Неассоциативная алгебра - Non-associative algebra - Wikipedia

А неассоциативная алгебра^[1] (или же дистрибутивная алгебра) является алгебра над полем где операция двоичного умножения не предполагается ассоциативный. То есть алгебраическая структура А является неассоциативной алгеброй над поле K если это векторное пространство над K и оснащен K-билинейный операция двоичного умножения А × А → А которые могут быть или не быть ассоциативными. Примеры включают Алгебры Ли, Йордановы алгебры, то октонионы, и трехмерное евклидово пространство, снабженное перекрестное произведение операция. Поскольку не предполагается, что умножение является ассоциативным, необходимо использовать круглые скобки для указания порядка умножения. Например, выражения (ab)(CD), (а(до н.э))d и а(б(CD)) могут дать разные ответы.

Хотя это использование неассоциативный означает, что ассоциативность не предполагается, это не означает, что ассоциативность запрещена. Другими словами, «неассоциативный» означает «не обязательно ассоциативный», так же как «некоммутативный» означает «не обязательно коммутативный» для некоммутативные кольца.

Алгебра - это единый или же унитарный если у него есть элемент идентичности е с бывший = Икс = xe для всех Икс в алгебре. Например, октонионы едины, но Алгебры Ли никогда не бывает.

Структура неассоциативной алгебры А можно изучать, ассоциируя его с другими ассоциативными алгебрами, которые являются подалгебрами полной алгебры K-эндоморфизмы из А как K-векторное пространство. Два таких алгебра вывода и (ассоциативная) обертывающая алгебра, последняя в некотором смысле «наименьшая ассоциативная алгебра, содержащая А".

В более общем плане некоторые авторы рассматривают понятие неассоциативной алгебры над коммутативное кольцо р: An р-модуль оснащен р-билинейная операция двоичного умножения.^[2] Если структура подчиняется всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности (например, любой р-алгебра), то естественно ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -алгебра, поэтому некоторые авторы называют неассоциативными ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -алгебры как неассоциативные кольца.

Алгебры, удовлетворяющие тождествам

Кольцеобразные структуры с двумя бинарными операциями и без других ограничений представляют собой широкий класс, слишком общий для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют идентичности, или свойства, которые несколько упрощают умножение, к ним относятся следующие.

Обычные свойства

Позволять $Икс$ , $у$ и $z$ обозначим произвольные элементы алгебры $А$ над полем $K$ .Пусть степени положительного (ненулевого) целого числа рекурсивно определяются как $Икс 1 ≝ Икс$ и либо $Икс п +1 ≝ Икс п Икс$ ^[3] (правильные полномочия) или $Икс п +1 ≝ хх п$ ^[4]^[5] (левые полномочия) в зависимости от авторов.

Unital: существует элемент $е$ так что $бывший = Икс = xe$ ; в этом случае мы можем определить $Икс 0 ≝ е$ .
Ассоциативный: $(ху) z = Икс (yz)$ .
Коммутативный: $ху = yx$ .
Антикоммутативный:^[6] $ху = - yx$ .
Личность Якоби:^[6]^[7] $(ху) z + (yz) Икс + (zx) у = 0$ или же $Икс (yz) + у (zx) + z (ху) = 0$ в зависимости от авторов.
Иордания идентичность:^[8]^[9] $(Икс 2 у) Икс = Икс 2 (yx)$ или же $(ху) Икс 2 = Икс (yx 2)$ в зависимости от авторов.
Альтернатива:^[10]^[11]^[12] $(хх) у = Икс (ху)$ (левая альтернатива) и $(yx) Икс = у (хх)$ (правильная альтернатива).
Гибкий:^[13]^[14] $(ху) Икс = Икс (yx)$ .
пассоциативная сила с п ≥ 2: Икс^{n − k}Икс^k = Икс^п для всех целых чисел k так что 0 < k < п.
- Третья степень ассоциативности: $Икс 2 Икс = хх 2$ .
- Четвертая степень ассоциативности: $Икс 3 Икс = Икс 2 Икс 2 = хх 3$ (сравнить с коммутатив четвертой степени ниже).
Власть ассоциативная:^[4]^[5]^[15]^[16]^[3] подалгебра, порожденная любым элементом, ассоциативна, т. е. $п$ ассоциативная сила для всех $п \geq 2$ .
пкоммутативная мощность с п ≥ 2: Икс^{n − k}Икс^k = Икс^kИкс^{n − k} для всех целых чисел k так что 0 < k < п.
- Коммутатив третьей степени: $Икс 2 Икс = хх 2$ .
- Коммутатив четвертой степени: $Икс 3 Икс = хх 3$ (сравнить с ассоциатив четвертой степени над).
Степенная коммутативность: подалгебра, порожденная любым элементом, коммутативна, т. Е. $п$ коммутативная мощность для всех $п \geq 2$ .
Нильпотентный индекса $п \geq 2$ : продукт любого $п$ элементы, в любой ассоциации, исчезают, но не для некоторых $п -1$ элементы: $Икс 1 Икс 2 \dots Икс п = 0$ и есть $п -1$ элементы так что $у 1 у 2 \dots у п -1 \neq 0$ для конкретной ассоциации.
Ноль индекса $п \geq 2$ : ассоциативный и $Икс п = 0$ и существует элемент $у$ так что $у п -1 \neq 0$ .

Отношения между свойствами

За $K$ любой характеристика:

Ассоциативный подразумевает альтернатива.
Любые два из трех свойств левая альтернатива, правильная альтернатива, и гибкий, подразумевают третий.
- Таким образом, альтернатива подразумевает гибкий.
Альтернатива подразумевает Иордания идентичность.^[17]^[а]
Коммутативный подразумевает гибкий.
Антикоммутативный подразумевает гибкий.
Альтернатива подразумевает ассоциативный.^[а]
Гибкий подразумевает ассоциативная третья степень.
Вторая степень ассоциативности и коммутатив второй степени всегда верны.
Ассоциативная третья сила и коммутатив третьей степени эквивалентны.
$п$ ассоциативная сила подразумевает $п$ коммутативная мощность.
Нет индекса 2 подразумевает антикоммутативный.
Нет индекса 2 подразумевает Иордания идентичность.
Нильпотент индекса 3 подразумевает Личность Якоби.
Нильпотентность индекса $п$ подразумевает ноль индекса $N$ с $2 \leq N \leq п$ .
Unital и ноль индекса $п$ несовместимы.

Если $K \neq GF (2)$ или же $тусклый (А) \leq 2$ :

Иордания идентичность и коммутативный вместе подразумевают ассоциативный.^[18]^[19]^[20]^{[нужна цитата ]}

Если $char (K) \neq 2$ :

Правильная альтернатива подразумевает ассоциативный.^[21]^[22]^[23]^[24]
- По аналогии, левая альтернатива подразумевает ассоциативный.
Unital и Иордания идентичность вместе подразумевают гибкий.^[25]
Иордания идентичность и гибкий вместе подразумевают ассоциативный.^[26]
Коммутативный и антикоммутативный вместе подразумевают нильпотент индекса 2.
Антикоммутативный подразумевает ноль индекса 2.
Unital и антикоммутативный несовместимы.

Если $символ (K) \neq 3$ :

Unital и Личность Якоби несовместимы.

Если $символ (K) \notin {2,3,5$ }:

Коммутативный и $Икс 4 = Икс 2 Икс 2$ (одна из двух идентичностей, определяющих ассоциатив четвертой степени) вместе подразумевают ассоциативный.^[27]

Если $символ (K) = 0$ :

Ассоциативная третья сила и $Икс 4 = Икс 2 Икс 2$ (одна из двух идентичностей, определяющих ассоциатив четвертой степени) вместе подразумевают ассоциативный.^[28]

Если $символ (K) = 2$ :

Коммутативный и антикоммутативный эквивалентны.

Ассоциатор

В ассоциатор на А это K-многолинейная карта ${ Displaystyle [ cdot, cdot, cdot]: А раз А раз А до А}$ данный

[Икс, у, z] = (ху) z - Икс (yz)

.

Он измеряет степень неассоциативности ${ displaystyle A}$ , и может использоваться для удобного выражения некоторых возможных тождеств, удовлетворяемых А.

Позволять $Икс$ , $у$ и $z$ обозначают произвольные элементы алгебры.

Ассоциативный: $[Икс, у, z] = 0$ .
Альтернатива: [Икс,Икс,у] = 0 (левая альтернатива) и [у,Икс,Икс] = 0 (правильная альтернатива).
- Это означает, что перестановка любых двух терминов меняет знак: $[Икс, у, z] = -[Икс, z, у] = -[z, у, Икс] = -[у, Икс, z]$ ; обратное верно, только если $символ (K) \neq 2$ .
Гибкий: [Икс,у,Икс] = 0.
- Это означает, что перестановка экстремальных членов меняет знак: $[Икс, у, z] = -[z, у, Икс]$ ; обратное верно, только если $символ (K) \neq 2$ .
Идентичность Иордании:^[29] $[Икс 2, у, Икс] = 0$ или же $[Икс, у, Икс 2] = 0$ в зависимости от авторов.
Третья степень ассоциативности: $[Икс, Икс, Икс] = 0$ .

В ядро это набор элементов, которые связаны со всеми остальными:^[30] это $п$ в А такой, что

[п, А, А] = [А, п, А] = [А, А, п] = {0}

.

Ядро представляет собой ассоциативное подкольцо А.

Центр

В центр из А это набор элементов, которые коммутируют и связываются со всем в А, то есть пересечение

{ Displaystyle С (А) = {п в А | nr = rn , forall r в А , }}

с ядром. Получается, что для элементов С (А) достаточно, чтобы два набора ${ Displaystyle ([п, А, А], [А, п, А], [А, А, п])}$ находятся ${ displaystyle {0 }}$ для третьего также будет установлен ноль.

Примеры

Евклидово пространство р³ с умножением на векторное произведение является примером алгебры, которая является антикоммутативной, а не ассоциативной. Перекрестное произведение также удовлетворяет тождеству Якоби.
Алгебры Ли являются алгебрами, удовлетворяющими антикоммутативности и тождеству Якоби.
Алгебры векторные поля на дифференцируемое многообразие (если K является р или сложные числа C) или алгебраическое многообразие (для общего K);
Йордановы алгебры - алгебры, удовлетворяющие коммутативному закону и тождеству Жордана.^[9]
Каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли с помощью коммутатор как скобка Ли. Фактически каждая алгебра Ли может быть построена таким образом или является подалгеброй алгебры Ли, построенной таким образом.
Каждая ассоциативная алгебра над полем характеристика кроме 2, порождает йорданову алгебру путем определения нового умножения х * у = (ху+yx) / 2. В отличие от случая алгебры Ли, не всякая йорданова алгебра может быть построена таким образом. Те, кто может, называются специальный.
Альтернативные алгебры - алгебры, удовлетворяющие свойству альтернативности. Наиболее важными примерами альтернативных алгебр являются октонионы (алгебра над вещественными числами) и обобщения октонионов над другими полями. Все ассоциативные алгебры альтернативны. Вплоть до изоморфизма единственной конечномерной реальной альтернативой алгебр с делением (см. Ниже) являются действительные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
Степенно-ассоциативные алгебры, те алгебры, удовлетворяющие ассоциативно-степенному тождеству. Примеры включают все ассоциативные алгебры, все альтернативные алгебры, йордановы алгебры над полем, отличным от GF (2) (см. предыдущий раздел), а седенионы.
В гиперболический кватернион алгебра над р, которая была экспериментальной алгеброй до принятия Пространство Минковского за специальная теория относительности.

Еще классы алгебр:

Градуированные алгебры. К ним относятся большинство алгебр, представляющих интерес для полилинейная алгебра, такой как тензорная алгебра, симметрическая алгебра, и внешняя алгебра над данным векторное пространство. Градуированные алгебры можно обобщить на фильтрованные алгебры.
Алгебры с делением, в котором существуют мультипликативные обратные. Классифицированы конечномерные альтернативные алгебры с делением над полем действительных чисел. Они действительные числа (размер 1), сложные числа (размер 2), кватернионы (размер 4), а октонионы (размер 8). Кватернионы и октонионы не коммутативны. Из этих алгебр все ассоциативны, за исключением октонионов.
Квадратичные алгебры, которые требуют, чтобы хх = повторно + sx, для некоторых элементов р и s в наземном поле, и е единица алгебры. Примеры включают в себя все конечномерные альтернативные алгебры и алгебру вещественных матриц 2 на 2. С точностью до изоморфизма единственными альтернативными квадратичными вещественными алгебрами без делителей нуля являются действительные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
В Алгебры Кэли – Диксона (куда K является р), которые начинаются с:
- C (коммутативная и ассоциативная алгебра);
- то кватернионы ЧАС (ассоциативная алгебра);
- то октонионы (ан альтернативная алгебра );
- то седенионы, и бесконечная последовательность алгебр Кэли-Диксона (степенно-ассоциативные алгебры ).
Гиперкомплексные алгебры все конечномерные унитальные р-алгебры, они, таким образом, включают алгебры Кэли-Диксона и многие другие.
В Алгебры Пуассона рассматриваются в геометрическое квантование. Они несут два умножения, по-разному превращая их в коммутативные алгебры и алгебры Ли.
Генетические алгебры неассоциативные алгебры, используемые в математической генетике.
Тройные системы

Характеристики

Есть несколько свойств, которые могут быть известны из теории колец или из ассоциативных алгебр, которые не всегда верны для неассоциативных алгебр. В отличие от ассоциативного случая, элементы с (двусторонним) мультипликативным инверсом также могут быть делитель нуля. Например, все ненулевые элементы седенионы имеют двусторонний обратный, но некоторые из них также являются делителями нуля.

Свободная неассоциативная алгебра

В свободная неассоциативная алгебра на съемочной площадке Икс над полем K определяется как алгебра с базисом, состоящим из всех неассоциативных мономов, конечных формальных произведений элементов Икс сохраняя круглые скобки. Произведение мономов ты, v просто (ты)(v). Алгебра унитальна, если в качестве монома взять пустое произведение.^[31]

Курош доказал, что любая подалгебра свободной неассоциативной алгебры свободна.^[32]

Ассоциированные алгебры

Алгебра А над полем K в частности K-векторное пространство, поэтому можно рассматривать ассоциативную алгебру End_K(А) из K-линейный эндоморфизм векторного пространства А. Мы можем сопоставить структуру алгебры на А две подалгебры End_K(А), алгебра вывода и (ассоциативная) обертывающая алгебра.

Алгебра вывода

А происхождение на А это карта D с собственностью

{ Displaystyle D (х cdot y) = D (x) cdot y + x cdot D (y) .}

Выводы на А образуют подпространство Der_K(А) в конце_K(А). В коммутатор двух производных снова является производным, так что Кронштейн лжи дает Дер_K(А) структура Алгебра Ли.^[33]

Обертывающая алгебра

Есть линейные карты L и р прикреплен к каждому элементу а алгебры А:^[34]

{ Displaystyle L (a): x mapsto ax; R (a): x mapsto xa .}

В ассоциативная обертывающая алгебра или же алгебра умножения из А - ассоциативная алгебра, порожденная левым и правым линейными отображениями.^[29]^[35] В центроид из А является централизатором обертывающей алгебры в алгебре эндоморфизмов End_K(А). Алгебра - это центральный если его центроид состоит из K-скалярные кратные идентичности.^[16]

Некоторые из возможных тождеств, которым удовлетворяют неассоциативные алгебры, могут быть удобно выражены в терминах линейных отображений:^[36]

Коммутативный: каждый L(а) равно соответствующему р(а);
Ассоциативный: любой L ездит с любым р;
Гибкость: каждый L(а) коммутирует с соответствующими р(а);
Иордания: каждые L(а) ездит с р(а²);
Альтернатива: каждый L(а)² = L(а²) и аналогично для правой.

В квадратичное представление Q определяется:^[37]

{ Displaystyle Q (а): х mapsto 2a cdot (a cdot x) - (a cdot a) cdot x }

или эквивалентно

{ Displaystyle Q (а) = 2L ^ {2} (а) -L (а ^ {2}) .}

Статья о универсальные обертывающие алгебры описывает каноническую конструкцию обертывающих алгебр, а также теоремы типа PBW для них. Для алгебр Ли такие обертывающие алгебры обладают универсальным свойством, которое, вообще говоря, не выполняется для неассоциативных алгебр. Самый известный пример, пожалуй, Алгебра Альберта, исключительный Йорданова алгебра что не охвачено канонической конструкцией обертывающей алгебры для йордановых алгебр.

Смотрите также

Список алгебр
Коммутативные неассоциативные магмы, порождающие неассоциативные алгебры

Цитаты

^ Шафер 1995, Глава 1.
^ Шафер 1995, п. 1.
^ ^а ^б Альберт 1948a, п. 553.
^ ^а ^б Шафер 1995, п. 30.
^ ^а ^б Шафер 1995, п. 128.
^ ^а ^б Шафер 1995, п. 3.
^ Окубо 2005, п. 12.
^ Шафер 1995, п. 91.
^ ^а ^б Окубо 2005, п. 13.
^ Шафер 1995, п. 5.
^ Окубо 2005, п. 18.
^ МакКриммон 2004, п. 153.
^ Шафер 1995, п. 28.
^ Окубо 2005, п. 16.
^ Окубо 2005, п. 17.
^ ^а ^б Knus et al. 1998 г., п. 451.
^ Розенфельд 1997, п. 91.
^ Джейкобсон 1968, п. 36.
^ Шафер 1995, п. 92.
^ Кокорис 1955, п. 710.
^ Альберт 1948b, п. 319.
^ Михеев 1976, п. 179.
^ Жевлаков и др. 1982 г., п. 343.
^ Шафер 1995, п. 148.
^ Бремнер, Мураками и Шестаков 2013, п. 18.
^ Бремнер, Мураками и Шестаков 2013, стр. 18–19, факт 6.
^ Альберт 1948a, п. 554, лемма 4.
^ Альберт 1948a, п. 554, лемма 3.
^ ^а ^б Шафер 1995, п. 14.
^ МакКриммон 2004, п. 56.
^ Роуэн 2008, п. 321.
^ Курош 1947 С. 237–262.
^ Шафер 1995, п. 4.
^ Окубо 2005, п. 24.
^ Альберт 2003, п. 113.
^ МакКриммон 2004, п. 57.
^ Кехер 1999, п. 57.

Примечания

^ ^а ^б Это следует из Теорема Артина.