Дедекиндский домен - Dedekind domain

В абстрактная алгебра, а Дедекиндский домен или Кольцо дедекинда, названный в честь Ричард Дедекинд, является область целостности в котором каждое ненулевое правильный идеал факторов в продукт главные идеалы. Можно показать, что такая факторизация обязательно уникальна до порядка факторов. Есть, по крайней мере, три других характеристики дедекиндовских доменов, которые иногда используются в качестве определения: см. Ниже.

А поле это коммутативное кольцо в котором нет нетривиальных собственных идеалов, так что любое поле является дедекиндовской областью, хотя и довольно бессмысленным образом. Некоторые авторы добавляют требование, чтобы домен Дедекинда не был полем. Многие другие авторы формулируют теоремы для дедекиндовских областей с неявным условием, что они могут потребовать тривиальных модификаций для случая полей.

Непосредственным следствием определения является то, что каждое главная идеальная область (PID) - это дедекиндовский домен. Фактически, дедекиндовский домен - это уникальная область факторизации (UFD) тогда и только тогда, когда это PID.

Предыстория дедекиндовских владений

В 19 веке это стало обычным методом для понимания интеграл решения многочлен уравнения с использованием кольца из алгебраические числа высшей степени. Например, исправьте положительный целое число ${\displaystyle m}$. В попытке определить, какие целые числа представлены квадратичная форма ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$, естественно учесть квадратичная форма в ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$, факторизация происходит в кольцо целых чисел из квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$. Аналогично для положительного целое число ${\displaystyle n}$ многочлен ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ (что актуально для решения уравнения Ферма ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$) можно разложить по кольцу ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$, где ${\displaystyle \zeta _{n}}$ примитивный ${\displaystyle n}$ корень единства.

Для нескольких небольших значений ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ эти кольца целых алгебраических чисел PID, и это можно рассматривать как объяснение классических успехов Ферма (${\displaystyle m=1,n=4}$) и Эйлер (${\displaystyle m=2,3,n=3}$). К этому времени процедура определения того, все ли в кольце алгебраические целые числа данного квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ это PID был хорошо известен квадратичная форма теоретики. Особенно, Гаусс рассмотрел случай воображаемого квадратичные поля: он нашел ровно девять значений ${\displaystyle D<0}$ для которого кольцо целых чисел является PID и предположил, что больше нет никаких ценностей. (Гаусс гипотеза была доказана более чем сто лет спустя Курт Хегнер, Алан Бейкер и Гарольд Старк.) Однако это понималось (только) на языке классы эквивалентности из квадратичные формы, так что, в частности, аналогия между квадратичные формы и уравнение Ферма, кажется, не было воспринято. В 1847 г. Габриэль Ламе объявил о решении Последняя теорема Ферма для всех ${\displaystyle n>2}$, т.е. что уравнение Ферма не имеет решений в ненулевых целых числах, но оказалось, что его решение зависело от предположения, что круговое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ это УрФО. Эрнст Куммер показал три года назад, что это уже не так для ${\displaystyle n=23}$ (полный, конечный список значений, для которых ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ сейчас известен УрФО). В то же время Куммер разработал новые мощные методы доказательства Великой теоремы Ферма по крайней мере для большого класса простых показателей. ${\displaystyle n}$ используя то, что мы теперь понимаем как факт, что кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ является дедекиндовым доменом. На самом деле Куммер работал не с идеалами, а с «идеальными числами», и современное определение идеала было дано Дедекиндом.

К 20-му веку алгебраисты и теоретики чисел пришли к пониманию того, что условие существования PID является довольно деликатным, в то время как условие принадлежности к домену Дедекинда достаточно надежное. Например, кольцо обычных целых чисел - это PID, но, как видно выше, кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ алгебраических целых чисел в числовое поле ${\displaystyle K}$ не обязательно быть PID. Фактически, хотя Гаусс также предположил, что существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$ такое, что кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ это PID, по состоянию на 2016 год^{[Обновить]} мы даже не знаем, бесконечно ли много числовых полей ${\displaystyle K}$ (произвольной степени) такие, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ это PID! С другой стороны, кольцо целых чисел в числовое поле всегда является дедекиндовым доменом.

Другой иллюстрацией дихотомии деликатного / надежного является тот факт, что принадлежность к дедекиндовской области относится к числу Нётерские домены, а местный свойство: нетеровский домен ${\displaystyle R}$ является Дедекиндом тогда и только тогда, когда для каждого максимальный идеал ${\displaystyle M}$ из ${\displaystyle R}$ то локализация ${\displaystyle R_{M}}$ кольцо Дедекинда. Но локальный домен является кольцом Дедекинда, если и только если это PID, если и только если это кольцо дискретной оценки (DVR), поэтому такая же локальная характеристика не может выполняться для PID: скорее, можно сказать, что концепция кольца Дедекинда является глобализация того из DVR.

Альтернативные определения

Для область целостности ${\displaystyle R}$ это не поле, все следующие условия эквивалентны:^[1]

(DD1) Каждый ненулевой собственный идеал делится на простые числа.

(DD2) ${\displaystyle R}$ является Нётерян, а локализация на каждом максимальном идеале есть кольцо дискретной оценки.

(DD3) Каждый ненулевой дробный идеал из ${\displaystyle R}$ обратимо.

(DD4) ${\displaystyle R}$ является целиком закрытый, Нётерианский домен с участием Измерение Крулля единица (т.е. каждый ненулевой простой идеал максимален).

(DD5) ${\displaystyle R}$ является Нётерян, и для любых двух идеалов ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ в ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle I}$ содержится в ${\displaystyle J}$ если и только если ${\displaystyle J}$ разделяет ${\displaystyle I}$ как идеалы, т.е. существует идеал ${\displaystyle H}$ такой, что ${\displaystyle I=JH}$. Коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее последнему условию, называется кольцом включения-тела (CDR).^[2]

Таким образом, домен Дедекинда - это домен, который либо является полем, либо удовлетворяет любому, а следовательно, всем пяти из (DD1) - (DD5). Следовательно, какое из этих условий принять в качестве определения - дело вкуса. На практике часто проще всего проверить (DD4).

А Krull домен является многомерным аналогом дедекиндовской области: дедекиндова область, которая не является полем, является областью Крулля размерности 1. Это понятие можно использовать для изучения различных характеристик дедекиндовской области. Фактически, это определение дедекиндовской области, используемое в «Коммутативной алгебре» Бурбаки.

Область Дедекинда также может быть охарактеризована в терминах гомологической алгебры: область целостности является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда она является наследственное кольцо; т.е. каждый подмодуль проективного модуля над ним проективен. Точно так же область целостности является дедекиндовской областью тогда и только тогда, когда каждый делимый модуль над ней инъективен.^[3]

Некоторые примеры дедекиндовских доменов

Все области главных идеалов и поэтому все дискретные оценочные кольца являются дедекиндовыми доменами.

Кольцо ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$ из алгебраические целые числа в числовое поле K является нётеровым, интегрально замкнутым и имеет размерность один: чтобы увидеть последнее свойство, заметьте, что для любого ненулевого простого идеала я из р, р/я - конечное множество, и напомним, что конечная область целостности - это поле; так по (DD4) р является дедекиндовым доменом. Как и выше, это включает все примеры, рассмотренные Куммером и Дедекиндом, и послужило мотивирующим случаем для общего определения, и они остаются одними из наиболее изученных примеров.

Другой класс колец Дедекинда, который, возможно, имеет не меньшее значение, исходит из геометрии: пусть C - невырожденный геометрически интеграл аффинный алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C является дедекиндовым доменом. Это в значительной степени ясно, просто переведя геометрические термины в алгебру: координатное кольцо любого аффинного многообразия по определению является конечно порожденным. k-алгебра, следовательно, Нётериан; более того кривая означает измерение один и неособый следует (и в первом измерении эквивалентно) нормальный, что по определению означает целиком закрытый.

Обе эти конструкции можно рассматривать как частные случаи следующего основного результата:

Теорема: Позволять р быть дедекиндовым доменом с поле дроби K. Позволять L быть конечной степенью расширение поля из K и обозначим через S то целостное закрытие из р в L. потом S сам является дедекиндовым доменом.^[4]

Применяя эту теорему, когда р сам по себе PID дает нам возможность создавать Dedekind-домены из PID. Принимая р = Z, эта конструкция в точности говорит, что кольца целых числовых полей являются дедекиндовыми областями. Принимая р = k[т], вышеупомянутый случай неособых аффинных кривых получается как разветвленные покрытия аффинной прямой.

Зарисский и Самуэль были достаточно увлечены этой конструкцией, чтобы спросить, возникает ли из нее всякая дедекиндова область, т. е. начиная с PID и взяв интегральное замыкание в расширении поля конечной степени.^[5] Удивительно простой отрицательный ответ дал Л. Клаборн.^[6]

Если ситуация такая же, как указано выше, но расширение L из K является алгебраическим бесконечной степени, то еще возможно интегральное замыкание S из р в L быть дедекиндовым доменом, но это не гарантируется. Например, возьмите снова р = Z, K = Q а теперь возьми L быть полем ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ из всех алгебраические числа. Цельное замыкание - не что иное, как кольцо ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ всех алгебраических целых чисел. Поскольку квадратный корень из алгебраического целого числа снова является алгебраическим целым числом, невозможно разложить любое ненулевое неединичное целое алгебраическое число в конечное произведение неприводимых элементов, из чего следует, что ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ даже не нётер! В общем случае интегральное замыкание дедекиндова области в бесконечном алгебраическом расширении есть Прюфер домен; оказывается, что кольцо целых алгебраических чисел немного более особенное, чем это: это Безу домен.

Дробные идеалы и группа классов

Позволять р - область целостности с полем дробей K. А дробный идеал ненулевой р-подмодуль я из K для которого существует ненулевой Икс в K такой, что ${\displaystyle xI\subset R.}$

Учитывая два дробных идеала я и J, каждый определяет свой продукт IJ как множество всех конечных сумм ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$: продукт IJ снова дробный идеал. Множество Frac (R) всех дробных идеалов, наделенных указанным выше произведением, является коммутативной полугруппой и фактически моноидом: единичный элемент - дробный идеал р.

Для любого дробного идеала я, можно определить дробный идеал

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.}$

Тогда тавтологически ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$. На самом деле равенство имеет место тогда и только тогда, когда я, как элемент моноида Frac (R), обратима. Другими словами, если я имеет любое обратное, то обратное должно быть ${\displaystyle I^{*}}$.

А главный дробный идеал это одна из форм ${\displaystyle xR}$ для некоторого ненулевого Икс в K. Обратите внимание, что каждый главный дробный идеал обратим, обратный ${\displaystyle xR}$ быть просто ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$. Обозначим подгруппу главных дробных идеалов через Prin (R).

Домен р является PID тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал является главным. В этом случае Frac (R) = Prin (R) = ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$, поскольку два главных дробных идеала ${\displaystyle xR}$ и ${\displaystyle yR}$ равны тогда и только тогда ${\displaystyle xy^{-1}}$ единица в р.

Для общего домена р, имеет смысл взять фактор моноида Frac (R) всех дробных идеалов по подмоноиду Prin (R) главных дробных идеалов. Однако само это частное обычно является только моноидом. На самом деле легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac (R) / Prin (R) обратим тогда и только тогда, когда сам I обратим.

Теперь мы можем оценить (DD3): в области Дедекинда (и только в области Дедекинда) любой дробный идеал обратим. Таким образом, это как раз тот класс областей, для которых Frac (R) / Prin (R) образует группу, т.е. группа идеального класса Cl (R) из р. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда р является PID, поэтому его можно рассматривать как количественную оценку препятствия для общего домена Дедекинда, являющегося PID.

Отметим, что для произвольной области группу Пикара Pic (R) можно определить как группу обратимых дробных идеалов Inv (R) по модулю подгруппы главных дробных идеалов. Для дедекиндовской области это, конечно, то же самое, что и идеальная группа классов. Однако в более общем классе областей, включая нётеровы области и Krull домены, группа классов идеалов строится иным образом, и существует канонический гомоморфизм

Рис (R) ${\displaystyle \rightarrow }$ Cl (R)

что, однако, обычно не является ни инъективным, ни сюръективным. Это аффинный аналог различия между дивизорами Картье и дивизорами Вейля на особом алгебраическом многообразии.

Замечательная теорема Л. Клаборна (Claborn 1966) утверждает, что для любой абелевой группы г как бы то ни было, существует дедекиндовский домен р группа классов идеалов изоморфна г. Позже, К. Р. Лидхэм-Грин показал, что такой р может быть построена как интегральное замыкание ПИД в квадратичном расширении поля (Leedham-Green 1972). В 1976 году М. Розен показал, как реализовать любую счетную абелеву группу как группу классов дедекиндовской области, которая является подкольцом поля рациональных функций эллиптической кривой, и предположил, что такая «эллиптическая» конструкция должна быть возможна для общая абелева группа (Rosen 1976). Гипотеза Розена была доказана в 2008 году П.Л. Кларк (Кларк, 2009).

Напротив, одна из основных теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов кольца целых чисел числового поля конечна; его мощность называется номер класса и это важный и довольно загадочный инвариант, несмотря на упорный труд многих ведущих математиков от Гаусса до наших дней.

Конечно порожденные модули над дедекиндовым доменом

Ввиду хорошо известных и чрезвычайно полезных структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов (PID), естественно запросить соответствующую теорию для конечно порожденные модули над доменом Дедекинда.

Кратко напомним структурную теорию в случае конечно порожденного модуля ${\displaystyle M}$ через PID ${\displaystyle R}$. Мы определяем торсионный подмодуль ${\displaystyle T}$ быть набором элементов ${\displaystyle m}$ из ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle rm=0}$ для некоторого ненулевого ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle R}$. Потом:

(M1) ${\displaystyle T}$ можно разложить на прямая сумма из циклический торсионные модули, каждый из которых имеет вид ${\displaystyle R/I}$ для некоторого ненулевого идеала ${\displaystyle I}$ из ${\displaystyle R}$. По китайской теореме об остатках каждый ${\displaystyle R/I}$ далее можно разложить на прямую сумму подмодулей вида ${\displaystyle R/P^{i}}$, где ${\displaystyle P^{i}}$ это сила главного идеала. Это разложение не обязательно должно быть единственным, но любые два разложения

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

различаются только порядком факторов.

(M2) Подмодуль кручения является прямым слагаемым: т.е. существует дополнительный подмодуль ${\displaystyle P}$ из ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle M=T\oplus P}$.

(M3PID) ${\displaystyle P}$ изоморфен ${\displaystyle R^{n}}$ для однозначно определенного неотрицательного целого числа ${\displaystyle n}$. Особенно, ${\displaystyle P}$ - конечно порожденный свободный модуль.

Теперь позвольте ${\displaystyle M}$ - конечно порожденный модуль над произвольной дедекиндовской областью ${\displaystyle R}$. Тогда (M1) и (M2) сохраняются дословно. Однако из (M3PID) следует, что конечно порожденный модуль без кручения ${\displaystyle P}$ над PID бесплатно. В частности, он утверждает, что все дробные идеалы главны, и это утверждение неверно, когда ${\displaystyle R}$ не является PID. Другими словами, нетривиальность группы классов Cl (R) вызывает сбой (M3PID). Примечательно, что дополнительная структура в конечно порожденных модулях без кручения над произвольной дедекиндовской областью точно контролируется группой классов, как мы сейчас объясним. Над произвольной дедекиндовской областью

(M3DD) ${\displaystyle P}$ изоморфна прямой сумме ранга один проективные модули: ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$. Более того, для любого проективного модуля ранга один ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$, надо

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

если и только если

${\displaystyle r=s}$

и

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

Проективные модули первого ранга можно отождествить с дробными идеалами, а последнее условие можно перефразировать как

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Таким образом, конечно порожденный модуль без кручения ранга ${\displaystyle n>0}$ можно выразить как ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$, где ${\displaystyle I}$ является проективным модулем ранга один. В Класс Стейница для п над р это класс ${\displaystyle [I]}$ из ${\displaystyle I}$ в Cl (R): определяется однозначно.^[7] Следствием этого является:

Теорема. Пусть р быть дедекиндовым доменом. потом ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$, где K₀(р) это Группа Гротендик коммутативного моноида конечно порожденных проективных р модули.

Эти результаты были установлены Эрнст Стейниц в 1912 г.

Дополнительным следствием этой структуры, которое не подразумевается в предыдущей теореме, является то, что если два проективных модуля над областью Дедекинда имеют один и тот же класс в группе Гротендика, то они фактически абстрактно изоморфны.

Локально Дедекиндовские кольца

Существуют области целостности ${\displaystyle R}$ локально, но не глобально Дедекинд: локализация ${\displaystyle R}$ на каждом максимальном идеале есть дедекиндово кольцо (эквивалентно DVR ) но ${\displaystyle R}$ сам по себе не Дедекинд. Как упоминалось выше, такое кольцо не может быть нётерским. Похоже, что первые примеры таких колец были построены Н. Накано в 1953 году. В литературе такие кольца иногда называют «собственными почти дедекиндовыми кольцами».

Смотрите также

• Группа идеального класса
• Постоянная Давенпорта

Заметки

1. Милн 2008, Замечание 3.25
2. Гомес-Рамирес 2015
3. Кон 2003, 2.4. Упражнение 9.
4. Теорема следует, например, из Теорема Крулля – Акизуки.
5. Зариски и Самуэль, стр. 284
6. Claborn 1965, пример 1-9
7. Фрёлих и Тейлор (1991) стр.95

использованная литература

• Бурбаки, Николас (1972), Коммутативная алгебра, Эддисон-Уэсли
• Клаборн, Лютер (1965), «Дедекиндовы области и кольца частных», Pacific J. Math., 15: 59–64, Дои:10.2140 / pjm.1965.15.59
• Клаборн, Лютер (1966), «Каждая абелева группа - это классовая группа», Pacific J. Math., 18 (2): 219–222, Дои:10.2140 / pjm.1966.18.219
• Кларк, Пит Л. (2009), «Возвращение к эллиптическим дедекиндовым доменам» (PDF), L'Enseignement Mathématique, 55 (3): 213–225, arXiv:математика / 0612469, Дои:10.4171 / lem / 55-3-1
• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения. Springer. ISBN  1-85233-667-6.
• Фрёлих, А.; Тейлор, М.Дж. (1991), «II. Дедекиндовы домены», Алгебраическая теория чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 27, Издательство Кембриджского университета, стр. 35–101, ISBN  0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
• Гомес-Рамирес, Дэнни (2015), «Концептуальное смешение как творческий мета-генератор математических концепций: основные идеалы и дедекиндовы домены как смесь», В: T.R. Бесольд, К.У. Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (ред.) Труды 4-го Международного семинара по вычислительному творчеству, концептуальному изобретению и общему интеллекту (C3GI) PICS, 2[1]
• Лидхэм-Грин, C.R. (1972), "Группа классов дедекиндовских областей", Пер. Амер. Математика. Soc., 163: 493–500, Дои:10.2307/1995734, JSTOR  1995734
• Милн, Дж. (2008), Алгебраическая теория чисел (v3.00)
• Накано, Нобуру (1953), "Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper", J. Sci. Hiroshima Univ. Сер. А., 16: 425–439
• Розен, Майкл (1976), "Эллиптические кривые и дедекиндовы области", Proc. Амер. Математика. Soc., 57 (2): 197–201, Дои:10.2307/2041187, JSTOR  2041187
• Стейниц, Э. (1912), "Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern", Математика. Анна., 71 (3): 328–354, Дои:10.1007 / BF01456849
• Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1958), Коммутативная алгебра, том I, D. Van Nostrand Company

дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1990), Теория делителей, Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN  0-8176-3448-7, Zbl  0689.12001

внешние ссылки

• "Дедекиндовое кольцо", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]