Фильтрованная алгебра - Filtered algebra - Wikipedia

В математика, а фильтрованная алгебра является обобщением понятия градуированная алгебра. Примеры появляются во многих отраслях математика, особенно в гомологическая алгебра и теория представлений.

Фильтрованная алгебра над поле ${\displaystyle k}$ является алгебра ${\displaystyle (A,\cdot )}$ над ${\displaystyle k}$ что имеет возрастающую последовательность ${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$ подпространств ${\displaystyle A}$ такой, что

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

и это совместимо с умножением в следующем смысле:

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\qquad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

Ассоциированная градуированная алгебра

В общем, существует следующая конструкция, которая производит градуированную алгебру из фильтрованной алгебры.

Если ${\displaystyle A}$ является фильтрованной алгеброй, то ассоциированная градуированная алгебра ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ определяется следующим образом:

• Как векторное пространство

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,}$

  куда,

  ${\displaystyle G_{0}=F_{0},}$ и

  ${\displaystyle \forall n>0,\quad G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,}$

• умножение определяется как

  ${\displaystyle (x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  для всех ${\displaystyle x\in F_{n}}$ и ${\displaystyle y\in F_{m}}$. (Точнее, карта умножения ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)}$ составлен из карт

  ${\displaystyle (F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  для всех ${\displaystyle n\geq 0}$ и ${\displaystyle m\geq 0}$.)

Умножение хорошо определено и дает ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ со структурой градуированной алгебры, с градуировкой ${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$ Кроме того, если ${\displaystyle A}$ является ассоциативный тогда так ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$. Также если ${\displaystyle A}$ унитален, так что единица лежит в ${\displaystyle F_{0}}$, тогда ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ также будет единым.

Как алгебры ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ различны (за исключением тривиального случая, когда ${\displaystyle A}$ оценивается), но как векторные пространства они изоморфный.^{[нужна цитата ]}

Примеры

Любой градуированная алгебра оценивается по, например ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$, имеет фильтрацию ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$.

Примером фильтрованной алгебры является Алгебра Клиффорда ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,q)}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ наделен квадратичная форма ${\displaystyle q.}$ Соответствующая градуированная алгебра ${\displaystyle \bigwedge V}$, то внешняя алгебра из ${\displaystyle V.}$

В симметрическая алгебра на двойном аффинное пространство - фильтрованная алгебра многочленов; на векторное пространство, вместо этого получается градуированная алгебра.

В универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ также естественно фильтруется. В Теорема PBW утверждает, что ассоциированная градуированная алгебра просто ${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$.

Скалярный дифференциальные операторы на многообразие ${\displaystyle M}$ образуют фильтрованную алгебру, где фильтрация задается степенью дифференциальных операторов. Ассоциированная градуированная алгебра - это коммутативная алгебра гладких функций на кокасательном расслоении ${\displaystyle T^{*}M}$ полиномиальные по слоям проекции ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$.

В групповая алгебра группы с функция длины является фильтрованной алгеброй.

Смотрите также

• Фильтрация (математика)
• Функция длины

Рекомендации

• Абэ, Эйити (1980). Алгебры Хопфа. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-22240-0.

Эта статья включает материал из фильтрованной алгебры по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.