Функция длины - Length function

В математической области геометрическая теория групп, а функция длины - это функция, которая присваивает номер каждому элементу группы.

Определение

А функция длины L : грамм → р⁺ на группа грамм это функция, удовлетворяющая:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}}$

Сравните с аксиомами для метрика и фильтрованная алгебра.

Метрика слова

Основная статья: Метрика слова

Важным примером длины является слово метрика: учитывая презентация группы по образующим и отношениям длина элемента - это длина кратчайшего слова, выражающего его.

Группы Кокстера (в том числе симметричная группа ) имеют комбинаторные важные функции длины, используя простые отражения в качестве генераторов (таким образом, каждое простое отражение имеет длину 1). Смотрите также: длина элемента группы Вейля.

А самый длинный элемент группы Кокстера одновременно важна и уникальна вплоть до сопряжения (с точностью до различного выбора простых отражений).

Характеристики

Группа с функцией длины делает нет сформировать отфильтрованная группа, что означает, что подуровневые наборы ${\displaystyle S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}}$ не образуют подгрупп вообще.

Тем не менее групповая алгебра группы с функциями длины образует фильтрованная алгебра: аксиома ${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$ соответствует аксиоме фильтрации.

Эта статья включает материал из функции "Длина" на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.