Обычное местное кольцо - Regular local ring

В коммутативная алгебра, а обычное местное кольцо это Нётерян местное кольцо обладающий тем свойством, что минимальное число образующих его максимальный идеал равен своему Измерение Крулля. В символах пусть А - нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, и пусть а₁, ..., а_п - минимальный набор образующих m. Затем по Теорема Крулля о главном идеале п ≥ тусклый А, и А определяется как регулярный, если п = тусклый А.

Название регулярный оправдано геометрическим смыслом. Точка Икс на алгебраическое многообразие Икс является неособый тогда и только тогда, когда местное кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ из микробы в Икс регулярно. (Смотрите также: обычная схема.) Регулярные локальные кольца не относится к регулярные кольца фон Неймана.^[1]

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсальные контактные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ полные кольца пересечения ⊃ регулярные местные кольца

Характеристики

Существует ряд полезных определений регулярного локального кольца, одно из которых упомянуто выше. В частности, если ${\displaystyle A}$ является нётеровым локальным кольцом с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, то следующие эквивалентные определения

• Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ где ${\displaystyle n}$ выбирается как можно меньше. потом ${\displaystyle A}$ регулярно, если

${\displaystyle {\mbox{dim }}A=n\,}$,

где размерность - это размерность Крулля. Минимальный набор образующих ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ тогда называются регулярная система параметров.

• Позволять ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ - поле вычетов ${\displaystyle A}$. потом ${\displaystyle A}$ регулярно, если

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$,

где второе измерение - это Измерение Крулля.

• Позволять ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{{\mbox{pd }}M{\mbox{ }}|{\mbox{ }}M{\mbox{ is an }}A{\mbox{-module}}\}}$ быть глобальное измерение из ${\displaystyle A}$ (т. е. супремум проективные размеры из всех ${\displaystyle A}$-модули.) Тогда ${\displaystyle A}$ регулярно, если

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$,

в таком случае, ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$.

Кратность - один критерий состояния:^[2] если завершение нётерского местного кольца А несмешанное (в том смысле, что нет вложенного простого делителя нулевого идеала и для каждого минимального простого п, ${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}}$) и если множественность из А один, тогда А регулярно. (Обратное всегда верно: кратность регулярного локального кольца равна единице.) Этот критерий соответствует геометрической интуиции в алгебраической геометрии, что локальное кольцо пересечение является регулярным тогда и только тогда, когда пересечение поперечное пересечение.

В положительном характеристическом случае имеется следующий важный результат Кунца: нетерово локальное кольцо ${\displaystyle R}$ положительных характеристика п является регулярным тогда и только тогда, когда Морфизм Фробениуса ${\displaystyle R\to R,r\mapsto r^{p}}$ является плоский и ${\displaystyle R}$ является уменьшенный. В нулевой характеристике подобный результат не известен (просто потому, что неясно, как заменить Фробениуса).

Примеры

1. Каждый поле регулярное локальное кольцо. Они имеют размерность (Крулля) 0. Фактически, поля - это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
2. Любой кольцо дискретной оценки является регулярным локальным кольцом размерности 1, а регулярные локальные кольца размерности 1 - это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, если k это поле и Икс является неопределенным, то кольцо формальный степенной ряд k[[Икс]] - регулярное локальное кольцо, имеющее (Крулля) размерность 1.
3. Если п обычное простое число, кольцо p-адические целые числа является примером кольца дискретной оценки и, следовательно, регулярного локального кольца, не содержащего поля.
4. В более общем смысле, если k это поле и Икс₁, Икс₂, ..., Икс_d неопределенны, то кольцо формальных степенных рядов k[[Икс₁, Икс₂, ..., Икс_d]] - регулярное локальное кольцо размерности (Крулля) d.
5. Если А является регулярным локальным кольцом, то формальный степенной ряд звенеть А[[Икс]] является обычным местным.
6. Если Z кольцо целых чисел и Икс является неопределенным, кольцо Z[Икс]_{(2, Икс)} (т.е. кольцо Z[Икс] локализованный в простом идеале (2, Икс)) является примером двумерного регулярного локального кольца, не содержащего поля.
7. Посредством структурная теорема из Ирвин Коэн, а полный равноправное регулярное локальное кольцо размерности Крулля d и содержащий поле представляет собой кольцо степенного ряда над полем.

Без примеров

Кольцо ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$ не является регулярным локальным кольцом, поскольку оно конечномерно, но не имеет конечной глобальной размерности. Например, есть бесконечное разрешение

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

Используя еще одну характеристику, ${\displaystyle A}$ имеет ровно один простой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$, поэтому кольцо имеет размерность Крулля ${\displaystyle 0}$, но ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ является нулевым идеалом, поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ имеет ${\displaystyle k}$ размер не менее ${\displaystyle 1}$. (Фактически он равен ${\displaystyle 1}$ поскольку ${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$ это основа.)

Основные свойства

В Теорема Ослендера – Буксбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальная область факторизации.

Каждый локализация регулярного локального кольца регулярно.

В завершение регулярного локального кольца регулярно.

Если ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ полное регулярное локальное кольцо, содержащее поле, то

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

где ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ это поле вычетов, и ${\displaystyle d=\dim A}$, измерение Крулля.

Смотрите также: Неравенство Серра по высоте и Гипотезы Серра о множественности.

Происхождение основных понятий

Смотрите также: гладкая схема

Регулярные локальные кольца были первоначально определены Вольфганг Круль в 1937 г.,^[3] но они впервые стали заметными в работе Оскар Зариски несколькими годами позже,^[4][5] который показал, что геометрически регулярное локальное кольцо соответствует гладкой точке на алгебраическое многообразие. Позволять Y быть алгебраическое многообразие содержится в аффинном п-пространство над совершенным полем, и предположим, что Y множество исчезающих многочленов ж₁,...,ж_м. Y неособен в п если Y удовлетворяет Условие якобиана: Если M = (∂ж_я/∂Икс_j) - матрица частных производных определяющих уравнений многообразия, то ранг матрицы, найденной путем вычисления M в п является п - тусклый Y. Зариский доказал, что Y неособен в п тогда и только тогда, когда местное кольцо Y в п регулярно. (Зариски заметил, что это может дать сбой в несовершенных полях.) Это означает, что гладкость является внутренним свойством многообразия, другими словами, она не зависит от того, где и как многообразие вложено в аффинное пространство. Также предполагается, что обычные местные кольца должны обладать хорошими свойствами, но до введения техник из гомологическая алгебра в этом направлении было известно очень мало. После того, как такие методы были внедрены в 1950-х годах, Ауслендер и Бухсбаум доказали, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальная область факторизации.

Другое свойство, подсказываемое геометрической интуицией, состоит в том, что локализация регулярного локального кольца снова должна быть регулярной. Опять же, это оставалось нерешенным до введения гомологических методов. Это было Жан-Пьер Серр кто нашел гомологическую характеристику регулярных локальных колец: локальное кольцо А правильно тогда и только тогда, когда А имеет конечный глобальное измерение, т.е. если каждые А-модуль имеет проективную резольвенту конечной длины. Легко показать, что свойство иметь конечную глобальную размерность сохраняется при локализации, и, следовательно, локализации регулярных локальных колец в простых идеалах снова регулярны.

Это позволяет нам определить регулярность для всех коммутативных колец, а не только для локальных: Коммутативное кольцо А считается обычное кольцо если его локализации на всех его первичных идеалах являются регулярными локальными кольцами. Если А конечномерно, то можно сказать, что А имеет конечную глобальную размерность.

Обычное кольцо

О несвязанных регулярных кольцах, введенных Джоном фон Нейманом, см. регулярное кольцо фон Неймана.

В коммутативная алгебра, а обычное кольцо коммутативный Кольцо Нётериана, так что локализация на каждом главный идеал это обычное местное кольцо: то есть каждая такая локализация обладает тем свойством, что минимальное число образующих ее максимального идеала равно ее Измерение Крулля.

Происхождение термина обычное кольцо заключается в том, что аффинное разнообразие является неособый (то есть каждая точка регулярный ) тогда и только тогда, когда его кольцо регулярных функций регулярно.

Для обычных колец размерность Крулля согласуется с глобальная гомологическая размерность.

Жан-Пьер Серр определил регулярное кольцо как коммутативное нётерово кольцо конечный глобальная гомологическая размерность. Его определение сильнее, чем определение выше, которое допускает регулярные кольца бесконечной размерности Крулля.

Примеры регулярных колец включают поля (нулевой размерности) и Дедекиндовские домены. Если А регулярно, то так и есть А[Икс], размерность на единицу больше, чем у А.

В частности, если k поле, кольцо целых чисел или главная идеальная область, то кольцо многочленов ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ регулярно. В случае поля это Теорема Гильберта о сизигиях.

Регулярна и любая локализация регулярного кольца.

Обычное кольцо уменьшенный^[6] но не обязательно быть целостной областью. Например, произведение двух регулярных областей целостности является регулярным, но не областью целостности.^[7]

Смотрите также

• Геометрически правильное кольцо

Заметки

1. Локальное регулярное кольцо фон Неймана является телом, поэтому эти два условия не очень совместимы.
2. Херрманн, М., С. Икеда и У. Орбанц: равнодоступность и взрыв. Алгебраический этюд с приложением Б. Мунена. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Теорема 6.8.
3. Круль, Вольфганг (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Математика. Z.: 745–766, Дои:10.1007 / BF01160110
4. Зариски, Оскар (1940), "Алгебраические многообразия над основными полями характеристики 0", Амер. J. Math., 62: 187–221, Дои:10.2307/2371447
5. Зариски, Оскар (1947), «Понятие простой точки абстрактного алгебраического многообразия», Пер. Амер. Математика. Soc., 62: 1–52, Дои:10.1090 / s0002-9947-1947-0021694-1
6. поскольку кольцо редуцировано тогда и только тогда, когда его локализации в простых идеалах равны.
7. Регулярное кольцо - это домен

использованная литература

• Кунц, Характеризации регулярных локальных колец характеристики p. Амер. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Жан-Пьер Серр, Локальная алгебра, Springer-Verlag, 2000, ISBN  3-540-66641-9. Глава IV.D.
• Цит-Юэн Лам, Лекции по модулям и кольцам, Springer-Verlag, 1999, ISBN  978-1-4612-0525-8. Глава 5.G.
• Обычные кольца в The Stacks Project