиксированные точки. с множеством, и приводит к Теорема Лефшеца о неподвижной точке в количественной форме.

Примечания

1. Серр, Жан-Пьер (1965). Язык Algèbre, multiplicités. Конспект лекций по математике. 11. Springer-Verlag. С. x + 160.
2. Коллар 1996, Гл. VI. Предложение 2.11.

Рекомендации

• Уильям Фултон (1974). Алгебраические кривые. Серия лекций по математике. W.A. Benjamin. С. 74–83. ISBN  0-8053-3082-8.
• Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия. Тексты для выпускников по математике. 52. ISBN  0-387-90244-9. Приложение.
• Уильям Фултон (1998). Теория пересечения (2-е изд.). Springer. ISBN  9780387985497.
• Алгебраические кривые: введение в алгебраическую геометрию, Уильям Фултон с Ричардом Вайсом. Нью-Йорк: Бенджамин, 1969. Переиздание: Редвуд-Сити, Калифорния, США: Аддисон-Уэсли, Advanced Book Classics, 1989. ISBN  0-201-51010-3. Полный текст онлайн.
• Хершель М. Фаркас; Ирвин Кра (1980). Римановы поверхности. Тексты для выпускников по математике. 71. С. 40–41, 55–56. ISBN  0-387-90465-4.
• Клейман, Стивен Л. (2005), «Схема Пикара: Приложение Б.», Фундаментальная алгебраическая геометрия, Математика. Обзоры Monogr., 123, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, arXiv:математика / 0504020, Bibcode:2005математика ...... 4020K, МИСТЕР  2223410
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN  978-3-642-08219-1, МИСТЕР  1440180